Εξίσωση

#1

Να λυθεί στο $\mathbb R$ η εξίσωση

$3^{4x^3-3x}=\dfrac{2x}{4x^2+2x+1}$

Θεοδωρος Παγωνης · #2

Η δοθείσα εξίσωση ορίζεται σε όλο το $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και οι λύσεις της θα είναι οι τετμημένες των σημείων

τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $\displaystyle{f(x)={{3}^{4{{x}^{3}}-3x}}}$ και $\displaystyle{g(x)=\frac{2x}{4{{x}^{2}}+2x+1}}$ .

Είναι $\displaystyle{{f}'(x)={{3}^{4{{x}^{3}}-3x}}\cdot \ln 3\cdot \left( 12{{x}^{2}}-3 \right)}$

Οπότε :

• $\displaystyle{f}$ αύξουσα όταν $\displaystyle{x\in {{A}_{1}}=\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right]}$ με $\displaystyle{f({{A}_{1}})=\left( \underset{x\to -\infty }{\mathop \lim }\,f(x),f(-\frac{1}{2}) \right]=\left( 0,3 \right]}$

• $\displaystyle{f}$ φθίνουσα όταν $\displaystyle{x\in {{A}_{2}}=\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]}$ με $\displaystyle{f({{A}_{2}})=\left[ f(\frac{1}{2}),f(-\frac{1}{2}) \right]=\left[ \frac{1}{3},3 \right]}$

• $\displaystyle{f}$ αύξουσα όταν $\displaystyle{x\in {{A}_{3}}=\left[ \frac{1}{2},+\infty \right)}$ με $\displaystyle{f({{A}_{3}})=\left[ f(\frac{1}{2}),\underset{x\to +\infty }{\mathop \lim }\,f(x) \right)=\left[ \frac{1}{3},+\infty \right)}$

Είναι $\displaystyle{{g}'(x)=\frac{2\left( 4{{x}^{2}}+2x+1 \right)-2x\left( 8x+2 \right)}{{{\left( 4{{x}^{2}}+2x+1 \right)}^{2}}}=\frac{-8{{x}^{2}}+2}{{{\left( 4{{x}^{2}}+2x+1 \right)}^{2}}}}$

Οπότε :

• $\displaystyle{g}$ φθίνουσα όταν $\displaystyle{x\in {{A}_{1}}=\left( -\infty ,-\frac{1}{2} \right]}$ με $\displaystyle{g({{A}_{1}})=\left[ g(-\frac{1}{2}),\underset{x\to -\infty }{\mathop \lim }\,g(x) \right)=\left[ -1,0 \right)}$

• $\displaystyle{g}$ αύξουσα όταν $\displaystyle{x\in {{A}_{2}}=\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]}$ με $\displaystyle{g({{A}_{2}})=\left[ g(-\frac{1}{2}),g(\frac{1}{2}) \right]=\left[ -1,\frac{1}{3} \right]}$

• $\displaystyle{g}$ φθίνουσα όταν $\displaystyle{x\in {{A}_{3}}=\left[ \frac{1}{2},+\infty \right)}$ με $\displaystyle{g({{A}_{3}})=\left( \underset{x\to +\infty }{\mathop \lim }\,g(x),g(\frac{1}{2}) \right]=\left( 0,\frac{1}{3} \right]}$

Επομένως η κοινή λύση είναι όταν $\displaystyle{f({{x}_{0}})=g({{x}_{0}})=\frac{1}{3}}$ και η οποία συμβαίνει για $\displaystyle{x=\frac{1}{2}}$ .

#3

Αφού $3^{4x^3-3x} >0$ προκύπτει ότι x>0

.
Λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη και θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=ln(4x^2+2x+1)-ln(2x)+(4x^3-3x)ln3

, για

.
Η

είναι παραγωγίσιμη με
$f'(x)= \frac{8x+2}{4x^2+2x+1}-\frac{1}{x}+(12x^2-3)ln3 = \frac{4x^2-1}{x(4x^2+2x+1)}+ 3(4x^2-1)ln3 = (4x^2-1)\cdo\left[ \frac{1}{x(4x^2+2x+1)}+ 3ln3\right]$
$f '(x)= 0 \Rightarrow x= \frac{1}{2}$

ΔΕΝ ΘΥΜΑΜΑΙ ΠΩΣ ΦΤΙΑΧΝΟΥΜΕ ΤΟΝ ΠΙΝΑΚΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ. ΑΣ ΤΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙ ΚΑΠΟΙΟΣ
Η

παρουσιάζει ελάχιστο στο $x= \frac{1}{2}$ το $f(\frac{1}{2})=0$ .

Αρα η αρχική εξίσωση έχει μοναδική ρίζα το $x= \frac{1}{2}$

KARKAR · #4

Κι ένα σχήμα

: εξίσωση.png (110.02 KiB) Προβλήθηκε 1234 φορές

#5

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Να λυθεί στο $\mathbb R$ η εξίσωση

$3^{4x^3-3x}=\dfrac{2x}{4x^2+2x+1}$

Το τριώνυμο του παρανομαστή είναι πάντα θετικών τιμών γιατί η διακρίνουσά του είναι αρνητική και ο συντελεστής του δευτεροβαθμίου όρου είναι θετικός.

Αν λοιπόν $x \leqslant 0$ η εξίσωση είναι αδύνατη .

Τώρα με x > 0

η εξίσωση γράφεται : ${3^{3x - 4{x^3}}} = 1 + 2x + \dfrac{1}{{2x}} \geqslant 3\,\,\,(1)$ με το ίσον να ισχύει για $\boxed{{x_0} = \dfrac{1}{2}}$ τιμή που καθιστά το πρώτο μέλος ${3^{\dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{8}}} = 3$ και άρα αποτελεί λύση της εξίσωσης .

Αν δεν ισχύει το ίσον στην (1)

θα έχουμε ${3^{3x - 4{x^3}}} > 3$ απ’ όπου $3x - 4{x^3} > 1,x > 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 3x + 1 < 0,x > 0\,\,(2)$ .

Όμως η πολυωνυμική συνάρτηση $f(x) = 4{x^3} - 3x + 1$ με x > 0

έχει $f'(x) = 12{x^2} - 3 = 3(2x + 1)(2x - 1)$ και παρουσιάζει ελάχιστο στο $\dfrac{1}{2}$ με $f(\dfrac{1}{2}) = 0$ και συνεπώς η (2)

είναι αδύνατη .

Μοναδική λοιπόν πραγματική ρίζα είναι $\boxed{{x_0} = \frac{1}{2}}$ .

Φιλικά Νίκος

#6

Σας ευχαριστώ πολύ για τις ωραίες λύσεις σας!

Μια εναλλακτική προσέγγιση, που δεν απαιτεί χρήση διαφορικού λογισμού θα ήταν να παρατηρήσουμε ότι

$\dfrac{2x}{4x^2+2x+1}=\dfrac{2x}{(2x-1)^2+6x}\leq \dfrac{2x}{6x}=\dfrac {1}{3}$ για κάθε x>0

με το ίσον να ισχύει μόνο όταν $x=\dfrac{1}{2}.$

Μέσω του σχήματος Horner $4x^3-3x=(2x-1)(2x^2+x-1)-1=(2x-1)^2(x+1)-1\geq -1$ για κάθε x>0.

Άρα $3^{4x^3-3x}\geq \dfrac{1}{3}$ για κάθε x>0

με το ίσον να ισχύει μόνο όταν $x=\dfrac{1}{2}.$
H μοναδική λύση στους θετικούς είναι λοιπόν το $\dfrac{1}{2}.$

#7

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Να λυθεί στο $\mathbb R$ η εξίσωση

$3^{4x^3-3x}=\dfrac{2x}{4x^2+2x+1}$

Προφανώς

Από ΑΜ-ΓΜ είναι $\displaystyle{4x^3+1=4x^3+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 3x,}$ οπότε $3^{4x^3-3x}\geq \frac{1}{3},$ με την ισότητα αν-ν $\displaystyle{x=\frac{1}{2}.}$

Όμως, $\displaystyle{\frac{2x}{4x^2+2x+1}\leq \frac {1}{3},}$ για κάθε $\displaystyle{x>0,}$ με την ισότητα αν-ν $\displaystyle{x=\frac{1}{2}.}$

Επομένως,

$\displaystyle{3^{4x^3-3x}=\dfrac{2x}{4x^2+2x+1}\iff x=\frac{1}{2}}$

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση