2-Δύο ακολουθίες

Α.Κυριακόπουλος · #1

Θεωρούμε δύο ακολουθίες $\displaystyle{\left( {{\alpha _\nu }} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {{\beta _\nu }} \right)}$ με όρους θετικούς φυσικούς αριθμούς και υποθέτουμε ότι η ακολουθία $\displaystyle{\left( {\frac{{{\alpha _\nu }}}{{{\beta _\nu }}}} \right)}$ συγκλίνει προς ένα άρρητο αριθμό. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{{\alpha _\nu } \to + \infty }$ και $\displaystyle{{\beta _\nu } \to + \infty }$ .
( Από το βιβλίο Α. Κ. Κυριακόπουλου: «ΑΝΑΛΥΣΗ», τόμους 1, ακολουθίες-Σειρές ,έκδοση 1976, σελίδα 241, άσκηση 766- έχει εξαντληθεί).

#2

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θεωρούμε δύο ακολουθίες $\displaystyle{\left( {{\alpha _\nu }} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {{\beta _\nu }} \right)}$ με όρους θετικούς φυσικούς αριθμούς και υποθέτουμε ότι η ακολουθία $\displaystyle{\left( {\frac{{{\alpha _\nu }}}{{{\beta _\nu }}}} \right)}$ συγκλίνει προς ένα άρρητο αριθμό. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{{\alpha _\nu } \to + \infty }$ και $\displaystyle{{\beta _\nu } \to + \infty }$ .
( Από το βιβλίο Α. Κ. Κυριακόπουλου: «ΑΝΑΛΥΣΗ», τόμους 1, ακολουθίες-Σειρές ,έκδοση 1976, σελίδα 241, άσκηση 766- έχει εξαντληθεί).

Καταπληκτικό! Η πρώτη μου αντίδραση ήταν "δεν το πιστεύω".

Λοιπόν, αν δεν έτεινε στο $+\infty$ η (a_n)

, θα είχε φραγμένη υπακολουθία (εύκολο, από τον ορισμό και την άρνηση της σύγκλισης). Έστω $(a_{n_k})$ . Έξετάζουμε την $(b_{n_k})$ . Δεν μπορεί να έχει υπακολουθία $(b_{n_{k_m}})$ που τείνει στο $+\infty$ γιατί τότε $a_{n_{k_m}}/b_{n_{k_m}}$ είναι φραγμένη επί μηδενική, άρα έχει όριο το 0, δηλαδή όχι άρρητο. Άτοπο.
Άρα $(b_{n_k})$ φραγμένη.
Μέχρι τώρα δεν χρησιμοποιήσαμε την υπόθεση ότι τα a_n, b_n

είναι φυσικοί αριθμοί. Ήλθε η ώρα!
Αφού οι (a_n_k),( b_n_k)

είναι φραγμένες, και αποτελούνται από φυσικούς αριθμούς, παίρνουν πεπερασμένο πλήθος τιμών. Άρα και η (a_n_k/ b_n_k)

παίρνει πεπερασμένο πλήθος τιμών. Συνεπώς δεν μπορεί να συγκλίνει σε άρρητο (οι πεπερασμένες τιμές βρίσκονται σε δεδομένη θετική απόσταση από τον άρρητο). Άτοπο.
Όμοια εργαζόμαστε με την b_n

. Αλλώς θεωρούμε την (b_n/ a_n)

που συγκλίνει σε "1 διά άρρητο" ίσον άρρητος. Και λοιπά.

Ευχαριστούμε Δάσκαλε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Α.Κυριακόπουλος · #3

Αγαπητέ Μιχάλη. Εκείνο που θαυμάζω περισσότερο σε σένα είναι ότι χτυπάς κατευθείαν στην καρδιά του προβλήματος. Να είσαι πάντα καλά και να μας δίνεις ωραίες και σύντομες λύσεις.
• Η λύση της άσκησης αυτής ,που είχα κάνει κάποτε και που έχω στις σημειώσεις μου, είναι περισσότερο μακροσκελής από τη δική σου.
Με εκτίμηση και αγάπη.

#4

Δάσκαλε, ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.

Με εκτίμηση,

Μιχάλης.

Υ.Γ.
Μπορόυμε να μικρύνουμε λίγο το βήμα

Έξετάζουμε την $(b_{n_k})$ . Δεν μπορεί να έχει υπακολουθία $(b_{n_{k_m}})$ που τείνει στο $+\infty$ γιατί τότε $a_{n_{k_m}}/b_{n_{k_m}}$ είναι φραγμένη επί μηδενική, άρα έχει όριο το 0, δηλαδή όχι άρρητο. Άτοπο.
Άρα $(b_{n_k})$ φραγμένη.

λέγοντας

αφού $b_{n_{k_m}} = \frac{b_{n_{k_m}}}{a_{n_{k_m}}}a_{n_{k_m}}$ ίσον συγκλίνουσα επί φραγμένη, είναι φραγμένη.

2-Δύο ακολουθίες

2-Δύο ακολουθίες

Re: 2-Δύο ακολουθίες

Re: 2-Δύο ακολουθίες

Re: 2-Δύο ακολουθίες

Μέλη σε σύνδεση