Ερώτηση για ακέραια περιοχή

Axiolipitos94 · #1

Καλησπέρα,θα ήθελα να ρωτήσω κάτι:
Πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι το σύνολο των ακεραίων αριθμών
εφοδιασμένο με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιαμό αποτελεί
ακέραια περιοχή;Κοιτώντας μερικά βιβλία το αναφέρουν
μέσα σα γνωστό και δεν δίνουν απόδειξη...

Αρχιμήδης 6 · #2

Καλησπέρα.

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE% ... 1%CE%B1%29

PolarizationIdentity · #3

Καλημέρα. Το $\Bbb Z$ είναι αντιμεταθετικός (commutative) δακτύλιος με μονάδα και για κάθε $x,y\in\Bbb Z$ με $x\neq 0$ και $y\neq 0$ ισχύει
$x\cdot y\neq 0.$ Θα αποδείξω την Πρόταση: Για κάθε $x,y\in\Bbb Z$ με $x\neq 0$ και $y\neq 0$ ισχύει
$x\cdot y\neq 0.$ (Κανονικά πρέπει να αποδείξουμε μία προς μία τις ιδιότητες του δακτυλίου με τη χρήση των αξιωμάτων του Peano κλπ. Αυτό δεν είναι δύσκολο αλλά μακροσκελές.) Για την απόδειξη της Πρότασης: Ισχύει ότι 1>0

. Οπότε αν έχω 1+1+...+1

( $\kappa$ προσθετέους, όπου $\kappa$ είναι φυσικός αριθμός) αυτό είναι μεγαλύτερο από 1+1+...+1

( $\kappa-1$ προσθετέους), κ.ο.κ. και <<κατεβαίνοντας>> τελικά προκύπτει ότι ο 1+1+...+1

( $\kappa$ προσθετέοι) είναι θετικός (και άρα μη μηδενικός αριθμός). Υποθέτω ότι x>0

και

και θα αποδείξω ότι $x\cdot y\neq 0.$ Πραγματικά, το γινόμενο $x\cdot y$ γράφεται 1+...+1>0

(το πλήθος των προσθετέων είναι $x\cdot y$ ). Άρα έχω αποδείξει ότι το γινόμενο $x\cdot y$ δεν είναι

για θετικά

και

. Τώρα έστω x<0

και

. Τότε

και

και
$x\cdot y=(-x)\cdot (-y)\neq 0,$ όπως αποδείχθηκε παραπάνω. Τέλος, έστω x<0

και

.
Τότε $(-x)\cdot y\neq 0,$ δηλαδή $-x\cdot y\neq 0$ και άρα $x\cdot y\neq 0$ . Παρομοίως εξετάζουμε την περίπτωση x>0

και

.

Axiolipitos94 · #4

Ευχαριστώ πάρα πολύ

Ερώτηση για ακέραια περιοχή

Ερώτηση για ακέραια περιοχή

Re: Ερώτηση για ακέραια περιοχή

Re: Ερώτηση για ακέραια περιοχή

Re: Ερώτηση για ακέραια περιοχή

Μέλη σε σύνδεση