ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Λάμπρος Μπαλός · #61

ΑΣΚΗΣΗ 21 (Από το mathematica είναι)

Δίνεται η συνάρτηση $f : R \rightarrow R$ , η οποία είναι συνεχής με f (0)=2

και για κάθε $x \in R$

ικανοποιεί τη σχέση $f (f (x))+4f (x)=6-x^{4}$ (1)

Α) Να βρείτε το f (2)

και το

Β) Να αποδείξετε ότι $f (- \sqrt {2})=f ( \sqrt {2})=0$

Γ) Αν $lim_{x \rightarrow 1} \frac {x^{4}+4f (x)-5}{x-1}=4$ , να βρείτε το $lim_{x \rightarrow 1} f (x)$

και το $lim_{x \rightarrow 1} f (f (x))$ .

Δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (f (x))+1=0

, έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα $(- \sqrt {2} , \sqrt {2})$ .

dennys · #62

1)H σχέση που δίνεται για χ=0,θα μας δώσει $f(2)+8=6\Rightarrow f(2)=-2$

και για χ=2,'εχουμε $f(f(2))+4f(2)=6-16\Rightarrow f(-2)+4(-2)=-10\Rightarrow f(-2)=-10+8=-2$

2)Aν η συνάρτηση μηδενίζεται στο $x_o: f(x_o)=0\Rightarrow f(f(x_o))+4f(x_o)=6-(x_o)^4\Rightarrow$

$(x_o)^4=4\Rightarrow x_o=+\sqrt{2},-\sqrt{2}$

3)Στο όριο λόγω μηδενισμού του παρονομαστή ,πρέπει να μηδενίζει και ο αριθμητής αφου είναι το όριο αριθμός.

Ετσι και λόγω της συνέχειας $1+4f(1)=5\Rightarrow f(1)=1$ και με αλλαγ'η μεταβλητής $\lim_{x\to 1}f(f(x))=1$

ή με αντικατάσταση απο την δοσμένη και όρια

4) Η σχέση είναι ισοδύναμη με την $6-x^4-4f(x)=-1\Rightarrow x^4+4f(x)-7=0$ , την οποία θέτω συνάρτηση

$g(x)=x^4+4f(x)-7, g(0)=1>0,g(-\sqrt{2})=g(\sqrt{2})<0$

και 2 Μπολτζάνο .

nickos_m · #63

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 21 (Από το mathematica είναι)

Δίνεται η συνάρτηση $f : R \rightarrow R$ , η οποία είναι συνεχής με και για κάθε $x \in R$

ικανοποιεί τη σχέση $f (f (x))+4f (x)=6-x^{4}$ (1)

Α) Να βρείτε το και το .

Α)Για

και από (1) έχω $f(f(0))+4f(0)=6-x^{4}\Leftrightarrow f(2)+8=6\Leftrightarrow f(2)=-2$ . Τώρα για x=2

από (1) έχω $f(f(2))+4f(2)=6-16\Leftrightarrow f(-2)-8=-10\Leftrightarrow f(-2)=-2$

nickos_m · #64

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 21 (Από το mathematica είναι)

Δίνεται η συνάρτηση $f : R \rightarrow R$ , η οποία είναι συνεχής με και για κάθε $x \in R$

ικανοποιεί τη σχέση $f (f (x))+4f (x)=6-x^{4}$ (1)

Α) Να βρείτε το και το

Β) Να αποδείξετε ότι $f (- \sqrt {2})=f ( \sqrt {2})=0$

.

Α)Για

και από (1) έχω $f(f(0))+4f(0)=6-x^{4}\Leftrightarrow f(2)+8=6\Leftrightarrow f(2)=-2$ . Τώρα για x=2

από (1) έχω $f(f(2))+4f(2)=6-16\Leftrightarrow f(-2)-8=-10\Leftrightarrow f(-2)=-2$

B)Για το χ όπου έχω f(x)=0

είναι $x^{4}=4\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Δεν έχω εξοικειωθεί ακόμη με τα όρια

Λάμπρος Μπαλός · #65

Πώς ξέρουμε ότι η

έχει ρίζα; Αυτά πρέπει να γράφονται!

Φανταστείτε την f (x)=5

η οποία επαληθεύει την xf (x)-5x=0

και να πω ότι για

για το οποίο f (k)=0

θα είναι $kf (k)-5k=0 \Leftrightarrow k=0$

Άρα f (0)=0

.

?

Christos75 · #66

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 20

Έστω, η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτησης $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , με και $\displaystyle f'(0)=\frac{1}{2}$ .

Γ. Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης .

Ας επιχειρήσω να προχωρήσω την Άσκηση 20...

Γ. 'Εστω τρία σημεία $A,B,\Gamma$ σημεία του γραφήματος της συνάρτησης τα οποία είναι συνευθειακά, με

$A( x_{1},f( x_{1} ) ), B( x_{2},f( x_{2} ) ), \Gamma ( x_{3}, f( x_{3} ) )$ και μπορούμε επίσης χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι:

$x_{1} < x_{2} < x_{3}$ . Εφόσον έχουμε υποθέσει ότι τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά, τότε θα ισχύει:

$\lambda _{B \Gamma } =\lambda _{AB } \Leftrightarrow f'( x_{0})=f'( x_{4} ) (1)$ αφού οι συντελεστές διεύθυνσης είναι με ίσοι με την παράγωγο στο

συγκεκριμένο σημείο.

Η συνάρτηση

είναι συνεχής στα διαστήματα $[ x_{1} , x_{2} ], [ x_{2}, x_{3} ]$ ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

Επίσης, η συνάρτηση

είναι παρ/μη στα $( x_{1} , x_{2} ), ( x_{2}, x_{3} )$ από Θ.Μ.Τ. διαφορικού λογισμού υπάρχουν $x_{0}, x_{4}$

με $x_{0} \in (x_{1} x_{2})$ και $x_{4} \in (x_{2} x_{3})$ τέτοια ώστε:

$f'( x_{0} )= \frac{f( x_{2})-f( x_{1} )}{ x_{2}- x_{1}} (2)$ και $f'( x_{4} )= \frac{f( x_{3})-f( x_{2} )}{ x_{3}- x_{2}} (3)$

Επίσης η συνάρτηση

είναι παράγωγίσιμη, υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο της και είναι:

$f''(x)= (\frac{2 e^{ \frac{3x}{2} }-1 }{2 e^{ \frac{x}{2} } })'=...= \frac{4 e^{2x}+ e^{ \frac{x}{2} } }{4 e^{x}}>0 \Rightarrow$

$f''(x)>0 \Rightarrow f' \uparrow$ Κατά συνέπεια για οποιαδήποτε $x_{0}< x_{4} \Rightarrow f'( x_{0} )<f'( x_{4} )$ αφού η

γνησίως

αύξουσα, ΑΤΟΠΟ! Άρα, δεν υπάρχουν τρία σημεία του γραφήματος της

που να είναι συνευθειακά.

dennys · #67

2) Eίναι $f''(x)>0\Rightarrow f$ γν.αύξουσα και $f'(x)=0\Rightarow x=-ln4/3\Rightarrow f'<0,x>-ln4/3\Rightarrow f'>0$

αρα προκύπτει η μονοτονία της απο την συνέχεια της και το πρόσημο της f'

3)Αφου $f''>0\Rightarrow f$ κυρτή και τα 3 συνευθειακά δημιουργούν ισες τιμές για την πρώτη παράγωγο, άρα με ρόλλ,σημείο μηδενισμού της f'' ΑΤΟΠΟ

4) $\lim_{x\to +\infty}\cfrac{f^{2}(x)(1+\cfrac{\sqrt{f(x)+1}}{f^2(x)})}{xsinf(x)}=\lim_{x\to +\infty}\cfrac{f(x)}{x} \cfrac{1+...}{\frac{1}{f(x)}sinf(x)}=(+\infty)\cfrac{1+0}{0}=+\infty$ , με όριο παρονομαστή το 0 ,ως μηδενική επι φραγμένη.

5)Aπο $-ln4/3<0\Rightarrow f(-ln4/3)<f(0)=2$ , και απο την μονοτονία της συνάρτησης το πεδίο τιμών της είναι :

$f(A)=[minf,+\infty)U[minf,+\infty)$ , με τον 2 να περιέχεται σε κάθε διάστημα μία φορά ,αρα η εξίσωση έχει 2 μόνο ρίζες.(ή με συνάρτηση)

#68

ΑΣΚΗΣΗ 22

Έστω $\displaystyle{f:R\to R}$ μια συνάρτηση με την ιδιότητα $\displaystyle{f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}}$ , για κάθε $\displaystyle{x,y\in R}$ .
Να αποδείξετε ότι :
α) Αν υπάρχει $\displaystyle{c\in R}$ ώστε $\displaystyle{f(c)=1}$ ή $\displaystyle{f(c)=-1}$ , τότε η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή .
β) Αν η $\displaystyle{f}$ δεν είναι σταθερή τότε το σύνολο τιμών της είναι υποδιάστημα του $\displaystyle{(-1,1)}$ .
γ) Αν η $\displaystyle{f}$ δεν είναι σταθερή τότε είναι περιττή .
δ) Αν η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{0}$ με $\displaystyle{f'(0) = {\rm{\alpha }}}$ , να βρείτε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$

Edit : Προστέθηκε το (δ) ερώτημα (Δείτε τις δημοσιεύσεις παρακάτω )

Antonis Loutraris · #69

Γιώργη καλησπέρα, ελπίζω να είσαι καλά!

Για το (α):Έστω οτι υπάρχει κάποιο $c\in\mathbb{R}$ με τη παραπάνω ιδιότητα. Τότε:

$\displaystyle{f(x)=f\left(c+(x-c)\right)=\frac{f(c)+f(x-c)}{1+f(c)f(x-c)}=\frac{\pm 1+f(x-c)}{1 \pm f(x-c)}=\pm 1}$

άρα

σταθερή.

Για το (β): Έστω τώρα οτι η

δεν είναι σταθερή.

Αν θέσουμε όπου

το

έχουμε $\displaystyle{f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f^{2}(x)}}$ το οποίο προφανώς κατα απόλυτη τιμή είναι μικρότερο του 1,
συνεπώς το σύνολο τιμών περιέχεται στο σύνολο (-1,1).

Για το (γ):

Εύκολα μπορεί να δείξει κάποιος οτι αν η

όχι σταθερή τότε f(0)=0

( αρκεί στο (α) να δει οτι αν το c=0

η συνάρτηση είναι σταθερή)

Τώρα αν θέσουμε οπου

το

έχουμε εύκολα το ζητούμενο.

Φιλικά,

Αντώνης

Antonis Loutraris · #70

Επανέρχομαι στο προηγούμενο σχόλιο διότι μόλις είδα οτι με την επιπλέον υπόθεση της
παραγωγισιμότητας στο

έχουμε ενδιαφέρον τύπο για την

To αφήνω σαν άσκηση όπως και την απόδειξη της παραγωγιμότητας για την

σε όλο το $\mathbb{R}.$

chris_konst · #71

Antonis Loutraris έγραψε:Επανέρχομαι στο προηγούμενο σχόλιο διότι μόλις είδα οτι με την επιπλέον υπόθεση της
παραγωγισιμότητας στο έχουμε ενδιαφέρον τύπο για την

To αφήνω σαν άσκηση όπως και την απόδειξη της παραγωγιμότητας για την σε όλο το $\mathbb{R}.$

Προφανώς ενδιαφερόμαστε για μη σταθερή $\displaystyle{f}$ . Έστω ότι $\displaystyle{f'(0)=a}$ , το οποίο από τον ορισμό του παράγωγου αριθμού σημαίνει $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=a} } \quad (1)$ . Ακόμα, η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{\displaystyle{0}}$ ως παραγωγίσιμη, άρα $\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0 } \quad (2)$

Έστω $\displaystyle{x_{0} \in \mathbb{R} }$ . Για $\displaystyle{h}$ κοντά στο $\displaystyle{0}$ έχουμε:

$\displaystyle{ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \frac{ \frac{f(x_0)+f(h)}{1+f(x_0)f(h)}-f(x_0)}{h} = \frac{ f(x_0)+f(h) -f(x_0)(1+f(x_0)f(h))}{h(1+f(x_0)f(h))} = \frac{f(h)}{h} \left( \frac{ 1-f^2(x_0)}{1+f(x_0)f(h)} \right) }$ .

Εξ' αιτίας των $\displaystyle{(1),(2)}$ , υπάρχει στο $\displaystyle { \mathbb{R}}$ το όριο του 2ου μέλους καθώς $\displaystyle{ h \to 0}$ και είναι ίσο με $\displaystyle{a(1-f^2(x_0))}$ , άρα η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $\displaystyle{x_{0} \in \mathbb{R} }$ και $\displaystyle{ f'(x_0) = a(1-f^2(x_0))}$ , δηλ. $\displaystyle{ \boxed{ f'(x) = a(1-f^2(x))} \Leftrightarrow \boxed{ \frac{f'(x)}{1-f^2(x)} = a \quad (4)} }$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$ , αφού από το (β) ερώτημα είναι $\displaystyle{-1<f(x)<1 }$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$ .

Σχόλιο: είναι $\displaystyle{a \neq 0}$ διότι αν $\displaystyle{a = 0}$ τότε προκύπτει αμέσως ότι η $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή στο $\displaystyle{\mathbb{R} }$ . Επιπλέον, ανάλογα με το πρόσημο του $\displaystyle{a}$ προκύπτει αμέσως η γνήσια μονοτονία της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

H $\displaystyle{(4)}$ (η οποία είναι προφανώς μια απλή διαφορική χωριζομένων μεταβλητών), μπορεί να ξαναγραφτεί (μετά π.χ. από ανάλυση σε απλά κλάσματα) ως $\displaystyle{ \frac{f'(x)}{1-f(x)} + \frac{f'(x)}{1+f(x)} = 2a }$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$ , άρα

$\displaystyle{ \left[ - \ln (1-f(x)) + \ln (1+f(x)) \right] ' = (2ax)' }$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$

Άρα $\displaystyle{ \ln \left( \frac{1+f(x)}{1-f(x)} \right) = 2ax +c }$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$ , για κάποια σταθερά $\displaystyle{c}$ .

Για $\displaystyle{x=0}$ βρίσκουμε $\displaystyle{c=0}$ , και μετά τις πράξεις : $\displaystyle{ \boxed{f(x)=\frac{e^{2ax}-1}{e^{2ax}+1} }}$ .

Σχόλιο: Είναι $\displaystyle{ \boxed{f(x)= \tanh (ax) }}$

M.S.Vovos · #72

ΑΣΚΗΣΗ 23

Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη συνάρτηση

, για την οποία ισχύει η σχέση $\displaystyle e^{x-f(x)}=f'(x)-1$ , καθώς και ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=2$ .

A. Να δείξετε ότι f(x)=x+ln(x+1)

, για κάθε x> -1

.

B. Να μελετήσετε τη συνάρτηση

, ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της. Στη συνέχεια, να δείξετε ότι η

είναι κοίλη και να βρείτε το πρόσημο της.

Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

, τους άξονες x'x

και

, καθώς και της ευθείας x=1

.

Δ. Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(3x)=f(2x)+f(4x)

.

EDIT: Επαναφορά της αρχικής άσκησης.

raf616 · #73

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 23

Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύει η σχέση $\displaystyle e^{x-f(x)}=f'(x)-1$ , καθώς και ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=2$ .

A. Να δείξετε ότι , για κάθε .

B. Να μελετήσετε τη συνάρτηση , ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της. Στη συνέχεια, να δείξετε ότι η είναι κοίλη και να βρείτε το πρόσημο της.

Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τους άξονες και , καθώς και της ευθείας .

Δ. Να λύσετε την εξίσωση .

Καλησπέρα, μία προσπάθεια, ελπίζω σωστή.

Νομίζω πως θα έπρεπε να δίνεται και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Θεωρώ πως είναι το $(-1, +\infty)$ .

(α) Έστω $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ . Τότε $\displaystyle{\lim_{x \to 0}f(x) = 0 \cdot 2 = 0}$ και άρα αφού

συνεχής αφού είναι παραγωγίσιμη είναι f(0) = 0

.

Έστω ισχύει $f'(x) - 1 = e^{x-f(x)} > 0$ . Έστω h(x) = f(x)-x

. Τότε $\displaystyle{e^{f(x)-x} = \dfrac{1}{(f(x) - x)'} \iff e^{h(x)} = \dfrac{1}{h'(x)} \iff (e^{h(x)})' = 1 \iff e^{h(x)} = x + c}$

Για x = 0

είναι

και άρα

. Άρα $h(x) = \ln(x+1)$ .

Άρα $f(x) = x + \ln(x+1), \forall x > -1$ .

(β) Είναι $f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x + 1} > 0, \forall x > -1$ . Άρα,

γνησίως αύξουσα.

Η

δεν έχει ακρότατα αφού αν είχε έστω x_0

τότε από θεώρημα Fermat πρέπει f'(x_0) = 0

, άτοπο.

Ισχύει $\displaystyle{\lim_{x \to -1^{+}}(x + \ln(x + 1))} = -\infty$ και $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}(x + \ln(x + 1))} = +\infty$ .

Άρα, αφού

γνησίως αύξουσα το σύνολο τιμών είναι το $(-\infty, +\infty) = \Bbb{R}$ .

Ισχύει $f''(x) = -\dfrac{1}{(x+1)^2} < 0$ και άρα

κοίλη. Ισχύει f(0) =0

και αφού

γνησίως αύξουσα είναι μοναδική ρίζα.

Άρα $x > 0 \iff f(x) > f(0) = 0$ και $x < 0 \iff f(x) < 0$ . Άρα

αρνητική στο (-1, 0)

,

για

και θετική στο $(0, +\infty)$ .

(γ) Πρέπει να βρούμε το $\displaystyle{\int_{0}^{1}{f(x)dx}}$ .

Είναι $\displaystyle{\int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{(x + \ln(x+1)dx)} = \int_{0}^{1}{xdx} + \int_{0}^{1}{\ln(x+1)dx} = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} + \left[(x+1)\ln(x+1)\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{1dx} = \dfrac{1}{2} + 2\ln2 - \left[x\right]_{0}^{1} = 2\ln2 - \dfrac{1}{2}}$

(δ) Αντικαθιστώντας έχουμε:

$\displaystyle{x + \ln(x+1) + 3x + \ln(3x + 1) = 2x + \ln(2x + 1) + 4x + \ln(4x + 1) ] \iff \ln\dfrac{3x^2 + 4x + 1}{8x^2 + 6x + 1} = 2x = \ln e^{2x} \iff \dfrac{3x^2 + 4x + 1}{8x^2 + 6x + 1} - e^{2x} = 0}$

Αν $m(x) = \dfrac{3x^2 + 4x + 1}{8x^2 + 6x + 1} - e^{2x}$ τότε $m'(x) = \dfrac{-14x^2 - 10x - 2}{(8x^2 + 6x + 1)^2} - 2e^{2x} < 0$ .

Άρα

γνησίως φθίνουσα. Παρατηρούμε ότι m(0) = 0

και άρα

που είναι και η μοναδική ρίζα.

*EDIT: Η λύση μου αναφέρεται στην ανάρτηση που υπήρχε και φαίνεται στην αρχή της δημοσίευσής μου. Δεν είναι δηλαδή η άσκηση 23 που φαίνεται στη δημοσίευση του

προτείνοντα.

dennys · #74

H σχέση που δίνετε για την ευρεση της συνάρτησης

,είναι λάθος .Παρακαλώ δωστε την σωστή.

M.S.Vovos · #75

dennys έγραψε:H σχέση που δίνετε για την ευρεση της συνάρτησης ,είναι λάθος .Παρακαλώ δωστε την σωστή.

Προσθέθηκε ενα ξεχασμένο δυάρι... Συγγνώμη αν ταλαιπώρησα κάποιον.

Μάριος

dennys · #76

viewtopic.php?f=53&t=2289

o φίλος και υπέροχος μαθηματικός mathxl Βασίλης Μαυροφρύσης (κατα κόσμο) έγραψε πάλι .
Υπάρχουν όμως συνθήκες που ο συνάδελφος Mάριος δεν έδινε .Ηθελε σχολική λύση,αλλά όχι Ricatti, αλλά!!!!!!!!!!!

dennys

M.S.Vovos · #77

ΑΣΚΗΣΗ 24

Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(-\infty ,1 )\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

$\displaystyle \left ( f'(x)-2x \right )^{2}=f''(x)-2$ , με f(0)=0

και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1$ .

A. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)=x^{2}-ln(1-x)$ , για κάθε x< 1

.

B. Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο σημεία $\displaystyle A(x_{1},f(x_{1}))$ και $\displaystyle B(x_{2},f(x_{2}))$ , με $\displaystyle x_{1}< x_{2}$ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

, που τέμνουν τον άξονα x'x

.

Γ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

, τον άξονα x'x

και την ευθεία x=1/2

.

Δ. Να βρείτε την εφαπτομένη, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Ε. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$ , με $n\in \mathbb{N}^{*}$ .

erxmer · #78

ΑΣΚΗΣΗ 25

Δίνεται η συνάρτηση $f(e^x)=b \cdot x \cdot e^x$ με b>0

1) Να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

2) Να βρείτε το πλήθος των θετικών λύσεων της εξίσωσης $\displaystyle{x^b=\displaystyle{e^{\frac{m}{x}}}}$ με $m \in R$

3) Να αποδείξετε ότι :

i) f'(x+1)>f(x+1)-f(x)>f'(x)

ii) $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x+5}{x} \right)^x=e^5}$

4) Για κάθε πραγματικό $z \in (0,1)$ υπάρχει x_0

τέτοιο ώστε $\displaystyle{\left( \int_{z}^{x_0}{f(x)dx} - e\right)^2=e^2}$

M.S.Vovos · #79

...Μια λύση στην ΑΣΚΗΣΗ 25...

1. Αν θέσουμε, όπου $e^{x}$ το

, θα έχουμε:

$f(y)=\beta \cdot ylny$ . Επομένως, η συνάρτηση γίνεται:

$f(x)=\beta \cdot xlnx,\forall x> 0$

Έχουμε, λοιπόν, $\displaystyle f'(x)=\beta \cdot (lnx+1)$

$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow \beta \cdot (lnx+1)=0\Leftrightarrow lnx=-1\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}$

$\displaystyle f'(x)> 0\Leftrightarrow \beta \cdot (lnx+1)> 0\Leftrightarrow lnx> -1\Leftrightarrow x> \frac{1}{e}$

Άρα, η συνάρτηση

, αφού είναι συνεχής, παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση $\displaystyle x_{0}=\frac{1}{e}$ και είναι γνησίως αύξουσα στο

$\displaystyle [\frac{1}{e},+\infty )$ , και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle (-\infty ,\frac{1}{e}]$

Για το σύνολο τιμών, θα πάρουμε τα όρια στο $+\infty$ και στο

.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\beta \cdot χlnx \right )=\beta \cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }χlnx\overset{\beta > 0}{=}+\infty$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+} }f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+} }\left (\beta \cdot xlnx \right )=\beta \cdot \lim_{x\rightarrow 0^{+} }xlnx=\beta \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}\overset{DLH}{=}-\beta \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}=0$

Άρα, το σύνολο τιμών της συνάρτησης

, είναι το:

$f\left (\left ( 0,+\infty \right ) \right )=[-\frac{1}{e},+\infty )$

2. Έχουμε ότι:

$\displaystyle x^{\beta }=e^{\frac{\mu }{x}}\Leftrightarrow ln\left (x^{\beta } \right )=ln\left (e^{\frac{\mu }{x}} \right )\Leftrightarrow \beta\cdot lnx=\frac{\mu }{x}\Leftrightarrow \beta lnx=\frac{\mu }{x},x> 0$

Άρα, $f(x)=\mu ,\mu \in \mathbb{R}$
Επομένως:

Αν $\mu \in [e^{-1},+\infty )$ , τότε η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση.

Αν $\mu \in (-\infty ,e^{-1})$ , τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις στο $\mathbb{R}$ .

3. (i) Επειδή η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty )$ , προκύπτει ότι, η

είναι συνεχής στο [x,x+1]

, και παραγωγίσιμη στο

(x,x+1)

.

Οπότε, η

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα [x,x+1]

.

Επομένως, υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in (x,x+1)$ τέτοιο, ώστε:

$\displaystyle f'(\xi )=\frac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x}\Leftrightarrow f'(\xi )=f(x+1)-f(x)$

Έχουμε, όμως:

$x< \xi < x+1\overset{f'\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha }{\Leftrightarrow }f'(x)< f'(\xi )< f'(x+1)\Leftrightarrow f'(x+1)> f(x+1)-f(x)> f'(x)$

(ii) $\displaystyle l=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x+5}{x} \right )^{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{\left ( ln\left ( \frac{x+5}{x} \right )^{x}} \right )$

$\displaystyle l=\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{xln\left ( \frac{x+5}{x} \right )}=\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{\frac{ln\left ( \frac{x+5}{x} \right )}{\frac{1}{x}}}\overset{DLH}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{\frac{5x}{x+5}}=e^{5}$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Χρωστάω το τελευταίο ερώτημα στην ασκηση 25. Όποιος ένδιαφέρεται να το λύσει.

alexandrosvets · #80

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 24

Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(-\infty ,1 )\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

$\displaystyle \left ( f'(x)-2x \right )^{2}=f''(x)-2$ , με και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1$ .

A. Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)=x^{2}-ln(1-x)$ , για κάθε .

Καλησπέρα στην όμορφη παρέα του

με μια αντιμετώπιση στο α' ερώτημα.

Θεωρούμε την h(x)=f(x)-x^2,x<1

.Από την δοθείσα σχέση έχουμε:

$(h'(x))^2=h''(x)\Leftrightarrow h''(x)-(h'(x))^2=0\Leftrightarrow e^{-h(x)}h'(x)=c_1$ ,σχέση 1.

Ομως $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1=f'(0)$ .Άρα h'(0)=1

.Από την (1) έχουμε:

$e^{-h(x)}h'(x)=1\Leftrightarrow e^{-h(x)}=-x+c_2\Leftrightarrow e^{-h(x)}=-x+1\Leftrightarrow$

$-h(x)=ln(1-x)\Leftrightarrow f(x)=x^2-ln(1-x),x<1$

Ελπίζω πως δεν έχω κάνει κάποιο λάθος γιατί γράφω από τάμπλετ.Αν μπορέσω και πληκτρολογήσω την υπόλοιπη καλώς αλλιώς οποιος έχει ορεξη ας την συνεχίσει.

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Μέλη σε σύνδεση