Σταθερή συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Έστω οι συναρτήσεις $f, g:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{g(0)=g(1)=0}$ και $\displaystyle{g(x)f'(x) + f(x)=1, \;\; \forall x \in [0,1]}$ . Να δείξετε ότι $f(x)=1, \;\; \forall x \in [0, 1]$ .

#2

Για $\displaystyle{x=0,x=1}$ παίρνουμε απ΄ τη δοσμένη ότι $\displaystyle{f(0)=f(1)=1}$
Έστω ότι υπάρχει κάποιο $\displaystyle{{{x}_{0}}\in (0,1)}$ με $\displaystyle{f({{x}_{0}})\ne 1}$ και χωρίς βλάβη της γενικότητας , έστω ότι $\displaystyle{f({{x}_{0}})>1}$ .
Η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[0,1]}$ άρα έχει ολικά ακρότατα $\displaystyle{m,M}$ που δεν μπορεί να εμφανίζονται στα $\displaystyle{0,1}$ και τα δύο αφού $\displaystyle{f(0)=f(1)}$
(Αν $\displaystyle{m=M=1}$ τότε $\displaystyle{f(x)=1}$ και τελειώσαμε )
Αφού $\displaystyle{f({{x}_{0}})>1}$ θα είναι $\displaystyle{M>1}$ και υπάρχει $\displaystyle{{{x}_{1}}\in (0,1)}$ με $\displaystyle{f({{x}_{1}})=M}$ και συγχρόνως $\displaystyle{{f}'({{x}_{1}})=0}$ από το θεώρημα Fermat.
Για $\displaystyle{x={{x}_{1}}}$ παίρνουμε $\displaystyle{g({{x}_{1}}){f}'({{x}_{1}})+f({{x}_{1}})=1\Leftrightarrow M=1}$ που είναι άτοπο .
Άρα $\displaystyle{f(x)=1}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [0,1]}$

alexandrosvets · #3

Καλησπέρα σας,

Αν κάνουμε άπειρα Rolle είναι σωστό;Αν όχι μπορεί δωθεί κάποια εξήγηση;
Σας ευχαριστώ.

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

#4

alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σας,

Αν κάνουμε άπειρα Rolle είναι σωστό;Αν όχι μπορεί δωθεί κάποια εξήγηση;
Σας ευχαριστώ.

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

Αλέξανδρε, η ερώτηση είναι ασαφής αφού δεν μας λες πώς ακριβώς θα κάνεις τα άπειρα Rolle. Πάντως, γενικά, η εφαρμογή μιας άπειρης διαδικασίας δεν είναι σωστή, εκτός αν στηρίζεται σε αξιώματα. Για παράδειγμα η Επαγωγή είναι μία σωστή άπειρη διαδικασία γιατί από πίσω υπάρχουν τα αξιώματα των Φυσικών Αριθμών κατά Peano, που την επιτρέπουν.

Ψάξε στο Google την φράση "axioms Peano natural numbers" και είμαι βέβαιος ότι θα σου βγάλει ό,τι ζητάς: Δεν το κάνω για λογαριασμό σου γιατί πέφτει συνέχεια η σύνδεσή μου στο ιντερνέτ, και με παιδεύει.

Μ.

alexandrosvets · #5

Για παράαδειγμα στο (0,1) rolle και έχουμε ένα x_1 :f'(x_1)=0.

Στην δεδομένη σχέση όπου x=x_1

έχουμε

.Και μέτα πάλι rolle στο [0,x_1]

και στο

κτλ.

Σας ευχαριστώ.

#6

Καλησπέρα. Κάπου την έχουμε ξαναδεί νομίζω στο φόρουμ.
Επανέναρξη εργασιών στην αγαπημένη μου σελίδα.
Εύκολα λαμβάνουμε: f(0)=f(1)=1.

Θεωρούμε τη συνάρτηση

με $F(x)=1-f(x),x\in [0,1]$
Προφανώς F(0)=F(1)=0.

Επιπλέον η νέα συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και συνεχής στο
εν λόγω διάστημα με F'(x)=-f(x).

Τότε η δοθείσα μετασχηματίζεται στην -g(x)F'(x)=F(x),(1)

Η

παρουσιάζει στο κλειστό διάστημα [0,1]

μέγιστη κι ελάχιστη τιμή ως συνεχής. Αν αυτό συμβαίνει
στα άκρα, δηλαδή να έχει θέσεις μεγίστου ελαχίστου στα 0, 1

τότε προφανώς $F(x)=0, \forall x \in [0,1] \Rightarrow f(x)=1, \forall x \in [0,1]$
Αν κάποια από τις δύο τιμές τις λαμβάνει σε εσωτερικό σημείο ενώ την άλλη σε άκρο (δηλαδή είναι ίση με μηδέν), π.χ ας υποθέσουμε πως στο $x_{0} \in (0,1)$ λαμβάνει μέγιστη τιμή
τότε προφανώς $F(x_{0})\ge 0$ και το θεώρημα Fermat μας εξασφαλίζει ότι $F'(x_{0})=0$ δηλαδή τελικά από (1)

έχουμε $F(x_{0})=0$
και πάλι προκύπτει πως υποχρεωτικά $F(x)=0, \forall x \in [0,1] \Rightarrow f(x)=1, \forall x \in [0,1]$
ενώ αν και οι δύο θέσεις ακροτάτων είναι εσωτερικά σημεία, για να μη μακρηγορήσω, πάλι το θεώρημα Fermat δίνει την ίδια απάντηση.

Υ.Γ: Διόρθωση ορθογραφικού σφάλματος 19:10, 29/8/2015

#7

alexandrosvets έγραψε:Για παράαδειγμα στο (0,1) rolle και έχουμε ένα Στην δεδομένη σχέση όπου έχουμε .Και μέτα πάλι rolle στο και στο κτλ.

Σας ευχαριστώ.

Πάλι είσαι ασαφής. Ωραία, έκανες Rolle. Και λοιπόν; Ποιο είναι το επόμενο βήμα και που καταλήγεις;

alexandrosvets · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:Για παράαδειγμα στο (0,1) rolle και έχουμε ένα Στην δεδομένη σχέση όπου έχουμε .Και μέτα πάλι rolle στο και στο κτλ.

Σας ευχαριστώ.
Πάλι είσαι ασαφής. Ωραία, έκανες Rolle. Και λοιπόν; Ποιο είναι το επόμενο βήμα και που καταλήγεις;

Κάνοντας πάλι τα ίδια βήματα προκύπτουν νέα χ και νέα διαστήματα στα οποία μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle.Αυτά τα διαστήματα γίνονται όλο και πιο μικρά.Ελπίζω να κατανοήσατε την τρόπο.
Σας ευχαριστώ.

#9

alexandrosvets έγραψε: Κάνοντας πάλι τα ίδια βήματα προκύπτουν νέα χ και νέα διαστήματα στα οποία μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle.Αυτά τα διαστήματα γίνονται όλο και πιο μικρά.Ελπίζω να κατανοήσατε την τρόπο.
Σας ευχαριστώ.

alexandrosvets έγραψε:Για παράαδειγμα στο (0,1) rolle και έχουμε ένα Στην δεδομένη σχέση όπου έχουμε .Και μέτα πάλι rolle στο και στο κτλ.

Σας ευχαριστώ.

Ό συλλογισμός είναι εσφαλμένος.

Με την διαδικασία σου θα καταλήξεις ότι f'(x)=0

για αριθμήσιμα άπειρο πλήθος από

. Από εκεί, όχι δεν καταλήγεις apriori ότι f'(x)=0

για όλα τα

. Για παράδειγμα πες ότι τα

που βρήκες με το Rolle είναι όλα στο [0, 1/2]

. Για τα άλλα "μισά", που λείπουν, τι συμπέρασμα βγάζεις;

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση