Κλασική συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(y+zf(x))=f(y)+xf(z),}$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

#2

Στη δοσμένη σχέση

$\displaystyle{\boxed{f\left( {y + zf\left( x \right)} \right) = f\left( y \right) + xf\left( z \right)}}$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$

θέτουμε x = y = 1

και

, οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{f\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) + f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \boxed{f\left( 0 \right) = 0}.}$

Θέτουμε y=0

στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ , οπότε προκύπτει ότι

$\displaystyle{\boxed{f\left( {zf\left( x \right)} \right) = xf\left( z \right)}}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$

για κάθε $x, z \in \mathbb{R}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{a: = f\left( 1 \right)}$ , οπότε η $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ για z = 1

δίνει ότι

$\displaystyle{\boxed{f\left( {f\left( x \right)} \right) = ax}}$ $\bf \color{red} \left( 2 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

$\bullet$ Έστω ότι a = 0

. Τότε, θέτοντας x = 1

στη σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\boxed{f\left( z \right) = 0}}$

για κάθε $z \in \mathbb{R}$ , συνάρτηση που προφανώς επαληθεύει την $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ .

$\bullet$ Έστω ότι $a \ne 0$ . Θέτοντας x = 1

στη σχέση $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ , βρίσκουμε ότι $\displaystyle{f\left( a \right) = a.}$ Θέτοντας τώρα x = a

στη σχέση $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ , έχουμε ότι

$\displaystyle{{a^2} = f\left( {f\left( a \right)} \right) = f\left( a \right) = a,}$

οπότε a = 1

και η σχέση $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ γράφεται

$\displaystyle{\boxed{f\left( {f\left( x \right)} \right) = x}}$ $\bf \color{red} \left( 3 \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Θέτοντας x = 1

στη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\boxed{f\left( {y + z} \right) = f\left( y \right) + f\left( z \right)}}$ $\bf \color{red} \left( 4 \right)$

για κάθε $y, z \in \mathbb{R}$ .

Θέτοντας στη σχέση $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ όπου

το $\displaystyle{f\left( z \right)}$ , βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{f\left( {f\left( z \right)f\left( x \right)} \right) = xf\left( {f\left( z \right)} \right)\mathop = \limits^{\bf \color{red} \left( 3 \right)} xz}$

και άρα, πάλι λόγω της $\bf \color{red} \left( 3 \right)$ ,

$\displaystyle{f\left( z \right)f\left( x \right) = f\left( {f\left( {f\left( z \right)f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {xz} \right),}$

δηλαδή

$\displaystyle{\boxed{f\left( {xz} \right) = f\left( x \right)f\left( z \right)}}$ $\bf \color{red} \left( 5 \right)$

για κάθε $x, z \in \mathbb{R}$ .

Από τις σχέσεις $\bf \color{red} \left( 4 \right)$ και $\bf \color{red} \left( 5 \right)$ βλέπουμε ότι η

ικανοποιεί τόσο την προσθετική όσο και την πολλαπλασιαστική συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy και άρα (όπως πολλές φορές έχει αναφερθεί στο

...) θα είναι, στην περίπτωση αυτή,

$\displaystyle{\boxed{f\left( x \right) = x}}$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , συνάρτηση που επίσης επαληθεύει την $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ .

Ώστε, οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι η μηδενική και η ταυτοτική.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=502623

#4

Να δούμε και το αδερφάκι;

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(y+zf(x))=f(y)+xf(z),}$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}^+.$

Κλασική συναρτησιακή

Κλασική συναρτησιακή

Re: Κλασική συναρτησιακή

Re: Κλασική συναρτησιακή

Re: Κλασική συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση