Σταθερή συνάρτηση

#1

Μία συνάρτηση

είναι συνεχής στο

και επιπλέον σε κάθε διάστημα $(x_{1},x_{2})$ υπάρχει

τέτοιο ώστε $f(a)\geq max({f(x_{1}),f(x_{2})})$ . Να αποδειχθεί ότι η

είναι σταθερή.

#2

Έστω

πραγματικοί αριθμοί. Θα δείξουμε ότι η f(a)=f(b)

.

Έστω $M=\max \{f(x)| a\leq x \leq b\}$ .

Λόγω συνέχειας της

το σύνολο $\{x\in [a,b]| f(x)=M\}$ είναι μη κενό.
Έστω

ένα στοιχείο του, δηλ. f(c)=M

Έστω $t=\inf \{x\in [a,b]| f(x)=M\}$ και $s=\sup \{x\in [a,b]| f(x)=M\}$ .

Τότε f(t)=M

και

λόγω συνέχειας της

.

(Πράγματι, υπάρχει ακολουθία $\{c_n\}$ ( c_1=c

), τέτοια ώστε f(c_n)=M

και $\lim_{n\to \infty} c_n =t$ . Λόγω συνέχειας, λοιπόν, θα είναι f(t)=M

. Όμοια δείχνουμε ότι f(s)=M

).

Τέλος παρατηρούμε ότι

t=a

και

.

Πράγματι, αν a<t

, τότε θα υπάρχει a<t'<t

, τέτοιο ώστε $f(t')\geq f(t)=M$ , άτοπο.
Όμοια δείχνουμε ότι s=b

.

Συνεπώς,

f(a)=M=f(b)

,

κι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αχιλλέας

#3

Και το φυσικό επακόλουθο
Βρείτε συνάρτηση

ορισμένη στο $\mathbb{R}$ , που δεν είναι σταθερή και σε κάθε διάστημα $(x_{1},x_{2})$ υπάρχει

τέτοιο ώστε $f(a)\geq max({f(x_{1}),f(x_{2})})$ .
Μαυρογιάννης

#4

nsmavrogiannis έγραψε:Και το φυσικό επακόλουθο
Βρείτε συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{R}$ , που δεν είναι σταθερή και σε κάθε διάστημα $(x_{1},x_{2})$ υπάρχει τέτοιο ώστε $f(a)\geq max({f(x_{1}),f(x_{2})})$ .
Μαυρογιάννης

Η χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών είναι ένα τέτοιο παράδειγμα, δηλαδή

f(x)=1

, αν

ρητός

, αν

άρρητος.

Ασφαλώς, μπορούμε να κατασκευάσουμε πάρα πολλά τέτοια παραδείγματα.

Αχιλλέας

#5

Σωστά Αχιλλέα. Το παράδειγμα που είχα κατα νού ήταν μία ασυνεχής που ικανοποιεί την f(x+y)=f(x)+f(y)

. Για μια τέτοια υπάρχει πάντα

μεταξύ των x_1

,

ώστε η ανισότητα
$f(a) \geq \max(f(x_{1}), f(x_{2}))$ να είναι γνήσια.
Μαυρογιάννης

#6

nsmavrogiannis έγραψε:Σωστά Αχιλλέα. Το παράδειγμα που είχα κατα νού ήταν μία ασυνεχής που ικανοποιεί την . Για μια τέτοια υπάρχει πάντα μεταξύ των , ώστε η ανισότητα
$f(a) \geq \max(f(x_{1}), f(x_{2}))$ να είναι γνήσια.
Μαυρογιάννης

Δεν πήγε εκεί ο νους μου. Αλλά, το παράδειγμα σας αυτό είναι πολύ πιο ενδιαφερον.

Ξεφυλλίζοντας το "Theorem and Counterexamples in Mathematics" B. R. Gelbaum, J.M.H. Olmsted,
βρήκα την παρακάτω άσκηση 1.1.4.1 (σελ. 6-7):

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μη μετρήσιμη συνάρτηση που είναι λύση της συναρτησιακής εξίσωσης f(x+y)=f(x)+f(y)

για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ .

i) Να δείχθεί ότι η

είναι μη φραγμένη άνω (και κάτω) σε οποιοδήποτε ανοικτό διάστημα.
ii) Για κάθε $a\in \mathbb{R}$ , το σύνολο $\{x\in R: f(x)\geq a\}\cap U$ είναι πυκνό στο

για κάθε ανοικτό σύνολο

. (Ομοίως αν στην ανισότητα το $\geq$ αντικατασταθεί με <, >

ή $\leq$ ).

Αχιλλέας

Jeronymo Simonstone · #7

Ξεφυλλίζοντας το "Theorem and Counterexamples in Mathematics" B. R. Gelbaum, J.M.H. Olmsted,

In Analysis

στρατευμένη η τέχνη.

mtsarduckas · #8

Nope, το "...in Analysis" είναι ο μικρός αδερφός αυτού!

#9

achilleas έγραψε:ii) Για κάθε $a\in \mathbb{R}$ , το σύνολο $\{x\in R: f(x)\geq a\}\cap U$ είναι πυκνό στο για κάθε ανοικτό σύνολο . (Ομοίως αν στην ανισότητα το $\geq$ αντικατασταθεί με ή $\leq$ ).

Αυτή η άκρως εντυπωσιακή ιδιότητα των ασυνεχών (και ως εκ τούτου και των μη μετρησίμων) λύσεων της συναρτησιακής εξίσωσης του Cauchy τις κάνει πρόσφορες για πλήθος αντιπαραδειγματων. Είναι πολύ κακές συναρτήσεις...ικανές για οτιδήποτε!
Και μιας και το έφερε η κουβέντα για πηγές αντιπαραδειγμάτων εκτός από τα δύο βιβλία των Gelbaum, Olmsted πολύ χρήσιμη, με προσανατολισμό στα σχολικά Μαθηματικά, είναι η μεταπτυχιακή εργασία του συναδέλφου Γιάννη Πλατάρου
Η διδασκαλία του Απειροστικού Λογισμού μέσω αντιπαραδειγμάτων
'Οσοι δεν έχει τύχει να την ξέρουν μπορούν να την βρουν στην ιστοσελίδα του:
http://homepages.pathfinder.gr/plataros/
Μαυρογιάννης

Ιστοσελίδα · #10

nsmavrogiannis έγραψε:
achilleas έγραψε:ii) Για κάθε $a\in \mathbb{R}$ , το σύνολο $\{x\in R: f(x)\geq a\}\cap U$ είναι πυκνό στο για κάθε ανοικτό σύνολο . (Ομοίως αν στην ανισότητα το $\geq$ αντικατασταθεί με ή $\leq$ ).
Αυτή η άκρως εντυπωσιακή ιδιότητα των ασυνεχών (και ως εκ τούτου και των μη μετρησίμων) λύσεων της συναρτησιακής εξίσωσης του Cauchy τις κάνει πρόσφορες για πλήθος αντιπαραδειγματων. Είναι πολύ κακές συναρτήσεις...ικανές για οτιδήποτε!
Και μιας και το έφερε η κουβέντα για πηγές αντιπαραδειγμάτων εκτός από τα δύο βιβλία των Gelbaum, Olmsted πολύ χρήσιμη, με προσανατολισμό στα σχολικά Μαθηματικά, είναι η μεταπτυχιακή εργασία του συναδέλφου Γιάννη Πλατάρου
Η διδασκαλία του Απειροστικού Λογισμού μέσω αντιπαραδειγμάτων
'Οσοι δεν έχει τύχει να την ξέρουν μπορούν να την βρουν στην ιστοσελίδα του:
http://homepages.pathfinder.gr/plataros/
Μαυρογιάννης

Ευχαριστούμε Ν., όντως φαίνεται πολύ ενδιαφέρουσα. Γνωρίζω και μία αντίστοιχη για την άλγεβρα που είχε κάνει κάποια μεταπτυχιακή φοιτήτρια με επιβλέποντα τον Αραχωβίτη! Όμως δεν την έχω βρει κάπου...

Jeronymo Simonstone · #11

mtsarduckas έγραψε:Nope, το "...in Analysis" είναι ο μικρός αδερφός αυτού!

Αγνοούσα πλήρως την ύπαρξή του. Φίλε μου Αχιλ, ποιές μέρες και ώρες δέχεσαι επισκέψεις;

mtsarduckas · #12

Jeronymo Simonstone έγραψε: Φίλε μου Αχιλ, ποιές μέρες και ώρες δέχεσαι επισκέψεις;

Η ακόμα καλύτερα, πες μας που μένεις και ποιες ώρες ΔΕΝ εισαι σπίτι

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση