Σταθερή συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, dx =1}$ και $\displaystyle{\int_0^1 (1-f(x))e^{-x}\, dx \leq 0}$ . Δείξτε ότι $f(x)=1, \; \forall x \in [0, 1]$ .

Y.Σ: Ξέχασα να πω , δεν έχω λύση.

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, dx =1}$ και $\displaystyle{\int_0^1 (1-f(x))e^{-x}\, dx \leq 0}$ . Δείξτε ότι $f(x)=1, \; \forall x \in [0, 1]$ .

Y.Σ: Ξέχασα να πω , δεν έχω λύση.

Αντιπαράδειγμα: H f(x)=2-2x

ικανοποιεί $\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, dx =1}$ αλλά από την $(-e^{-x}(1+2x))' = (-1+2x)e^{-x}= (1-f(x))e^{-x}$ έχουμε $\displaystyle{\int_0^1 (1-f(x))e^{-x}\, dx= \frac {e-3}{e}\leq 0}$ .

Πλην όμως

μη σταθερή.

Μ.

Tolaso J Kos · #3

κ. Μιχάλη ευχαριστώ.
Αν βάλουμε την εκφώνηση ως:

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, dx =1}$ και $\displaystyle{\int_0^1 (1-f(x))e^{\color{red}-f(x)}\, dx \leq 0}$ . Δείξτε ότι $f(x)=1, \; \forall x \in [0, 1]$ .

τότε βγαίνει ότι είναι σταθερή;

Πάλι δεν έχω λύση.

#4

Συγνώμη Λάθος Λύση

#5

Tolaso J Kos έγραψε:κ. Μιχάλη ευχαριστώ.
Αν βάλουμε την εκφώνηση ως:
Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, dx =1}$ και $\displaystyle{\int_0^1 (1-f(x))e^{\color{red}-f(x)}\, dx \leq 0}$ . Δείξτε ότι $f(x)=1, \; \forall x \in [0, 1]$ .
τότε βγαίνει ότι είναι σταθερή;

Πάλι δεν έχω λύση.

Νομίζω έχω λύση με την ανισότητα Chebysev (δείτε π.χ. εδώ):

Είναι $\displaystyle{\int_0^1 (1-f(x))e^{-f(x)}\, dx \geq \int_0^1 (1-f(x)) dx \int_0^1 e^{-f(x)}\, dx =0}$

οπότε $\displaystyle{\int_0^1 (1-f(x))e^{-f(x)}dx=0}$ με ισότητα όταν $\displaystyle{f(x)=1...}$

#6

socrates έγραψε: Νομίζω έχω λύση με την ανισότητα Chebysev (δείτε π.χ. εδώ):...

Τόλη, η ανισότητα Chebysev απαιτεί μονοτονία των συναρτήσεων μέσα στο ολοκλήρωμα, που δεν την έχουμε.

#7

Η απόδειξη όμως της Chebychev δουλεύει!

Παρατηρούμε ότι για κάθε $x,y \in [0,1]$ είναι

$\displaystyle{ ((1-f(x))-(1-f(y)))(e^{-f(x)}-e^{-f(y)}) = (f(y)-f(x))(e^{-f(x)}-e^{-f(y)}) \geqslant 0.}$

Οπότε είναι

$\displaystyle{ \int_0^1 \int_0^1 ((1-f(x))-(1-f(y)))(e^{-f(x)}-e^{-f(y)}) = (f(y)-f(x))(e^{-f(x)}-e^{-f(y)}) \, dx \, dy \geqslant 0}$

Αυτό δίνει

$\displaystyle{ 0 \geqslant \int_0^1 (1-f(x))e^{-f(x)} \, dx \geqslant \int_0^1 (1-f(x)) \, dx \int_0^1 e^{-f(x)} \, dx = 0.}$

Επομένως έχουμε ισότητα και άρα αφού

συνεχής (δεν δίνεται ως δεδομένο αλλά χρειάζεται) πρέπει $(f(y)-f(x))(e^{-f(x)}-e^{-f(y)}) = 0$ για κάθε $x,y \in [0,1]$ από το οποίο καταλήγουμε στο ότι η

είναι σταθερή.

$\rule{300pt}{1pt}$

Ουσιαστικά στην ανισότητα $\displaystyle{ \int_a^b f(x) g(x) \, dx \geqslant \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \, dx \int_a^b g(x) \, dx}$ αντί να απαιτήσουμε ότι οι f,g

έχουν την ίδια μονοτονία αρκεί να απαιτήσουμε ότι $f(x) \geqslant f(y)$ αν και μόνο αν $g(x) \geqslant g(y)$ .

#8

Demetres έγραψε: $\rule{300pt}{1pt}$

Ουσιαστικά στην ανισότητα $\displaystyle{ \int_a^b f(x) g(x) \, dx \geqslant \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \, dx \int_a^b g(x) \, dx}$ αντί να απαιτήσουμε ότι οι έχουν την ίδια μονοτονία αρκεί να απαιτήσουμε ότι $f(x) \geqslant f(y)$ αν και μόνο αν $g(x) \geqslant g(y)$ .

Δημήτρη, ακριβώς έτσι σκέφτηκα... Για αυτή την ιδιότητα των εμπλεκόμενων συναρτήσεων f,g

έχω δει να χρησιμοποιείται και ο όρος "comonotone"...

#9

Καλησπέρα.
Το έχω στείλει και στον Τόλη, το λέω κι εδώ. Μήπως πρέπει η άσκηση να μπει σε άλλον φάκελο;
Κι αν είναι δυνατόν να προσέχουμε που τις θέτουμε γιατί κι εμείς οι κακόμοιροι όταν αποφασίσουμε να
ασχοληθούμε ( το λέω γιατί πλέον ο χρόνος ενασχόλησης μου για φέτος λιγόστεψε με γεωμετρική πρόοδο) να ξέρουμε πάνω κάτω με τι εργαλεία θα ασχοληθούμε.
Ευχαριστώ, καλό απόγευμα.

G.Bas · #10

EDITED

Λάθος λύση.

Ευχαριστώ Σιλουανέ!

hsiodos · #11

Tolaso J Kos έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\int_0^1 f(x)\, dx =1}$ και $\displaystyle{\int_0^1 (1-f(x))e^{\color{red}-f(x)}\, dx \leq 0}$ . Δείξτε ότι $f(x)=1, \; \forall x \in [0, 1]$ .
Πάλι δεν έχω λύση.

Νομίζω ότι την έχουμε ξαναδεί πριν... χρόνια αλλά άντε βρες την.

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = x{e^x} - x\,\,,\,\,x \in R}$ .

Είναι $\displaystyle{{g{'}}(x) = x{e^x} + {e^x} - 1\,\,,\,\,{g{'}}(0) = 0\,\,,\,\,\,\,{g{'}}(x) > 0\,\,\,\forall x > 0\,\,\left( {x{e^x} > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{e^x} - 1 > 0\,} \right)\,\,,\,\,{g{'}}(x) < 0\,\,\,\forall x < 0\,\,\left( {x{e^x} < 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{e^x} - 1 < 0\,} \right)}$

Συνεπώς η $\displaystyle{g}$ στο $\displaystyle{{x_o} = 0\,}$ παρουσιάζει ελάχιστο το $\displaystyle{g(0) = 0\,}$ .

Άρα $\displaystyle{g(x) \ge 0\,\,\,\,\forall x \in R\,\,\,\,\,(\Sigma )}$ με την ισότητα να ισχύει μόνο αν $\displaystyle{\,x = 0}$ .

Έχουμε: $\displaystyle{\int_0^1 {f(x)dx} = 1 \Rightarrow \int_0^1 {\left( {1 - f(x)} \right)dx} = 0\,\,(1)}$

$\displaystyle{\int\limits_0^1 {\left( {1 - f\left( x \right)} \right){e^{ - f\left( x \right)}}dx} \le 0 \Rightarrow e\int_{\,0}^1 {(1 - f(x)){e^{ - f(x)}}dx\,\,} \le \,0}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \int_{\,0}^1 {(1 - f(x)){e^{1 - f(x)}}dx\,\,} \le \,0\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \int_{\,0}^1 {(1 - f(x)){e^{1 - f(x)}}dx\,\,} - \,\,\,\int_{\,0}^1 {(1 - f(x))dx\,\,} \le 0\,\,}$

$\displaystyle{ \Rightarrow \int_{\,0}^1 {\left[ {(1 - f(x)){e^{1 - f(x)}}\,\, - (1 - f(x))} \right]dx\,\,} \le \,0 \Rightarrow \int_{\,0}^1 {g\left( {1 - f(x)} \right)\,dx\,\,} \le \,0\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{(\Sigma )} g\left( {1 - f(x)} \right) = 0\,\,\forall x \in \left[ {0\,,1} \right]\,\,\,\,}$ , διαφορετικά θα ήταν $\displaystyle{\int_{\,0}^1 {g\left( {1 - f(x)} \right)\,dx\,\,} > 0}$ .

Μοναδική ρίζα όμως της $\displaystyle{g}$ είναι η $\displaystyle{x = 0}$ οπότε $\displaystyle{\forall x \in \left[ {0\,,1} \right]\,}$ είναι $\displaystyle{f(x) = 1}$ .

#12

Μετά τη σχολική λύση του Γιώργου Ροδόπουλου δεν έχω παρά να ανακαλέσω τα παραπάνω!
Πραγματικά διαβολική, ευχαριστούμε Γιώργο!

#13

G.Bas έγραψε: Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα Cauchy-Schwarz

$\displaystyle{0\leq\left(\int_0^1(f(x)-1)e^{-f(x)}\, dx\right)^2\leq\int_0^1 (f(x)-1)\, dx\cdot\int_0^1(f(x)-1)e^{-2f(x)}\, dx=0.}$

Γιώργο ξέρουμε το πρόσημο της συνάρτησης f(x)-1

;

G.Bas · #14

Γειά σου Σιλουανέ.

Όχι, δεν το γνωρίζουμε, είναι μάλιστα και θετικό και αρνητικό, σύμφωνα με την υπόθεση.

#15

Άρα δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την C-S έτσι όπως τη γράφεις.

G.Bas · #16

Σωστά, αφού κρύβεται ρίζα

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση