IMC 2015/1/1

#1

Έστω ακέραιος $n\geqslant 2$ και δύο $n\times n$ πραγματικοί πίνακες $A,\; B$ που ικανοποιούν την εξίσωση

$\displaystyle{A^{-1}+B^{-1}=(A+B)^{-1}.}$

Να δειχθεί ότι $\det (A)=\det(B)$ .

Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα αν οι πίνακες είναι μιγαδικοί;

#2

Demetres έγραψε:Έστω ακέραιος $n\geqslant 2$ και δύο $n\times n$ πραγματικοί πίνακες $A,\; B$ που ικανοποιούν την εξίσωση

$\displaystyle{A^{-1}+B^{-1}=(A+B)^{-1}.}$

Να δειχθεί ότι $\det (A)=\det(B)$ .

Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα αν οι πίνακες είναι μιγαδικοί;

Από την δοθείσα έχουμε

$\displaystyle{(A+B)(A^{-1}+B^{-1})=I}$ άρα

$\displaystyle{I + AB^{-1} +BA^{-1}=O}$

Πολλαπλασιάζοντας από δεξιά επί

έπεται $\displaystyle{B + A= -BA^{-1}B}$

'Ομοια (ή λόγω συμμετρίας) είναι επίσης $\displaystyle{B + A= -AB^{-1}A}$ . Συγκρίνοντας είναι

$\displaystyle{BA^{-1}B= AB^{-1}A}$ . Παίρνοντας ορίζουσες έπεται $\displaystyle{ |A|^3=|B|^3}$

από όπου (για πραγματικούς πίνακες) |A|=|B|

, όπως θέλαμε.

Για μιγαδικούς πίνακες δεν ισχύει κατ' ανάγκη το ζητούμενο όπως διαπιστώνουμε λαμβάνοντας
$A=\omega I, \, B = \omega ^2 I$ , όπου $\omega$ μιγαδική τρίτη ρίζα της μονάδας: Ισχύει η αρχική λόγω των $\frac {1}{\omega} = \omega ^2, \, \omega + \omega ^2 =-1$ , αλλά $|A|=\omega ^n, \, |B| = \omega ^{2n}$ που δεν είναι ίσα αν n=2

.

Φιλικά,

Μιχάλης

IMC 2015/1/1

IMC 2015/1/1

Re: IMC 2015/1/1

Μέλη σε σύνδεση