3o Θέμα

jchou · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\mathlarger{\mathlarger{f(x)=xe^{x^{-1}}.$

Γ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

και μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .

Γ2. Να μελετήσετε την

ως προς την κυρτότητα και να βρείτε την εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο A(1, f(1))

.

Γ3.Να αποδείξετε ότι για κάθε $\mathlarger{\mathlarger{x > 0 }}$ ισχύει $2015^{xe^{x^{-1}}}-2015^{e} \geq 0$

Γ4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της

.

M.S.Vovos · #2

Αγαπητέ, jchou,
Θα ήθελα να διευκρινήσω ότι (αν είσαι μαθητής) το

δεν είναι ιστοσελίδα για να αναρτάς ασκήσεις που σου έχει δώσει κάποιος συνάδελφος μαθηματικός για το σπίτι.
Είναι πρόδηλο ότι το συγκεκριμένο θέμα, είναι αρκετά απλό. Προσπάθησε το πρώτα μόνος σου και αν χρειαστείς κάπου βοήθεια, ευχαρίστως να σε βοηθήσουμε.
Να'σαι καλά.

Λάμπρος Μπαλός · #3

Μια χαρά άσκηση.
Επαναφορά.

Tolaso J Kos · #4

Ξεχάστηκε.

α)Το πεδίο ορισμού της

είναι προφανώς το $\mathbb{R}^*$ . Σε αυτό η

είναι συνεχής (γινόμενο και σύνθεση συνεχών) και παραγωγίσιμη (γινόμενο και σύνθεση παραγωγίσιμων) με παράγωγο $\displaystyle{f'(x)=e^{1/x} \left(1- \frac{1}{x} \right)}$ . Η ρίζα της παραγώγου είναι το

(προφανές) . Tότε $f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$ . Συνεπώς η συνάρτηση

είναι γν. αύξουσα στο $(-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$ και γν. φθίνουσα στο (0, 1)

όπως φαίνεται και στον πίνακα:

: Monotony Table (2).jpg (10.21 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

β) Η

είναι ξανά παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων και έχει τύπο: $\displaystyle{f''(x)=\frac{e^{1/x}}{x^3}}$ . Συνεπώς για x>0

η

είναι κυρτή ενώ για x<0

η

είναι κοίλη.Η εφαπτομένη στο σημείο A(1, f(1))

έχει τύπο $y-f(1)=f'(1)(x-1) \Leftrightarrow y=f(1) \Leftrightarrow y=e$ .

γ) Ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε: $\displaystyle{2015^{xe^{1/x}}- 2015^e \geq 0 \Leftrightarrow 2015^{xe^{1/x}}\geq 2015^e }$ . Παίρνοντας λογάριθμο έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} 2015^{xe^{1/x}}\geq 2015^e &\Leftrightarrow \ln \left ( 2015^{xe^{1/x}} \right ) \geq \ln \left ( 2015^e \right )\\ &\Leftrightarrow xe^{1/x} \cancel{\ln 2015} \geq e \cancel{\ln 2015} \\ &\Leftrightarrow f(x)\geq e \end{aligned}}$

το οποίο ισχύει αφού η

για

είναι κυρτή και όπως είδαμε από το πάνω ερώτημα η εφαπτομένη στο x=1

είναι η

. Συνεπώς η

ως κυρτή βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη σε κάθε σημείο πλην του σημείου επαφής.

δ) Εύκολα βλέπει κάποιος πως η ευθεια x=0

είναι κατακόρυφη ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης αφού (τετριμμένα) είναι $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)= +\infty$ . Και με λίγες (τετριμμένες) πράξεις βλέπουμε πως η

έχει στο $+\infty$ πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία y=x+1

, διότι $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=1$ (τετριμμένο) και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} [f(x)-x]=1$ . Δεν υπάρχουν άλλες ασύμπτωτες.

Λάμπρος Μπαλός · #5

Εεεεεε ρε τεχνολογία!!!

3o Θέμα

3o Θέμα

Re: 3o Θέμα

Re: 3o Θέμα

Re: 3o Θέμα

Re: 3o Θέμα

Μέλη σε σύνδεση