Εμπνευσμένο από tst

Antonis_Z · #1

Θεωρούμε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

.Οι εφαπτομένες του (O)

στα

τέμνονται στο

.

είναι το αντιδιαμετρικό του

.Αν $Q\equiv TA'\cap (O)$ και $S\equiv AO\cap c(T,TB)$ ,να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle ASQ$ εφάπτεται με τον c(T,TB)

.

#2

Έστω

, ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle SA'Q$ και από $(TA')(TQ) = (TC)^{2} = (TS)^{2}$ προκύπτει ότι η ευθεία

εφάπτεται του κύκλου (K)

στο σημείο

.

Έστω

, το σημείο τομής της ευθείας

από την μεσοκάθετη ευθεία του

και έχουμε $LQ\perp QK$ , όπου

είναι το κέντρο του κύκλου (K)

.

: Εμπνευσμένο από test.; f=112_t=49509.PNG (24.24 KiB) Προβλήθηκε 1062 φορές

Ισχύει $\angle SA'Q = \angle SKL = 90^{o} - \angle SLK\Rightarrow$ $\angle SLK = 90^{o} - \angle SA'Q\ \ \ ,(1)$

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle QAA'$ έχουμε $\angle SAQ = 90^{o} - \angle SA'Q\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)\Rightarrow$ $\angle SAQ = \angle SLK\ \ \ ,(3)$

Από (3)

συμπεραίνεται ότι το σημείο

ανήκει ατον κύκλο έστω (L)

με κέντρο το

και ακτίνα LS = LQ

.

Ο κύκλος αυτός τώρα, εφάπτεται του κύκλου $(T)\equiv c(T,TB)$ στο σημείο

και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστα ς Βήττας.

Grigoris K. · #3

Καλησπέρα Αντώνη και κ. Κώστα. Μετά την εξαιρετική λύση του κ. Βήττα, δίνω μια πιο περίπλοκη:

Έστω $\displaystyle{ D \equiv AA' \cap (T) }$ και $\displaystyle{ E \equiv QS \cap (T) }$ . Επειδή οι κύκλοι $\displaystyle{ (O),(T) }$ τέμνονται ορθογωνίως έπεται ότι η σημειοσειρά $\displaystyle{ A,S,A',D }$ είναι αρμονική.

Όμως $\displaystyle{ QA' \perp QA }$ άρα $\displaystyle{ QT }$ διχοτόμος της $\displaystyle{ \angle EQD }$ . Φέρω $\displaystyle{ TX \perp QE }$ και $\displaystyle{ TY \perp QD }$ . Τα ορθογώνια $\displaystyle{ \triangle EXT }$ και $\displaystyle{ \triangle DYT }$ είναι φανερά ίσα.

Επίσης $\displaystyle{ QY = QX }$ άρα $\displaystyle{ QE = QD }$ και κατά συνέπεια στο ισοσκελές $\displaystyle{ \triangle EQD }$ το $\displaystyle{ QT }$ είναι και ύψος. Επομένως $\displaystyle{ QT \perp ED }$ άρα $\displaystyle{ AQ \parallel ED }$ .

Η τελευταία παραλληλία εξασφαλίζει εύκολα την ύπαρξη κοινής εφαπτομένης των $\displaystyle{ (O),(T) }$ στο $\displaystyle{ S }$ .

Petros N. · #4

Έστω $X \equiv AQ \cap BC, Y \equiv AO \cap BC$ . Το τετράπλευρο BA'CQ

είναι αρμονικό άρα η δέσμη A(B,C,A',X)

αρμονική και
η τετράδα (B,C,Y,X)

αρμονική. Οι OB,OC

εφάπτονται στον (T,TB)

άρα η

συμμετροδιάμεσος στο SBC

και αφού η (B,C,Y,X)

αρμονική
η

εφάπτεται στον (T,TB)

άρα

άρα εφάπτεται και στον (ASQ)

.

Εμπνευσμένο από tst

Εμπνευσμένο από tst

Re: Εμπνευσμένο από tst

Re: Εμπνευσμένο από tst

Re: Εμπνευσμένο από tst

Μέλη σε σύνδεση