Εντοπισμός σημείου ( ΓΥΜΝΑΣΙΟ )

KARKAR · #1

: Θέση σημείου.png (3.65 KiB) Προβλήθηκε 1144 φορές

Εντοπίστε σημείο

της πλευράς

ορθογωνίου ABCD

, διαστάσεων $5\times 2$ ,

ώστε $\widehat{ASB}=90^0$ . Προσπαθήστε και για διαφορετική λύση . Μέχρι 21/5/2015

Φανης Θεοφανιδης · #2

Ο Πυθαγόρας για τα ορθογώνια τρίγωνα ASB

,

λέει
$25=AS^{2}+SB^{2}$ $\left(1 \right)$
$SB^{2}=SC^{2}+CB^{2}$ $\left(2 \right)$
$AS^{2}=AD^{2}+DS^{2}$ $\left(3 \right)$
Προσθέτοντας κατά μέλη τις $\left(2 \right)$ και $\left(3 \right)$ έχουμε
$AS^{2}+SB^{2}=SC^{2}+DS^{2}+AD^{2}+CB^{2}$
Η τελευταία λόγω τις $\left(1 \right)$ και λόγω των δεδομένων γράφεται
$SC^{2}+DS^{2}=17$
Θέτοντας $DS=\chi$ , $SC=\psi$ έχουμε
$\chi ^{2}+\psi ^{2}=17$ $\left(4 \right)$
Είναι όμως $\chi +\psi =DC=5$ $\left(5 \right)$
Από τις $\left(4 \right)$ και $\left(5 \right)$ έχουμε
για $\chi =1$ , $\psi =4$ και για $\chi =4$ , $\psi =1$
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το

ικανοποιεί το ζητούμενο
εάν βρίσκεται

μονάδα από το

οπότε

από το

ή εάν βρίσκεται

μονάδες από το

οπότε

από το

.

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Θέση σημείου.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Εντοπίστε σημείο της πλευράς ορθογωνίου , διαστάσεων $5\times 2$ ,

ώστε $\widehat{ASB}=90^0$ . Προσπαθήστε και για διαφορετική λύση . Μέχρι

Εντοπισμός: Γράφουμε ημικύκλιο με διάμετρο την

που τέμνει τη

στα σημεία S, S'

. Και οι δύο θέσεις είναι δεκτές.

: Εντοπισμός σημείου.png (6.84 KiB) Προβλήθηκε 1005 φορές

Υπολογισμός: Έστω DS=x

. Τα ορθογώνια τρίγωνα ADS, CSB

είναι όμοια ( $\hat{SAD}=\hat{BSC}$ ως συμπληρωματικές της $\hat{DSA}$ ).

$\displaystyle{\frac{x}{2} = \frac{2}{{5 - x}} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 4}$ . Άρα: $\boxed{DS=1, DS'=4}$

T-Rex · #4

$DA^{2}=DS.DS' \Leftrightarrow 4=x(5-x) \Leftrightarrow 4=5x-x^{2} \Leftrightarrow x^{2}-5x+4=0 \Leftrightarrow$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$x=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2}$
x=1

ή

T-Rex · #5

και για να μην ξεχνάμε(η καρτέλα με το σχήμα από το συνέδριο είναι στο γραφείο μου) από ΕΔΩ επειδή τα εμβαδά είναι ίσα
$\sqrt{4+x^{2}}.\sqrt{(5-x)^{2}+4}=2.5\Leftrightarrow x^{4}-10x^{3}+33x^{2}-40x+16=0$

που μία λύση είναι το ένα :spam:

Εντοπισμός σημείου ( ΓΥΜΝΑΣΙΟ )

Εντοπισμός σημείου ( ΓΥΜΝΑΣΙΟ )

Re: Εντοπισμός σημείου ( ΓΥΜΝΑΣΙΟ )

Re: Εντοπισμός σημείου ( ΓΥΜΝΑΣΙΟ )

Re: Εντοπισμός σημείου ( ΓΥΜΝΑΣΙΟ )

Re: Εντοπισμός σημείου ( ΓΥΜΝΑΣΙΟ )

Μέλη σε σύνδεση