Άσκηση στα τρίγωνα

Μαρία Σαμπάνη · #1

Να αποδείξετε οτι υπάρχουν άπειρα ζεύγη άνισων τριγώνων με τις γωνίες τους ίσες μία προς μία και δύο πλευρές ίσες μία προς μία.

#2

Μαρία Σαμπάνη έγραψε:Να αποδείξετε οτι υπάρχουν άπειρα ζεύγη άνισων τριγώνων με τις γωνίες τους ίσες μία προς μία και δύο πλευρές ίσες μία προς μία.

: Απειρα ομοια.png (21.58 KiB) Προβλήθηκε 1544 φορές

Στο σχήμα $\dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{18}}{{27}} = \dfrac{{12}}{{18}} = \dfrac{{BS}}{{AB}}$ προφανώς όμοια, τα τρίγωνα: ABC, SBA

, γιατί έχουν κοινή τη γωνία $\widehat B$ .

Νομίζω είναι προφανής ο τρόπος κατασκευής τέτοιων , απείρων, τριγώνων με τις προδιαγραφές που ζητάτε . (Υπάρχει και άλλος με ορθογώνια τρίγωνα)

Νίκος

Μαρία Σαμπάνη · #3

Θεωρώ οτι πρέπει να γενικεύσουμε.

#4

Μαρία Σαμπάνη έγραψε:Θεωρώ οτι πρέπει να γενικεύσουμε.

Απειρα όμοια τρίγωνα.ggb: (22.86 KiB) Μεταφορτώθηκε 95 φορές

: Απειρα όμοια τρίγωνα.png (18.79 KiB) Προβλήθηκε 1512 φορές

Έστω δύο ευθύγραμμα τμήματα $b,c\,\,\,\mu \varepsilon \,\,b < c$ .

Κατασκευάζω το τμήμα

για το οποίο: $\dfrac{b}{{c + b}} = \dfrac{{c - b}}{x}$ ( κατασκευή τέταρτης ανάλογου) και επιλέγω τμήμα a = x + b

.

Στο τρίγωνο $ABC\,\,\mu \varepsilon \,\,AB = c,\,\,BC = a,\,\,CA = b$ και πάνω στην

θεωρώ σημείο

με

.

Τα τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SBA$ είναι τα ζητούμενα .

Παραθέτω και δυναμικό αρχείο ( Γι’ αυτό και καθυστέρησα)

Νίκος

#5

Καλησπέρα σε όλους.
Έχω "δανεικό" υπολογιστή και wifi και δεν μπορώ να αναρτήσω σχήμα.
Το θέμα το έχουμε ξανασυζητήσει, ίσως και πολλές φορές.

Προφανώς αν οι τρεις πλευρές των τριγώνων ήταν ίσες μία προς μία, τα τρίγωνα θα ήταν ίσα.
Ερευνούμε λοιπόν την περίπτωση δύο τρίγωνα να έχουν δύο πλευρές τους και τρεις γωνίες ίσες μία προς μία, δίχως να είναι ίσα. Προφανώς τα τρίγωνα είναι όμοια. Οι ομόλογες πλευρές τους δεν μπορεί να είναι ίσες, γιατί τότε θα ήταν ίσα τα τρίγωνα.
Έστω AΒC, DEZ

με $\displaystyle \;\left\langle \begin{array}{l} \widehat A = \widehat D \\ \widehat B = \widehat E \\ \widehat C = \widehat Z \\ \end{array} \right.$ και BC = DE = a, ΑC = EZ = b

.
Τότε αρκεί να υπολογίσουμε την πλευρά DZ = x

του δεύτερου τριγώνου, ώστε να ισχύει η αναλογία, (που προκύπτει από την ομοιότητα) $\displaystyle \frac{\alpha }{\beta } = \frac{\beta }{x} = \frac{\gamma }{\alpha }$

Πράγματι υπάρχουν άπειρα τέτοια τρίγωνα με πέντε στοιχεία ίσα. Η προϋπόθεση είναι να ισχύουν για τις πλευρές τους, εκτός των τριγωνικών ανισοτήτων, και οι σχέσεις a^2=bc, b^2=ax

.

Τέτοια τρίγωνα με πλευρές ακέραιους αριθμούς είναι τα τρίγωνα με πλευρές αντίστοιχα: a = 18, b = 12, c = 27

και

.

To θέμα είναι μία προσέγγιση του προβλήματος των δύο μέσων αναλόγων του Ιπποκράτη του Χίου.

edit: Τώρα βλέπω ότι ο Νίκος παραπάνω έχει ήδη δώσει το σχήμα που περιγράφω στην παραπάνω λύση.

Μαρία Σαμπάνη · #6

Κι εγω κάπως έτσι το είχα σκεφτεί. Δηλαδή, αν ΑΒΓ τρίγωνο με πλευρές α,β,γ και ΔΕΖ όμοιο αυτού με μήκη ομόλογων πλευρών β,γ,δ τότε $\displaystyle{\frac{\alpha }{\beta }{\rm{ = }}\frac{\beta }{\gamma }{\rm{ = }}\frac{\gamma }{\delta }{\rm{ = }}\lambda }$
γ=λδ , $\displaystyle{{\rm{\beta = }}{{\rm{\lambda }}^{\rm{2}}}{\rm{\delta }}}$ , $\displaystyle{{\rm{\alpha = }}{{\rm{\lambda }}^3}{\rm{\delta }}}$
Με την τριγωνική ανισότητα και στα δύο τρίγωνα έχουμε λ>0, $\displaystyle{{{\rm{\lambda }}^{\rm{2}}}{\rm{ - \lambda - 1 < 0}}}$ , $\displaystyle{{{\rm{\lambda }}^{\rm{2}}}{\rm{ + \lambda - 1 < 0}}}$
δηλαδή πρέπει $\displaystyle{\frac{{\sqrt {\rm{5}} {\rm{ - 1}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ < \lambda < }}\frac{{\sqrt {\rm{5}} {\rm{ + 1}}}}{{\rm{2}}}}$
Κι εφόσον υπάρχουν άπειρες τιμές του λ στο παραπάνω διάστημα υπάρχουν κι άπειρα ζεύγη τριγώνων.
Τα μήκη των πλευρών του ενός θα είναι $\displaystyle{{{\rm{\lambda }}^3}{\rm{\delta }}{\rm{,}}{{\rm{\lambda }}^2}{\rm{\delta }}{\rm{,\lambda \delta }}}$
και του άλλου $\displaystyle{{{\rm{\lambda }}^2}{\rm{\delta }}{\rm{,\lambda \delta }}{\rm{,\delta }}}$ .
Ευχαριστώ που μπήκατε στον κόπο να μου απαντήσετε αν κ το έχετε συζητήσει. Είμαι καινούργια στο φόρουμ κι ίσως επαναλαμβάνομαι

Άσκηση στα τρίγωνα

Άσκηση στα τρίγωνα

Re: Άσκηση στα τρίγωνα

Re: Άσκηση στα τρίγωνα

Re: Άσκηση στα τρίγωνα

Re: Άσκηση στα τρίγωνα

Re: Άσκηση στα τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση