Γεωμετρείν 101

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

Έστω τρίγωνο $\text{ABC}$ και σημείο

στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε

οι γωνίες ACD,~DAB,~ABD

να έχουν μέτρο ${{18}^{0}},~{{12}^{0}},~{{6}^{0}}$ αντίστοιχα.

Αν ισχύει επίσης ότι CD=AB

, βρείτε το μέτρο της γωνίας CAD

.

: geometrein101.PNG (16.5 KiB) Προβλήθηκε 938 φορές

#2

Καλημέρα Δημήτρη.
Πάμε τριγωνομετρικά.

$\vartriangle ADC\rightarrow \dfrac{AD}{\sin 18}=\dfrac{CD}{\sin x},\quad (1)$

$\vartriangle ADB\rightarrow \dfrac{AB}{\sin 18}=\dfrac{AD}{\sin 6},\quad (2)$

$(1),(2)\Rightarrow \sin x=\dfrac{\sin ^2 18}{\sin 6}=\dfrac{\sin ^2 18\cdot 2\cos 6}{\sin 12}=\dfrac{\sin ^2 18\cdot 2\cos 6\cdot 2\cos 12}{\sin 24}\Rightarrow$

$\sin x=\dfrac{\sin ^2 18\cdot 2\cos 6\cdot 2\cos 12\cdot 2\cos 24}{\sin 48}\Rightarrow$

$\sin x=\dfrac{\sin ^2 18\cdot 2{\cancel\cos 6}\cdot 2\cos 12\cdot 2\cos 24\cdot 2\cos 48}{\cancel{\cos 6}}\Rightarrow$

$\sin x=\cos 24=\sin 66\Rightarrow x=66^o$ ,αφού

$2^4 \sin ^2 18\cos 12\cos 48=2^3(\sin ^2 18)(\cos 60+\cos 36)=1$

$\color {red}\bullet$ edit
Eπισήμανση του Θανάση Καλογεράκη ( sakis1963) σε π.μ (Σάκη σε ευχαριστώ πολύ )

Αν το δούμε κατασκευαστικά, το τρίγωνο ABD

είναι σταθερό οπότε το

προσδιορίζεται σαν τομή δύο κύκλων :
του (D, R=AB=DC)

και
του κύκλου που ορίζεται ως γεωμ. τόπος των σημείων που βλέπουν το σταθερό τμήμα

υπό σταθερή γωνία 18^o

που στη γενική περίπτωση είναι δύο σημεία.
Αρα δεν πρέπει να παραλείψουμε την περίπτωση της λύσης των 114^o

(παραπληρωματικής των 66^o

) η οποία δίνει γωνία $\hat A=114^o+12^o=126^o < 180^o$ και άρα κατασκευάσιμο τρίγωνο ABC

Δημήτρης Μυρογιάννης · #3

Φωτεινή και Θανάση σας ευχαριστώ. Στο ίδιο στυλ με το Γεωμετρείν 100:

1. Επί της

λαμβάνουμε σημείο

τέτοιο ώστε AD=DF

, με αποτέλεσμα να δημιουργηθούν τα ισοσκελή ADF,~DFB

.

2. Σχεδιάζουμε τα ισόπλευρα $\text{DFH},~AGB$ και φέρουμε τις HA,~HG,~HB

.

3. Παρατηρούμε (αφαιρετικά από γωνία κορυφής) τη γωνία βάσης του ισοσκελούς ADH

δηλαδή την $DAH={{18}^{0}}$ , κάτι που καθιστά την

μεσοκάθετο του

και κατά συνέπεια ότι HB=HG

.

4. Παρατηρούμε τη γωνία βάσης του ισοσκελούς FHB

, δηλαδή την $FHB=FBH={{36}^{0}}$ , που σημαίνει ότι $HGB=HBG={{24}^{0}}$ ή ότι $AGH={{36}^{0}}$ .

5. Παρατηρούμε την εξωτερική του ισοσκελούς ADH

(ή την εξωτερική του AGHD

), δηλαδή ότι $ADz={{36}^{0}}$ , κάτι που καθιστά το AGHD

εγγράψιμο, οπότε $AGD=AHD={{18}^{0}}$ .

6. Από την ισότητα των γωνιών $ACD=AGD={{18}^{0}}$ πιστοποιούμε και το εγγράψιμο ACGD

που μας δίνει (αφού AG=CD

) ότι $CAG={{18}^{0}}$

7. Η λύση ολοκληρώνεται αφού $CAD={{60}^{0}}+{{18}^{0}}-{{12}^{0}}={{66}^{0}}$ .

: GeoMetrein-101-Lysh.PNG (49.98 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές

Γεωμετρείν 101

Γεωμετρείν 101

Re: Γεωμετρείν 101

Re: Γεωμετρείν 101

Μέλη σε σύνδεση