Τα κοινα σημεια των Cf και Cf-1

[Τηλέγραφος Κώστας]

Τα κοινα σημεια των Cf και βρισκονται πανω στην ψ=χ . Σ Λ
Tι αραγε επρεπε να απαντησουν οι μαθητες ;

[Dimitris X]

Λάθος εαν δίνεται μόνο αυτό......

[Christos.N]

Σ και μόνο σωστό....

βέβαια υποστηρίζουν αρκετοί ως αντιπαράδειγμα την συνάρτηση όπου όμως είναι λάθος ισχυρισμός (όπως και πολλά αλλα ίδια αντιπαραδείγματα).
Για την παραπάνω έχουμε
άρα σημείο της θα είναι το (1,-1)
βέβαια και όμως άρα σημείο της είναι το (-1,1) και όχι το (1,-1).

ΚΑΙ ΧΑΙΡΟΜΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ που το έθιξες το θέμα αυτό.

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

τετριμμένο θέμα, βαρέθηκα να το βλέπω, ας διαβάσουμε καλύτερα τον ορισμό της συνάρτησης

[christodoulou]

τετριμμένο θέμα, βαρέθηκα να το βλέπω, ας διαβάσουμε καλύτερα τον ορισμό της συνάρτησης

Συμφωνώ!!!

[mathxl]

Πράγματι πολυσυζητημένο, το είχαμε συζητήσει εδώ viewtopic.php?f=6&t=332 με αρκετές αντιπαραθέσεις

[sorfan]

Είναι ένα θέμα που έχει απασχολήσει αρκετά τη μαθηματική κοινότητα. Ο Αντώνης έχει
απαντήσει με κάθε λεπτομέρεια στον Ευκλείδη Β. Επιπλέον και στην τελευταία εργασία του
που κοινοποίησε στο forum περιγράφει αναλυτικά το θέμα.
Η ερώτηση δεν μπορεί να δοθεί έτσι γιατί άλλοτε τα κοινά σημεία βρίσκονται στην y=χ και άλλοτε όχι.
Πιο συγκεκριμένα, αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε τα κοινά σημεία βρίσκονται στην y=χ,
διαφορετικά όχι π.χ η y=1/χ με χ>0.
Η και η αντίστροφή της έχουν τρία κοινά σημεία
όταν , από τα οποία ένα μόνο βρίσκεται στην y=x.
Ας μην το επαναφέρουμε συνέχεια το θέμα.

Σπύρος Ορφανάκης

[grigkost]

Σ και μόνο σωστό....

αυτό τό θέμα έχει συζητηθεί εκτενέστατα στό mathematica, π.χ. απάντηση..., καί έχει δωθεί απάντηση:

"οί καί είναι δυνατόν νά έχουν κοινά σημεία καί εκτός τής διαγωνίου "

[Christos.N]

Σ και μόνο σωστό....

αυτό τό θέμα έχει συζητηθεί εκτενέστατα στό mathematica, π.χ. απάντηση..., καί έχει δωθεί απάντηση:

"οί καί είναι δυνατόν νά έχουν κοινά σημεία καί εκτός τής διαγωνίου "

Όσο και να το διαβάζω δύσκολα μπορώ να πιστώ για το αντίθετο ας είναι, εγώ χαίρομαι οποιαδήποτε συζήτηση πάνω στο θέμα. Το οποίο δεν το θεωρώ τετριμμένο και νομίζω ότι η έννοια της αντιμέτρησης σκόπιμα αποσιωπάται.

[Mihalis_Lambrou]

Σ και μόνο σωστό....
συνάρτηση όπου όμως είναι λάθος ισχυρισμός

Χρήστο, καλά θα κάνεις να ξεκαθαρίσεις αυτό το σημείο, γιατί ταλαιπωρείται χωρίς λόγο η μαθηματική κοινότητα. Έτσι διαιωνίζεται κάτι εσφαλμένο, που το αποδέχονται άκριτα πολλοί πελαγοδρομούντες.

Πρώτα από όλα ας δούμε που κάνεις λάθος εσύ όταν λές

άρα σημείο της θα είναι το (1,-1)
βέβαια και όμως άρα σημείο της είναι το (-1,1) και όχι το (1,-1).

Ναι το (-1, 1) είναι σημείο της . Συμφωνούμε. Το λάθος σου είναι ότι σχυρίζεσαι ότι δεν είναι το (1, -1).

Να το πω εμφατικά:

Το (1, -1) είναι σημείο του γραφήματος της

Κάνε σε παρακαλώ τα εξής:

α) Ζωγράφισε το γράφημα της f(x) = -x.
β) Βρες την αντίστροφη της f.
γ) Ζωγράφισε στους ίδιους άξονες το γράφημα της αντίστροφης.

Τι παρατηρείς. Πού τέμνονται τα σύνολα. Μόνο στο (0,0) ή και αλλού;

Εαν μετά από αυτά δεν ξεκαθαρίσεις την πραγματικότητα, δεν έχω άλλα επιχειρήματα. Εξαντλώ τις δυνατότητες μου, και ο έχων ώτα ακούειν ακουέτω. Τελεία.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[Mihalis_Lambrou]

νομίζω ότι η έννοια της αντιμέτρησης σκόπιμα αποσιωπάται.

Αυτό να μην το ξαναπείς. Είναι προσβολή στην ακαδημαϊκή ακεραιότητα των
μελών της Λέσχης.

Καλά, δεν έχεις διαβάσει τόσα και τόσα Μαθηματικά στη Λέσχη; Τι είναι αυτό που κάνει τα έγκριτα μέλη της Λέσχης να "αποσιωπούν σκόπιμα" ένα θέμα τόσο επουσιώδες; Φοβούνται ότι άμα το θίξουν θα αποκαλυφθούν τα ενδότερα των Ελευσινίων Μυστηρίων ή μήπως ότι θα γίνει η συντέλεια του κόσμου επειδή διέρρευσε η απαγορευμένη γνώση των ιεροφάντηδων;
Αστεία πράγματα.

Μιχάλης Λάμπρου

[Τηλέγραφος Κώστας]

Τα κοινα σημεια των Cf και βρισκονται πανω στην ψ=χ . Σ ΛΤο ερώτημα είναι από σημερινό διαγώνισμα σε κάποιο Λύκειο.
Το ερώτημα είναι λάθος για δυο λόγους.
1….Δεν διατυπώνεται καταρχήν σωστά λείπουν λέξεις όπως ≪ όλα τα κοινά σημεία ≫
≪ αν τέμνονται ≫ ≪ πάντα ≫ άρα για αυτόν λόγο μπορεί να θεωρηθεί και σωστό
2…Και αν δεχτούμε ότι εννοεί για όλα τα κοινά σημεία τότε και πάλι είναι λάθος δες την άσκηση 3 σχολικό σελ 157 το 4σχημα.

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Το ερώτημα είναι λάθος για δυο λόγους.
1….Δεν διατυπώνεται καταρχήν σωστά λείπουν λέξεις όπως ≪ όλα τα κοινά σημεία ≫
≪ αν τέμνονται ≫ ≪ πάντα ≫ άρα για αυτόν λόγο μπορεί να θεωρηθεί και σωστό
2…Και αν δεχτούμε ότι εννοεί για όλα τα κοινά σημεία τότε και πάλι είναι λάθος δες την άσκηση 3 σχολικό σελ 157 το 4σχημα.

Συμφωνώ απολύτως!!!!

[polysot]

"Για όλες τις συναρτήσεις που έχουν αντίστροφη όλα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των βρίσκονται πάντα πάνω στην ευθεία ", αυτό εννοούν όλοι οι συνάδελφοι που το γράφουν νομίζω, η απάντηση είναι λάθος ( όταν δεν υπάρχουν κοινά σημεία, δηλαδή δεν τέμνονται δεν έχει νόημα να μιλάμε και αυτές οι συναρτήσεις είναι εκτός ερωτήματος : επί του κενού συνόλου καμία συζήτηση δεν μπορεί να γίνει, οπότε το αν τέμνονται δεν χρειάζεται).
Ο σκοπός μίας τέτοιας ερώτησης είναι ο εμφανής : να καταλάβουν τα παιδιά ότι δεν βρίσκονται πάντα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο αντιστρόφων συναρτήσεων πάνω στην ψ=χ, κάτι που αποτελεί συχνή παρανόηση...
Φιλικά,

[sorfan]

polysot έγραψε:
"Για όλες τις συναρτήσεις που έχουν αντίστροφη όλα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των βρίσκονται πάντα πάνω στην ευθεία ", αυτό εννοούν όλοι οι συνάδελφοι που το γράφουν νομίζω, η απάντηση είναι λάθος ( όταν δεν υπάρχουν κοινά σημεία, δηλαδή δεν τέμνονται δεν έχει νόημα να μιλάμε και αυτές οι συναρτήσεις είναι εκτός ερωτήματος : επί του κενού συνόλου καμία συζήτηση δεν μπορεί να γίνει, οπότε το αν τέμνονται δεν χρειάζεται).

Αφού αυτό εννοούν γιατί δεν το γράφουν έτσι; Είναι δυνατόν να διατυπώνουμε μία ερώτηση στα μαθηματικά και να εννοούμε κάτι άλλο; Είναι μόνο θέμα προχειρότητας;

Σπύρος Ορφανάκης

[Mihalis_Lambrou]

"Για όλες τις συναρτήσεις που έχουν αντίστροφη όλα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των βρίσκονται πάντα πάνω στην ευθεία ", αυτό εννοούν όλοι οι συνάδελφοι που το γράφουν νομίζω, η απάντηση είναι λάθος ( όταν δεν υπάρχουν κοινά σημεία, δηλαδή δεν τέμνονται δεν έχει νόημα να μιλάμε και αυτές οι συναρτήσεις είναι εκτός ερωτήματος : επί του κενού συνόλου καμία συζήτηση δεν μπορεί να γίνει, οπότε το αν τέμνονται δεν χρειάζεται).

Σωτήρη, θα διαφωνήσω.

Μου είναι σαφές ότι όσοι ρωτούν το ρωτούν γιατί νομίζουν ότι αν τα δύο γραφήματα τέμνονται, τότε θα τέμνονται μόνο πάνω στην y = x.

Λέω ότι είναι "σαφές" γιατί δεν έχεις να ρίξεις μία ματιά λίγο παραπάνω που υπάρχει ο εσφαλμένος και διαιωνισμένος ισχυρισμός ότι η f(x) = -x και η αντίστροφή της (που είναι ο εαυτός της), τέμνονται μόνο στο (0,0). Ήμαρτον.

Το θέμα αυτό δεν είναι χθεσινό! Υπάρχει ολόκληρη ανταλλαγή διαξιφισμών που ταλαιπώρησε άσκοπα την μαθηματική κοινότητα. Μπροστάρης στην μία πλευρά, είναι ο Αντώνης Κυριακόπουλος.

Θα πάρω απερίφραστα θέση: Σε αυτή την επιστημονική διαμάχη, έχει δίκιο ο Αντώνης Κυριακόπουλος.

Με άλλα λόγια:

Το γράφημα της f και της αντίστροφής της, αν τέμνονται, μπορεί κάλλιστα να τέμνονται και εκτός της y = x. Tα παραδείγματα είναι μύρια. Το μαθηματικό σφάλμα που κάνουν όσοι ισχυρίζονται το αντίθετο είναι ορατό, εντοπισμένο, συζητημένο, ξεκαθαρισμένο.

Και όπως έγραψα παραπάνω, ο έχων ώτα ακούειν, ακουέτω. Τελεία.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

ΑΣΚΗΣΗ
Έστω f : A ---> B η συνάρτηση του σχήματος.
α) Συμληρώστε τα κενά: f(1) = ... , f(2) = ... , f(3) = ...
β) Βρείτε την και συμληρώστε τα κενά: .
γ) Βρείτε το γράφημα της f, συμπληρώνοντας τα κενά:
δ) Βρείτε το γράφημα της , συμπληρώνοντας τα κενά: .
ε) Βρείτε κοινα στοιχεία στα διαφορετικά από το (2,2).
στ) Να συμπεράνετε ότι τα γραφήματα των μπορεί να τέμνονται και εκτός της y = x.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
α) f(1) = 3 , f(2) = 2, f(3) = 1.
β) .
γ)
δ) .
ε) (1, 3), (3,1).
στ) ουδέν σχόλιο.

[polysot]

polysot έγραψε:
"Για όλες τις συναρτήσεις που έχουν αντίστροφη όλα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των βρίσκονται πάντα πάνω στην ευθεία ", αυτό εννοούν όλοι οι συνάδελφοι που το γράφουν νομίζω, η απάντηση είναι λάθος ( όταν δεν υπάρχουν κοινά σημεία, δηλαδή δεν τέμνονται δεν έχει νόημα να μιλάμε και αυτές οι συναρτήσεις είναι εκτός ερωτήματος : επί του κενού συνόλου καμία συζήτηση δεν μπορεί να γίνει, οπότε το αν τέμνονται δεν χρειάζεται).

Αφού αυτό εννοούν γιατί δεν το γράφουν έτσι; Είναι δυνατόν να διατυπώνουμε μία ερώτηση στα μαθηματικά και να εννοούμε κάτι άλλο; Είναι μόνο θέμα προχειρότητας;

Σπύρος Ορφανάκης

Άλλες φορές είναι θέμα προχειρότητας, άλλες φορές είναι θέμα έλλειψης ακρίβειας! Εξαρτάται από τον καθένα.

[polysot]

"Για όλες τις συναρτήσεις που έχουν αντίστροφη όλα τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των βρίσκονται πάντα πάνω στην ευθεία ", αυτό εννοούν όλοι οι συνάδελφοι που το γράφουν νομίζω, η απάντηση είναι λάθος ( όταν δεν υπάρχουν κοινά σημεία, δηλαδή δεν τέμνονται δεν έχει νόημα να μιλάμε και αυτές οι συναρτήσεις είναι εκτός ερωτήματος : επί του κενού συνόλου καμία συζήτηση δεν μπορεί να γίνει, οπότε το αν τέμνονται δεν χρειάζεται).

Σωτήρη, θα διαφωνήσω.

Μου είναι σαφές ότι όσοι ρωτούν το ρωτούν γιατί νομίζουν ότι αν τα δύο γραφήματα τέμνονται, τότε θα τέμνονται μόνο πάνω στην y = x.

Λέω ότι είναι "σαφές" γιατί δεν έχεις να ρίξεις μία ματιά λίγο παραπάνω που υπάρχει ο εσφαλμένος και διαιωνισμένος ισχυρισμός ότι η f(x) = -x και η αντίστροφή της (που είναι ο εαυτός της), τέμνονται μόνο στο (0,0). Ήμαρτον.

Το θέμα αυτό δεν είναι χθεσινό! Υπάρχει ολόκληρη ανταλλαγή διαξιφισμών που ταλαιπώρησε άσκοπα την μαθηματική κοινότητα. Μπροστάρης στην μία πλευρά, είναι ο Αντώνης Κυριακόπουλος.

Θα πάρω απερίφραστα θέση: Σε αυτή την επιστημονική διαμάχη, έχει δίκιο ο Αντώνης Κυριακόπουλος.

Με άλλα λόγια:

Το γράφημα της f και της αντίστροφής της, αν τέμνονται, μπορεί κάλλιστα να τέμνονται και εκτός της y = x. Tα παραδείγματα είναι μύρια. Το μαθηματικό σφάλμα που κάνουν όσοι ισχυρίζονται το αντίθετο είναι ορατό, εντοπισμένο, συζητημένο, ξεκαθαρισμένο.

Και όπως έγραψα παραπάνω, ο έχων ώτα ακούειν, ακουέτω. Τελεία.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

ΑΣΚΗΣΗ
Έστω f : A ---> B η συνάρτηση του σχήματος.
α) Συμληρώστε τα κενά: f(1) = ... , f(2) = ... , f(3) = ...
β) Βρείτε την και συμληρώστε τα κενά: .
γ) Βρείτε το γράφημα της f, συμπληρώνοντας τα κενά:
δ) Βρείτε το γράφημα της , συμπληρώνοντας τα κενά: .
ε) Βρείτε κοινα στοιχεία στα διαφορετικά από το (2,2).
στ) Να συμπεράνετε ότι τα γραφήματα των μπορεί να τέμνονται και εκτός της y = x.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
α) f(1) = 3 , f(2) = 2, f(3) = 1.
β) .
γ)
δ) .
ε) (1, 3), (3,1).
στ) ουδέν σχόλιο.

Λυπάμαι, αλλά είχα την αίσθηση ότι οποιοσδήποτε μαθηματικός, ακόμα κι αν κάποιος το είχε σαν σωστό στο μυαλό του (όλοι έχουμε λανθασμένες εντυπώσεις στο μυαλό μας), ακούγοντας όλες αυτές τις εξηγήσεις θα πείθονταν για το εσφαλμένο της σκέψης του. Πίστευα απλά ότι τα τόσα παραδείγματα είναι χρήσιμα για τους μαθητές, για τους οποίους η εσφαλμένη εντύπωση δημιουργείται συνήθως στη δευτέρα Λυκείου στην άλγεβρα, όταν δεν εμβαθύνουν σωστά στις λογαριθμικές - εκθετικές συναρτήσεις. Παρεμπιπτόντως πολύ όμορφο το παράδειγμά σου, το οποίο άρει και όλα αυτά που διάβασα σε κάποια σύνδεση παλιότερου θέματος περί φοράς των καμπυλών...
Ευχαριστώ,

[polysot]

Σ και μόνο σωστό....

βέβαια υποστηρίζουν αρκετοί ως αντιπαράδειγμα την συνάρτηση όπου όμως είναι λάθος ισχυρισμός (όπως και πολλά αλλα ίδια αντιπαραδείγματα).
Για την παραπάνω έχουμε
άρα σημείο της θα είναι το (1,-1)
βέβαια και όμως άρα σημείο της είναι το (-1,1) και όχι το (1,-1).

ΚΑΙ ΧΑΙΡΟΜΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ που το έθιξες το θέμα αυτό.

Δηλαδή ένα σημείο που ικανοποιεί μία συνάρτηση δεν είναι σημείο της γραφικής της παράστασης;!!!!::::