Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

papel · #1

Στο σχημα παρακατω το τριγωνο ABC ειναι ισοπλευρο και ειναι εγγεγραμμενο σε κυκλο.Εστω P σημειο του τοξου CB .Εαν ΑP=a , ΒP=b και CP=c να δειξετε οτι a=b+c.

#2

Eπιλεγουμε D επι της ΑP ετσι ωστε BD // PC, οποτε BPD ισοπλευρο και BAD ισο προς BCP.

Γιωργος Μπαλογλου

AlexandrosG · #3

Επισης προκυπτει απο το Θεωρημα του Πτολεμαιου αφου το τετραπλευρο ειναι εγγραψιμο.

#4

Μια ακόμα λύση με Ν. Ημιτόνων:

: Ptolemaiou.png (24.3 KiB) Προβλήθηκε 1597 φορές

Στο ΑCP $\displaystyle \frac{c}{{\eta \mu \phi }} = \frac{a}{{\eta \mu \left( {120^\circ - \phi } \right)}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;c = a \cdot \frac{{\eta \mu \phi }}{{\eta \mu \left( {60^\circ + \phi } \right)}}$

Στο ΑΒP $\displaystyle \frac{b}{{\eta \mu \left( {60^\circ - \phi } \right)}} = \frac{a}{{\eta \mu \left( {60^\circ + \phi } \right)}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;b = a \cdot \frac{{\eta \mu \left( {60^\circ - \phi } \right)}}{{\eta \mu \left( {60^\circ + \phi } \right)}}$

$\displaystyle b + c = a\left( {\frac{{\eta \mu \phi + \eta \mu \left( {60^\circ - \phi } \right)}}{{\eta \mu \left( {60^\circ + \phi } \right)}}} \right) = a\left( {\frac{{\eta \mu \phi + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu \phi - \frac{1}{2}\eta \mu \phi }}{{\eta \mu \left( {60^\circ + \phi } \right)}}} \right) = a\left( {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu \phi + \frac{1}{2}\eta \mu \phi }}{{\eta \mu \left( {60^\circ + \phi } \right)}}} \right) = \\ =a$

Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ. (1)Το έχουμε ξαναδεί; Αμυδρά κάτι θυμάμαι...

(2) Συμφωνώ με τον Αλέξανδρο. Είναι άμεση εφαρμογή του 1ου Θ. Πτολεμαίου:
Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων του ισούται με το άθροισμα του γινομένου των απέναντι πλευρών του.
Εδώ: ΑP·BC = AB·CP + AC·PB οπότε a·x = c·x+b·x άρα a = b + c, (x η πλευρά του ισοπλεύρου).

#5

Rigio έγραψε: Υ.Γ. (1)Το έχουμε ξαναδεί; Αμυδρά κάτι θυμάμαι...

Γιώργο,αν και αμυδρά καλά θυμάσαι ,γιατί το έχουμε ξαναδεί ...

... ΕΔΩ

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Φωτεινή έγραψε:
Rigio έγραψε: Υ.Γ. (1)Το έχουμε ξαναδεί; Αμυδρά κάτι θυμάμαι...
Γιώργο,αν και αμυδρά καλά θυμάσαι ,γιατί το έχουμε ξαναδεί ... ... ΕΔΩ

Πολύ θυμάσαι τώρα τελευταία και αρχίζω να ανησυχώ!! Ξεκίνησες να τρως λαχανικά; Ή τα προηγούμενα δεν ήθελες να τα θυμάσαι;;

#7

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Πολύ θυμάσαι τώρα τελευταία και αρχίζω να ανησυχώ!! Ξεκίνησες να τρως λαχανικά; Ή τα προηγούμενα δεν ήθελες να τα θυμάσαι;;

Άρχισα τα λαχανικά και το τσάι με λεμόνι

#8

Φωτεινή έγραψε:
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: Πολύ θυμάσαι τώρα τελευταία και αρχίζω να ανησυχώ!! Ξεκίνησες να τρως λαχανικά; Ή τα προηγούμενα δεν ήθελες να τα θυμάσαι;;
Άρχισα τα λαχανικά και το τσάι με λεμόνι

ΜΠΡΑΒΟ ΦΩΤΕΙΝΗ
νομίζω πως πρέπει να το αρχίσω και εγώ
Χρήστος

Μάκης Χατζόπουλος · #9

Φωτεινή έγραψε: το τσάι με λεμόνι

Στο μπαλκόνι?

papel · #10

To παραπανω ειναι γνωστο ως : Van Schooten's Theorem.

Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Re: Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Re: Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Re: Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Re: Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Re: Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Re: Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Re: Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Re: Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Re: Τετραπλευρο εγγεγραμμενο

Μέλη σε σύνδεση