βραδυνό ολοκλήρωμα 42

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το
$\displaystyle\ I = \int {\frac{1}{{5 + 4\sin x}}\;dx}$

#2

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το
$\displaystyle\ I = \int {\frac{1}{{5 + 4\sin x}}\;dx}$

$\displaystyle I=\int\frac{1}{5+4\cos(\frac{\pi}{2}-x)}\,dx=-\int\frac{1}{5+4\cos y}\,dy\stackrel{u=\tan\frac{y}{2}}{=}-\int\frac{2}{u^{2}+9}\,du=-\frac{2}{9}\int\frac{1}{(\frac{u}{3})^{2}+1}\,du=$

$-\displaystyle\frac{2}{3}\arctan\frac{1}{3}\tan(\frac{\frac{\pi}{2}-x}{2})=-\frac{2}{3}\arctan\frac{1}{3}\tan\big(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\big)+c$ .

mathxl · #3

Aς δούμε και αυτό
$\displaystyle \ J = \smallint \frac{1}{{5 - 4\sin x}}\;dx$

#4

mathxl έγραψε:
Aς δούμε και αυτό
$\displaystyle \ J = \smallint \frac{1}{{5 - 4\sin x}}\;dx$

$\displaystyle J=\int\frac{1}{5+4\cos\big(\frac{\pi}{2}+x\big)}\,dx$ και προχωράμε εντελώς παρόμοια!

#5

Μήπως να δούμε και αυτό;;;;;

$\displaystyle \color{red}K \color{black}=\int \frac{1}{{4 + 5\sin x}}\;dx$

Άλλαξε το J σε Κ για να μη μπλεχτούμε με αυτό που έθεσα προς λύση...

mathxl · #6

Μία άλλη αντιμετώπιση (σύστημα)
$\begin{array}{l} I + J = \int {\frac{{10}}{{25 - 16{{\sin }^2}x}}\;dx} = \int {\frac{{10}}{{9 + 16{{\cos }^2}x}}\;dx} = \frac{{10}}{{16}}\int {\frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} \cdot {{\tan }^2}x + 1}} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\;dx} = \\ = \frac{{10}}{{16}}\int {\frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} \cdot {u^2} + 1}}\;du = } \frac{5}{6}\arctan \left( {\frac{{3u}}{4}} \right) + c = \frac{5}{6}\arctan \left( {\frac{{3\tan x}}{4}} \right) + c \\ I - J = \int {\frac{{ - 8\sin x}}{{25 - 16{{\sin }^2}x}}\;dx} = \int {\frac{{ - 8\sin x}}{{9 + 16{{\cos }^2}x}}\;dx} = \int {\frac{8}{{9 + 16{u^2}}}\;du} = ... \\ \end{array}$

#7

mathxl έγραψε:Μία άλλη αντιμετώπιση (σύστημα)
$\begin{array}{l} I + J = \int {\frac{{10}}{{25 - 16{{\sin }^2}x}}\;dx} = \int {\frac{{10}}{{9 + 16{{\cos }^2}x}}\;dx} = \frac{{10}}{{16}}\int {\frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} \cdot {{\tan }^2}x + 1}} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\;dx} = \\ = \frac{{10}}{{16}}\int {\frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} \cdot {u^2} + 1}}\;du = } \frac{5}{6}\arctan \left( {\frac{{3u}}{4}} \right) + c = \frac{5}{6}\arctan \left( {\frac{{3\tan x}}{4}} \right) + c \\ I - J = \int {\frac{{ - 8\sin x}}{{25 - 16{{\sin }^2}x}}\;dx} = \int {\frac{{ - 8\sin x}}{{9 + 16{{\cos }^2}x}}\;dx} = \int {\frac{8}{{9 + 16{u^2}}}\;du} = ... \\ \end{array}$

Καταχθόνιο.....

βραδυνό ολοκλήρωμα 42

βραδυνό ολοκλήρωμα 42

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 42

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 42

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 42

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 42

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 42

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 42

Μέλη σε σύνδεση