Άσκηση 5 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

#1

Έστω

είναι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν οι:
$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{3}{4}$ , (1)

$\sqrt{a^2+c^2}-\sqrt{b^2+d^2}=15$ , (2)

.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης K=ac + bd - ad - bc

.

Μέχρι να πηδήξουμε τις φωτιές
(24-6-15)

T-Rex · #2

Πρέπει να υπάρχει κάτι πιο απλό
K=ac+bd-ad-bc=a(c-d)+b(d-c)=a(c-d)-b(c-d)=(a-b)(c-d)

και κάνω αυτούς τους όρους από την (2)
Από την (1) $c=\frac{4a}{3}$ και $d=\frac{4b}{3}$ και η (2) γίνεται
$\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{b^{2}+d^{2}}=15\Leftrightarrow \sqrt{a^{2}+\frac{16a^{2}}{9}}-\sqrt{b^{2}+\frac{16b^{2}}{9}}=15\Leftrightarrow 5a-5b=45\Leftrightarrow a-b=9$
Από την (1) έχουμε πάλι $a=\frac{3c}{4}$ και $b=\frac{3d}{4}$
και η (2) τώρα γίνεται
$\sqrt{\frac{9c^{2}}{16}+c^{2}}+\sqrt{\frac{9d^{4}}{16}+d^{2}}=15\Leftrightarrow \sqrt{\frac{25c^{2}}{16}}+\sqrt{\frac{25d^{2}}{16}}=15\Leftrightarrow c-d=12$
Αρα Κ=9.12=108

Άσκηση 5 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Άσκηση 5 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: Άσκηση 5 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση