Kύκλος

erxmer · #1

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

πλευρας

και τα τόξα των κύκλων $(A, \frac{a}{2}), (B, \frac{b}{2}), (C, \frac{c}{2})$ που περιέχονται στο τρίγωνο. Να υπολογιστεί το μήκος και το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλο στο καμπυλόγραμμο τρίγωνο
DEZ

.

Β Λυκείου, εως 11/3

#2

erxmer έγραψε:Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευρας και τα τόξα των κύκλων $(A, \frac{a}{2}), (B, \frac{b}{2}), (C, \frac{c}{2})$ που περιέχονται στο τρίγωνο. Να υπολογιστεί το μήκος και το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλο στο καμπυλόγραμμο τρίγωνο
.

Β Λυκείου, εως 11/3

μήπως όλες οι ακτίνες είναι α/2

erxmer · #3

xr.tsif έγραψε:
erxmer έγραψε:Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευρας και τα τόξα των κύκλων $(A, \frac{a}{2}), (B, \frac{b}{2}), (C, \frac{c}{2})$ που περιέχονται στο τρίγωνο. Να υπολογιστεί το μήκος και το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλο στο καμπυλόγραμμο τρίγωνο
.

Β Λυκείου, εως 11/3
μήπως όλες οι ακτίνες είναι α/2

Προφανώς σε ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Η απάντηση στην ερώτηση είναι καταφατική εφόσον a=b=c

απο την υπόθεση.

Φανης Θεοφανιδης · #4

ΤΡΟΠΟΣ Α

Αρκεί να υπολογίσουμε την ακτίνα, έστω $\rho$ του κύκλου με κέντρο το σημείο

.

Είναι $BZ=\dfrac{\sqrt{3}\alpha }{2}\Leftrightarrow BK+KZ=\dfrac{\sqrt{3}\alpha }{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow B\Theta +\Theta K+KZ=\dfrac{\sqrt{3}\alpha }{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \dfrac{\alpha }{2}+\rho +KZ=\dfrac{\sqrt{3}\alpha }{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow KZ=\dfrac{\sqrt{3}\alpha -\alpha -2\rho }{2}$ (1)

Εφαρμόζοντας το Π.Θ. στο ορθογώνιο τρίγωνο KZA

, έχουμε ότι $KZ^{2}+ZA^{2}=AK^{2}$ (2)

Λόγω της

, η

γράφεται ισοδύναμα

$\dfrac{(\sqrt{3}\alpha -\alpha -2\rho )^{2}}{4}+\dfrac{\alpha ^{2}}{4}=(\dfrac{\alpha }{2}+\rho )^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \rho =\dfrac{\alpha (2\sqrt{3}-3)}{6}$ .

Φανης Θεοφανιδης · #5

ΤΡΟΠΟΣ Β

Θεωρούμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή το σημείο

, άξονα $O\chi$ την $A\Gamma$
και άξονα $O\psi$ την κάθετη επί της $A\Gamma$ στο σημείο

.

Οπότε A(0,0)

, $\Gamma (\alpha ,0)$ , $B(\dfrac{\alpha }{2},\dfrac{\sqrt{3}\alpha }{2})$ με $\alpha >0$ .

Προφανώς $K(\dfrac{\alpha }{2},\kappa )$

Είναι $BZ:\chi =\dfrac{\alpha }{2}$ (1)

$AE:\psi =\dfrac{\sqrt{3}}{3}\chi$ (2)

(διότι $\lambda _{AE}=\varepsilon \phi \hat{\Gamma AE}=\varepsilon\phi 30^{0}$ )

Επειδή το

είναι σημείο τομής των

,

από τις

,

έχουμε ότι

$\kappa =\dfrac{\sqrt{3}\alpha }{6}$

Οπότε $K(\dfrac{\alpha }{2},\dfrac{\sqrt{3}\alpha }{6})$

Έστω $\rho$ η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το

Επειδή οι κύκλοι $(A,\dfrac{\alpha }{2})$ , $(K,\rho )$ εφάπτονται εξωτερικά στο

,

ισχύει $AH+HK=d(A,K)\Leftrightarrow \dfrac{\alpha }{2}+\rho =\sqrt{\dfrac{\alpha ^{2}}{4}+\dfrac{3\alpha ^{2}}{36}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \rho =\dfrac{\alpha (2\sqrt{3}-3)}{6}$ .

T-Rex · #6

Επίσης τη ακτίνα με λιγότερες πράξεις μπορούμε να την υπολογίσουμε μα βάση την ιδιότητα ότι στο ισόπλευρο τρίγωνο οι διάμεσοι είναι ύψη και διχοτόμοι και τέμνονται στα $\frac{2}{3}$ της απόστασης από την κορυφή

Kύκλος

Kύκλος

Re: Kύκλος

Re: Kύκλος

Re: Kύκλος

Re: Kύκλος

Re: Kύκλος

Μέλη σε σύνδεση