ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

M.S.Vovos · #81

ΑΣΚΗΣΗ 26

...Μια δύσκολη κατά τη γνώμη μου άσκηση...

Αφιερωμένη στον κ. Στεργίου Μπάμπη!

Ελπίζω να σας αρέσει και σας.
-----------------------------------------------------
Έστω η συνεχής συνάρτηση

, με $f(x)\neq 0$ και f''

συνεχής, για την οποία ισχύει η σχέση, $f^{4}(x)=f(2x)$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και f(1)=e

.

Να δείξετε ότι:

A. $\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}$ .

B. f''(x)< f(x+1)-2f(x)+f(x-1)

,για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Γ. Για κάθε $a,\beta \in \mathbb{R}$ , με $0< a< \beta$ και x> 0

, ισχύει $\displaystyle f\left ( a^{x} \right )-f\left ( \beta ^{x} \right )<f'\left ( \beta ^{x} \right )-f'\left ( a^{x} \right )$ .

Δ. Η εξίσωση f(x)=x+1

, έχει ακριβώς δύο λύσεις στο $\mathbb{R}$ .

makisman · #82

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 26

Έστω η συνεχής συνάρτηση , με $f(x)\neq 0$ και συνεχής, για την οποία ισχύει η σχέση, $f^{4}(x)=f(2x)$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και .

Να δείξετε ότι:

A. $\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}$ .

μια σκέψη για το Α.

παραγωγίζοντας την δεδομένη έχω 2f^3(x)f'(x)=f'(2x)

και διαιρώντας κατα μέλη έχω $2\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f'(2x)}{f(2x)}$ , (είναι f(x)>0

, $f(x)\neq 0$ , f(1)>0

)

από την τελευταία προκύπτει f(0)=1

,

εστω $g(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$ τότε η τελευταία γίνεται 2g(x)=g(2x)

και

επαγωγικά η τελευταία θέτωντας x/2 ,x/4,...x/2^n και πολ/ντας

κατα μέλη έχω $g'(x)=g'(\frac{x}{2^n})$ μας δίνει τότε για λιμαροντας με $n \rightarrow \infty$ έχω $g'(x)=g'(0)=c,c\in R$ οπότε g(x)=cx+c'

και

$\frac{f'(x)}{f(x)}=cx+c'$ σε συνδυασμό με τις συνθήκες προκύπτει $f(x)=e^{x^2}$ (σε όλες τις πράξεις καλυπτόμαστε απο την συνεχεια και παραγωγισιμότητα της f,f',f''

M.S.Vovos · #83

Δε γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη.

makisman · #84

M.S.Vovos έγραψε:Δε γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη.

μα αφού έχουμε f''

συνεχής

M.S.Vovos · #85

Το γνωρίζω, αλλά η πρόταση, θεωρώ, ότι θέλει απόδειξη...

#86

M.S.Vovos έγραψε:Το γνωρίζω, αλλά η πρόταση, θεωρώ, ότι θέλει απόδειξη...

Τι να αποδείξουμε; Ότι αν η $\displaystyle{f''}$ είναι συνεχής, η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη; Δεν καταλαβαίνω!

M.S.Vovos · #87

Οχι, απλά να εξηγούμε στη λύση, γιατί είναι παραγωγίσιμες οι συναρτήσεις, για την πληρότητα της λύσης και για την καλύτερη κατανόηση της λύσης από τους μαθητές.

Tolaso J Kos · #88

Τρεις όμορφες κατά τη γνώμη μου ασκήσεις. Τη μία την έχω ξανά βάλει στο , αλλά με την ευκαιρία της συλλογής ας τη ξανά βάλω και εδώ.

Άσκηση 27

Έστω $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ δύο συναρτήσεις τέτοιες ώστε $f(x)=\left[g(x)-x\right]^2 +4, \;\; \forall x \in \mathbb{R}$ . Αν η

είναι συνεχής και ισχύει ότι $g(1)<1 , \;\; g(2)>2$ να δειχθεί ότι η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.

Άσκηση 28

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί τη σχέση : $e^{-f(x)} -f(x)+1-x^2=0, \; \forall x \in \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι η

παρουσιάζει μέγιστο στο x_0=0

.

Άσκηση 29

Έστω η συνάρτηση

ορισμένη στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(2)<f'(x)<f(3) , \; \forall x\in \mathbb{R}$ .

α) Να δειχθεί ότι η

είναι γνήσια αύξουσα.
β) Να λυθεί η ανίσωση $f(x)\geq f(2)(x-1)$ .
γ) Αν

το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται της C_f

, του άξονα x'x

και των κατακόρυφων ευθειών x=2, x=3

να δειχθεί ότι $\displaystyle{E>\frac{3f(2)}{2}}$ .

δ) Να δειχθεί ότι η f(x)=0

έχει ακριβώς μία ρίζα $\rho$ στο (1, 2)

.
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\xi _1, \xi _2\in (1,3)$ με $\xi _1<\xi _2$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\frac{f(3)}{f'(\xi _2)} - \frac{f(1)}{f'(\xi _1)}=2}$

στ)Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0\in (\rho , 5)$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{3\int_{\rho }^{x_0}f(t)\;{\rm d}t=3\int_{\rho }^{2}f(t)\;{\rm d}t+2\int_{2}^{3}f(t)\;{\rm d}t+\int_{3}^{4}f(t)\;{\rm d}t}$

Tolaso J Kos · #89

Άσκηση 30

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη ώστε $f'(x) +f(x) \cos x<0 , \;\; \forall x \in \mathbb{R}$ και f(0)=0

.

Να δείξετε ότι:

α) $f(\pi)<0$ .
β) η εφαπτομένη $(\varepsilon)$ της C_f

στο σημείο $K(\pi, f(\pi))$ τέμνει τον άξονα x'x

"με αμβλεία γωνία".

raf616 · #90

Tolaso J Kos έγραψε:
Άσκηση 27

Έστω $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ δύο συναρτήσεις τέτοιες ώστε $f(x)=\left[g(x)-x\right]^2 +4, \;\; \forall x \in \mathbb{R}$ . Αν η είναι συνεχής και ισχύει ότι $g(1)<1 , \;\; g(2)>2$ να δειχθεί ότι η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.

Καλημέρα. Μία λύση:

Ισχύει $f(x) = (g(x)-x)^2 + 4 \geq 4, \forall x \in \Bbb{R}$ . Για να είναι το

ολικό ελάχιστο αρκεί να υπάρχει $x_0 \in \Bbb{R}$ τέτοιο ώστε f(x_0) = 4

.

Θεωρώ τη συνάρτηση $h(x) = g(x) - x, x \in [1, 2]$ . Ισχύει h(1) = g(1) - 1 < 0

και

και αφού η

είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων,

από θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει $x_0 \in (0, 1)$ τέτοιο ώστε h(x_0) = 0

. Τότε,

και έτσι προκύπτει ότι η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.

dennys · #91

για την 30

1)Η συνάρτηση $g(x)=f(x)e^{sinx}$ είναι γνησίως φθίνουσα αρα για

$\pi>0\Rightarrow g(\pi)<g(0).....f(\pi)<0$

2)H δοσμένη για $x=\pi\Rightarrow f'(\pi)<0$ ,αρα η κλίση της εφαπτομένης είναι αρνητική δηλ .έχουμε αμβλέια γωνία.

raf616 · #92

Tolaso J Kos έγραψε: Άσκηση 28

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί τη σχέση : $e^{-f(x)} -f(x)+1-x^2=0, \; \forall x \in \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο στο .

Μία προσπάθεια και για αυτή.

Για x=0

προκύπτει $f(0) - e^{-f(0)} = 1$ .

Έχουμε $x^2 \geqslant 0 \iff e^{-f(x)} - f(x) + 1 \geqslant 0 \iff f(x) - e^{-f(x)} \leqslant 1 = f(0) - e^{-f(0)}$ .

Έστω $g(x) = x - e^{-x}, x \in \Bbb{R}$ . Με παράγωγο ή και τον ορισμό προκύπτει

γνησίως άυξουσα.

Άρα $g(f(x)) \leqslant g(f(0)) \iff f(x) \leqslant f(0), \forall x \in \Bbb{R}$ και έτσι το ζητούμενο προκύπτει.

Tolaso J Kos · #93

Ραφαήλ, πολύ ωραία και για τις 2 ασκήσεις.

Γράφω λίγο αναλυτικότερα τη λύση του κ. Διονύση για την άσκηση

.

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 30

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη ώστε $f'(x) +f(x) \cos x<0 , \;\; \forall x \in \mathbb{R}$ και .

Να δείξετε ότι:

α) $f(\pi)<0$ .
β) η εφαπτομένη $(\varepsilon)$ της στο σημείο $K(\pi, f(\pi))$ τέμνει τον άξονα "με αμβλεία γωνία".

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x) e^{\sin x}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη. Τότε $g'(x)=f'(x) e^{\sin x} + f(x) e^{\sin x} \cos x<0$ από την υπόθεση μας . Συνεπώς η

είναι γν. φθίνουσα. Τότε $g(\pi)<g(0) \Leftrightarrow f(\pi)<0$ .

Και για το δεύτερο ερώτημα έχουμε πως αν θέσουμε στην αρχική $x=\pi$ τότε παίρνουμε αμέσως ότι $f'(\pi)<0$ από όπου το ζητούμενο.

Christos75 · #94

Τόλη, αν δεν θυμάμαι καλά, την Άσκηση 29 την είχα λύσει εγώ ή κάνω λάθος;

Tolaso J Kos · #95

Christos75 έγραψε:Τόλη, αν δεν θυμάμαι καλά, την Άσκηση 29 την είχα λύσει εγώ ή κάνω λάθος;

Ναι Χρήστο, εσύ την έχεις λύσει εδώ.
Μόνο που πλέον για μαστε εντός ύλης πρέπει στο τελευταίο ερώτημα να βάλουμε αντί "μοναδικής ρίζας" το "μία τουλάχιστον ρίζα".

Christos75 · #96

Tolaso J Kos έγραψε:
Christos75 έγραψε:Τόλη, αν δεν θυμάμαι καλά, την Άσκηση 29 την είχα λύσει εγώ ή κάνω λάθος;
Ναι Χρήστο, εσύ την έχεις λύσει εδώ.
Μόνο που πλέον για μαστε εντός ύλης πρέπει στο τελευταίο ερώτημα να βάλουμε αντί "μοναδικής ρίζας" το "μία τουλάχιστον ρίζα".

Πω πω πω...κατευθείαν με έδωσες! Μία ερώτηση έκανα και κατευθείας, «εδώ» το έχεις κάνει αυτό!!!! Χαχαχαχα... Πλάκα σου κάνω Τόλη! Μην τρώμε τη σελίδα με άσχετα posts!!!

GMANS · #97

Tolaso J Kos έγραψε:Τρεις όμορφες κατά τη γνώμη μου ασκήσεις. Τη μία την έχω ξανά βάλει στο , αλλά με την ευκαιρία της συλλογής ας τη ξανά βάλω και εδώ.
Άσκηση 29
Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(2)<f'(x)<f(3) , \; \forall x\in \mathbb{R}$ .

α) Να δειχθεί ότι η είναι γνήσια αύξουσα.
β) Να λυθεί η ανίσωση $f(x)\geq f(2)(x-1)$ .
γ) Αν το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται της , του άξονα και των κατακόρυφων ευθειών να δειχθεί ότι $\displaystyle{E>\frac{3f(2)}{2}}$ .

δ) Να δειχθεί ότι η έχει ακριβώς μία ρίζα $\rho$ στο .
ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\xi _1, \xi _2\in (1,3)$ με $\xi _1<\xi _2$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\frac{f(3)}{f'(\xi _2)} - \frac{f(1)}{f'(\xi _1)}=2}$

στ)Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0\in (\rho , 5)$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{3\int_{\rho }^{x_0}f(t)\;{\rm d}t=3\int_{\rho }^{2}f(t)\;{\rm d}t+2\int_{2}^{3}f(t)\;{\rm d}t+\int_{3}^{4}f(t)\;{\rm d}t}$

α)

συνεχής στο [2, 3]

παρ/μη στο (2,3)
από ΘΜΤ υπάρχει
$k\epsilon (2, 3):f'(k)=f(3)-f(2)$
όμως
$f(2)<f'(k)<f(3)\rightarrow f(3)-f(2)<f(3)\rightarrow f(2)>0$
επομένως
f'(x)>f(2)>0

οπότε

γνησίως αύξουσα

β) $f(x)\geq f(2)(x-1)\Leftrightarrow f(x)-xf(2)\geq -f(2)$
Ονομάζω g(x)=f(x)-xf(2)

.
H g είναι παρ/μη με g'(x)=f'(x)-f(2)>0

άρα g γνησίως αύξουσα .
Η δοσμένη ανίσωση ισοδύναμα γράφεται:
$g(x)\geq g(2)\Leftrightarrow x\geq 2$

γ) Η f είναι γνησίως αύξουσα οπότε
$x\geq 2\Rightarrow f(x)\geq f(2)>0$
άρα
$E=\int_{2}^{3}f(x)dx$

από το (β) ερώτημα έχουμε: για
$x\geq 2\Rightarrow f(x)\geq f(2)(x-1)\Rightarrow$
και f δεν είναι σταθερή αφού είναι γνησίως αύξουσα οπότε:
$\int_{2}^{3}f(x)dx> f(2)\int_{2}^{3}(x-1)\Rightarrow E>\frac{3}{2}f(2)$

δ) Για x<2 είναι f(x)<f(2)(x-1)

δηλαδή για x=1 είναι f(1)<0

οπότε :

συνεχής στο [1, 2]
και
f(1)f(2)<0

οπότε από το θεώρημα bolzano και
λαμβάνοντας υπόψη ότι η f είναι γνησίως αύξουσα άρα και "1-1"¨
υπάρχει μοναδικό $\varrho \epsilon (1,2):f(\varrho)=0$
ε) Η f είναι συνεχής στο $[1, \varrho ]$
η f είναι παρ/μη στο $(1, \varrho)$
οπότε από ΘΜΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον ${\xi }_{1}\epsilon (1, \varrho)$ :

$f '({\xi }_{1})=\frac{f(1)}{1-\varrho}\Rightarrow 1-\varrho=\frac{f(1)}{f'({\xi }_{1})}$ (1)
όμοια υπάρχει ένα τουλάχιστον ${\xi }_{2}\epsilon (\varrho, 3)$ :

$3-\varrho=\frac{f(3)}{f'({\xi }_{2})}$ (2)
και αφαιρόντας
(2)-(1) $\Rightarrow\displaystyle{\frac{f(3)}{f'(\xi _2)} - \frac{f(1)}{f'(\xi _1)}=2}$ με
${\xi }_{1}<\varrho<{\xi }_{2}$ και ${\xi }_{1},{\xi }_{2}\epsilon (1,3)$

στ) Αν F μια παράγουσα της f τότε :
$\displaystyle{3\int_{\rho }^{x_0}f(t)\;{\rm d}t=3\int_{\rho }^{2}f(t)\;{\rm d}t+2\int_{2}^{3}f(t)\;{\rm d}t+\int_{3}^{4}f(t)\;{\rm d}t}\Leftrightarrow F({x}_{0})=\frac{F(2)+F(3)+F(4)}{3}$
και
F συνεχής στο [2, 4] άρα υπάρχουν τιμές της $f m, M \epsilon R: m\leq F(x)\leq M$ για κάθε $x\epsilon [2,4]$
οπότε
$m\leq F(2)\leq M$
και
$m\leq F(3)\leq M$
και
$m\leq F(4)\leq M$
και προσθέτοντας
$m\leq \frac{F(2)+F(3)+F(4)}{3}\leq M$

οπότε από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει
${x}_{0}\epsilon [2, 4]$ άρα και ${x}_{0}\epsilon (\varrho , 5)$ :
$f(x_0)= \frac{F(2)+F(3)+F(4)}{3}\Leftrightarrow$
$\displaystyle{3\int_{\rho }^{x_0}f(t)\;{\rm d}t=3\int_{\rho }^{2}f(t)\;{\rm d}t+2\int_{2}^{3}f(t)\;{\rm d}t+\int_{3}^{4}f(t)\;{\rm d}t}$
και F'(x)=f(x)>0

η

γνησίως αύξουσα άρα "1-1" οπότε x_0

μοναδικό

Δεν πρόσεξα τον παραπάνω διάλογο καθώς και την παραπομπή όπου η άσκηση είναι λυμένη από τον Christos75 μια και την έγραψα και υπάρχουν κάποιες διαφορές την αφήνω

dennys · #98

Φίλε Μανεάδη για την αρχική που πήρες στο τελευταίο ερώτημα ,δεν συμφωνω καθόλου .
Δεν μπαίνω σε αντιπαράθεση,απλά δές το .

διονυσης

M.S.Vovos · #99

Αγαπητή παρέα του

, ελπίζω να είστε όλοι καλά και ευχαριστημένοι από τις διακοπές σας!

Θα ήθελα, να υπενθυμήσω ότι οι ασκήσεις 10, το τελευταίο ερώτημα της 25, καθώς και τα λοιπά ερωτήματα των 24 και 26, παραμένουν αναπάντητα.

Ας ξεκινήσουμε να ενημερώνουμε το φάκελο, χωρίς να πιέζουμε κανέναν, μιας και μαζεύτηκαν αρκετά ερωτήματα.

Φιλικά,
Μάριος

#100

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x)=-x^{2}$ , $\displaystyle g(x)=lnx$ και $h(x)=ln(-2x)+x^{2}+1$ .

Α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση έχει ακριβώς μία ρίζα.

Β. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη.

Γ. Έστω, επιπλέον, ότι ένα κινητό κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης και καθώς περνάει από το σημείο η τετμημένη ελαττώνεται κατά 2 μονάδες το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης , όπου η αρχή των αξόνων, τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το σημείο .

Δ. Για το κινητό του ερωτήματος (Γ), να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας $\vartheta =M\widehat{O}x$ τη χρονική στιγμή που περνάει το κινητό από το σημείο .

Πηγή: Α. Μπάρλας, Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική

ΛΥΣΗ(...για να μη μείνει με παράπονο...)

Α. Η συνάρτηση $h(x)=ln(-2x)+x^{2}+1$ ορισμένη στο $A=(-\infty ,\,\,0)$ είναι παραγωγίσιμη με

${h}'(x)=\frac{1}{x}+2x=\frac{2{{x}^{2}}+1}{x}<0,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)$ άρα γνήσια φθίνουσα στο $A=(-\infty ,\,\,0)$

επομένως το σύνολο τιμών της $h(A)=(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,h(x),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x))=(-\infty ,\,\,+\infty )=R$

και αφού $0\in h(A)=R$ η h(x)=0

έχει ρίζα στο $A=(-\infty ,\,\,0)$ που είναι και μοναδική λόγω μονοτονίας της

.

Β. Αν $A({{x}_{1}},\,\,-x_{1}^{2})$ σημείο της παραγωγίσιμης $f(x)=-{{x}^{2}}$ με {f}'(x)=-2x

έχει εφαπτομένη την

$({{\varepsilon }_{A}}):y+x_{1}^{2}=-2{{x}_{1}}(x-{{x}_{1}})\Leftrightarrow y=-2{{x}_{1}}x+x_{1}^{2}$ και ακόμη αν

$B({{x}_{2}},\,\,\ln {{x}_{2}}),\,\,{{x}_{2}}>0$ σημείο της παραγωγίσιμης $g(x)=\ln x,\,\,\,x>0$ με ${g}'(x)=\frac{1}{x}$ έχει εφαπτομένη την

$({{\varepsilon }_{B}}):y-\ln {{x}_{2}}=\frac{1}{{{x}_{2}}}(x-{{x}_{2}})\Leftrightarrow y=\frac{1}{{{x}_{2}}}x+\ln {{x}_{2}}-1$

Τώρα για να έχουν κοινή εφαπτομένη οι ${{C}_{f}},\,\,{{C}_{g}}$ πρέπει και αρκεί να υπάρχουν ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ ώστε οι

$({{\varepsilon }_{A}}),\,\,({{\varepsilon }_{B}})$ να ταυτίζονται γι αυτό πρέπει και αρκεί να υπάρχουν ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ ώστε

$-2{{x}_{1}}=\frac{1}{{{x}_{2}}}$ (1) (κοινοί συντελεστές διεύθυνσης) και $x_{1}^{2}=\ln {{x}_{2}}-1$ (2) (να περνούν από το ίδιο σημείο) έτσι από (2)

$\Leftrightarrow x_{1}^{2}=-\ln \frac{1}{{{x}_{2}}}-1$ και λόγω (1)

$\Leftrightarrow x_{1}^{2}=-\ln (-2{{x}_{1}})-1\Leftrightarrow \ln (-2{{x}_{1}})+x_{1}^{2}+1=0$ δηλαδή η $ln(-2x)+{{x}^{2}}+1=0$

να έχει μοναδική λύση, που ισχύει όπως αποδείξαμε στο (Α).

Γ. Γνωρίζουμε ότι την χρονική στιγμή ${{t}_{0}}$ ισχύουν για την τετμημένη

ότι ${x}'({{t}_{0}})=-2$ και

$x({{t}_{0}})=1$ και $y({{t}_{0}})=\ln (x({{t}_{0}}))=0$ .

Θέλουμε το ρ.μ. της απόστασης $d(t)=\sqrt{{{x}^{2}}(t)+{{\ln }^{2}}(x(t))}$ την χρονική στιγμή ${{t}_{0}}$ .

Είναι τώρα για κάθε χρονική στιγμή ${d}'(t)=\frac{2x(t){x}'(t)+2{{\ln }^{2}}(x(t))\frac{1}{x(t)}{x}'(t)}{2d(t)}$ και την ${{t}_{0}}$ είναι

${d}'({{t}_{0}})=\frac{2x({{t}_{0}}){x}'({{t}_{0}})+2{{\ln }^{2}}(x({{t}_{0}}))\frac{1}{x({{t}_{0}})}{x}'({{t}_{0}})}{2d({{t}_{0}})}=$

$=\frac{-2-2\cdot 0\cdot 1}{\sqrt{1+0}}=-2$ που είναι αυτό που θέλαμε.

Δ. Τώρα θέλουμε τον ρ.μ. της γωνιάς $\vartheta =M\widehat{O}x$ την χρονική στιγμή ${{t}_{0}}$ δηλαδή το ${\vartheta }'({{t}_{0}})$ , έτσι επειδή ισχύει

$\varepsilon \phi \vartheta =\frac{y}{x}$ κάθε χρονική στιγμή θα είναι $\varepsilon \phi (\vartheta (t))=\frac{y(t)}{x(t)}=\frac{\ln (x(t))}{x(t)}$ και

παραγωγίζοντας προκύπτει ότι $(1+\varepsilon {{\phi }^{2}}(\vartheta (t))){\vartheta }'(t)=\frac{{x}'(t)-\ln (x(t)){x}'(t)}{{{x}^{2}}(t)}$

άρα την χρονική στιγμή ${{t}_{0}}$ θα είναι

$(1+\varepsilon {{\phi }^{2}}(\vartheta ({{t}_{0}}))){\vartheta }'({{t}_{0}})=\frac{{x}'({{t}_{0}})-\ln (x({{t}_{0}})){x}'({{t}_{0}})}{{{x}^{2}}({{t}_{0}})}$ και επειδή

$\varepsilon \phi (\vartheta ({{t}_{0}}))=\frac{0}{1}=0$ , ${x}'({{t}_{0}})=-2$ , $\ln (x({{t}_{0}}))=0$ , $x({{t}_{0}})=1$ θα είναι

${\vartheta }'({{t}_{0}})=-2$ που είναι αυτό που θέλαμε.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Μέλη σε σύνδεση