Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

BAGGP93 · #61

Άσκηση 28

Δείξτε ότι κάθε προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα $\displaystyle{\left(R,+,\cdot\right)}$ και πλήθος στοιχείων $\displaystyle{|R|=p^2}$ , όπου

$\displaystyle{p}$ είναι πρώτος αριθμός, είναι μεταθετικός.

#62

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 27

Θεωρούμε τον δακτύλιο $\displaystyle{\left(C(\left[0,1\right]),+,\cdot\right)}$ των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στο $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ .

1. Να δειχθεί ότι το στοιχείο $\displaystyle{f\in C(\left[0,1\right])}$ είναι διαιρέτης του μηδενός αν, και μόνο αν, υπάρχει ανοικτό διάστημα

$\displaystyle{\left(a,b\right)\subseteq \left[0,1\right]}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f|_{\left(a,b\right)}=\mathbb{O}}$ .

2. Βρείτε όλα τα ταυτοδύναμα στοιχεία του παραπάνω δακτυλίου.

3. Βρείτε όλα τα μηδενοδύναμα στοιχεία του παραπάνω δακτυλίου.

1. Εξ υποθέσεως υπάρχει μη μηδενική

με

. Ειδικά, αν για κάποιο

είναι $g(x)\ne 0$ , τότε f(x)=0

. Άρα

$\displaystyle{\{x \in [0,1] : f(x) = 0 \} \supseteq \{x \in [0,1] : g(x) \ne 0 \} = [0,1] - g^{-1}(0) = }$ συμπλήρωμα κλειστού = ανοικτό.

Επειδή τα ανοικτά σύνολα στο $\mathbb R$ είναι ενώσεις ανοικτών διαστημάτων, έπεται ότι υπάρχει (a,b)

που περιέχεται στο δεξί μέλος. Άρα ισχύει $\displaystyle{\{x \in [0,1] : f(x) = 0 \} \supseteq (a, b)}$ , που ισοδυναμεί με το ζητούμενο.

Αντίστροφα, αν για μία

ισχύει $\displaystyle{\{x \in [0,1] : f(x) = 0 \} \supseteq (a, b)}$ , παίρνουμε $[c, d]\subset (a,b)$ . Οριζουμε

οποιαδήποτε μη μηδενική συνεχή συνάρτηση που μηδενίζεται στο $[0,c]\cup [d,1]$ , για παράδειγμα g(x)=(x-c)(x-d)

στο

και

αλλιώς. Τότε fg=0

(άμεσο), που σημαίνει

διαιρέτης του μηδενός.

2. Αν

ταυτοδύναμος, τότε f^2=f

, οπότε για κάθε

είναι

ή

. Όμως από συνέχεια δεν μπορεί η

να παίρνει και τις δύο αυτές τιμές γιατί τότε θα έπαιρνε και όλες τις ενδιάμεσες. Τελικά

ταυτοτικά

ή ταυτοτικά

.

3. Αν f^k=0

για κάποιο

, δηλαδή $f^k(x)=0,\, \forall x$ , τότε $f(x)=0,\, \forall x$ , δηλαδή f=0

.

Φιλικά,

Μιχάλης

BAGGP93 · #63

Ωραία λύση κύριε Μιχάλη.

Για το 2 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την άσκηση εδώ viewtopic.php?f=9&t=47246&start=60#p231157 .

Έτσι, τα μόνα ταυτοδύναμα, είναι το μηδέν και η μονάδα, μιας και το $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ με τη συνήθη τοπολογία είναι συνεκτικό.

BAGGP93 · #64

Άσκηση 29

Θεωρούμε τον δακτύλιο $\displaystyle{\left(C(\left[0,1\right]),+,\cdot\right)}$ των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στο $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ .

Για κάθε μη κενό υποσύνολο $\displaystyle{X}$ του $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ ορίζουμε το σύνολο

$\displaystyle{I_{X}=\left\{f\in C(\left[0,1\right]): f(x)=0\,,\forall\,x\in X\right\}}$ .

1. Αποδείξτε ότι το $\displaystyle{I_{X}}$ είναι ιδεώδες του παραπάνω δακτυλίου για κάθε μη κενό υποσύνολο $\displaystyle{X}$ του $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ .

2. Αν το $\displaystyle{X}$ είναι μονοσύνολο, $\displaystyle{X=\left\{x_0\right\}\,,x_0\in\left[0,1\right]}$ , τότε να αποδείξετε ότι το

$\displaystyle{I_{X}}$ είναι μέγιστο ιδέωδες.

#65

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 29

Θεωρούμε τον δακτύλιο $\displaystyle{\left(C(\left[0,1\right]),+,\cdot\right)}$ των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στο $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ .

Για κάθε μη κενό υποσύνολο $\displaystyle{X}$ του $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ ορίζουμε το σύνολο

$\displaystyle{I_{X}=\left\{f\in C(\left[0,1\right]): f(x)=0\,,\forall\,x\in X\right\}}$ .

1. Αποδείξτε ότι το $\displaystyle{I_{X}}$ είναι ιδεώδες του παραπάνω δακτυλίου για κάθε μη κενό υποσύνολο $\displaystyle{X}$ του $\displaystyle{\left[0,1\right]}$ .

2. Αν το $\displaystyle{X}$ είναι μονοσύνολο, $\displaystyle{X=\left\{x_0\right\}\,,x_0\in\left[0,1\right]}$ , τότε να αποδείξετε ότι το

$\displaystyle{I_{X}}$ είναι μέγιστο ιδέωδες.

1. Για κάθε $f \in I_X$ και

συνεχή, έχουμε για κάθε $x\in X$ ότι $g(x)f(x)=g(x)\cdot 0 =0$ , που σημαίνει $gf\in I_X$ . Επίσης αν $f_1,\, f_2\in I_X$ έχουμε για κάθε $x\in X$ ότι f_1(x) + f_2(x)= 0+0 =0

, που σημαίνει ότι $f_1+f_2 \in I_X$ . Άρα το I_X

είναι ιδεώδες.

2. Έστω ιδεώδες $I \supset I_{\{x_o\}}$ . Θα δείξουμε ότι $I = C(\left[0,1\right])$ . Προς τούτο αρκεί να δείξουμε ότι σταθερή συνάρτηση $\bold 1$ , όπου $\bold 1 (x) = 1 , \forall x$ , ανήκει στο

.

Έστω $g \in I -I_{\{x_o\} }$ , οπότε $g(x_o) \ne 0$ . Επειδή το

είναι ιδεώδες έχουμε ότι $g^2 \in I$ . Παρατηρούμε ακόμη ότι η

, όπου

ανήκει στο $I_{\{x_o\}}$ και άρα στο

. Άρα η

, όπου

, ανήκει στο

.

Προφανώς h(x) >0

για κάθε

όποτε η

είναι καλά ορισμένη και συνεχής συνάρτηση, οπότε η σταθερή συνάρτηση $\bold 1$ ανήκει στο

καθώς $\bold1 = \frac {1}{h} \cdot h$ . Άρα $I = C(\left[0,1\right])$ , που ολοκληρώνει την απόδειξη ότι $I_{\{x_o\}}$ μέγιστο.

Φιλικά,

Μιχάλης

#66

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 29

Θεωρούμε τον δακτύλιο ...

Ακριβώς από πάνω έγραψα αυτοτελή λύση αλλά αν θέλουμε να δούμε τι πραγματικά τρέχει, μπορούμε να ανατρέξουμε στην Άσκηση

εδώ και την ωραία λύση που έδωσε ο Βαγγέλης Μουρούκος.

Συγκεκριμένα, η Άσκηση 22 μεταφράζεται σε ισοδύναμη μορφή ότι κάθε γνήσιο ιδεώδες του C([0,1])

είναι της μορφής I_X

με $\emptyset \subset X \subset [0,1]$ . Τώρα, επειδή τα I_X

μεγαλώνουν όσo μικραίνει το

, έχουμε μέγιστο ιδεώδες αν και μόνον αν το

είναι το μικρότερο δυνατό. Με άλλα λόγια αν

μονοσύνολο, δηλαδή αυτό που ζητά η Άσκηση

.

Μ.

BAGGP93 · #67

Άσκηση 30

Να δειχθεί ότι η αβελιανή ομάδα $\displaystyle{\left(\mathbb{Q}/\mathbb{Z},+\right)}$ δεν μπορεί να είναι η προσθετική ομάδα ενός προσεταιριστικού

δακτυλίου με μονάδα.

BAGGP93 · #68

Άσκηση 31

Θεωρούμε τον $\displaystyle{\mathbb{R}}$ - διανυσματικό χώρο

$\displaystyle{E=\left\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}): f^{\prime \prime}=f\right\}}$

(με τη συνήθη πρόσθεση απεικονίσεων και το σύνηθες βαθμωτό γινόμενο πραγματικού αριθμού με συνάρτηση)

Δείξτε ότι

A. Αυτός ο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ - διανυσματικός χώρος είναι ένα $\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}}$ υποπρότυπο του $\displaystyle{C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}$ .

B. Τα υποσύνολα

$\displaystyle{V=\left\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}): f^\prime=f\right\}}$ και $\displaystyle{W=\left\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}): f^\prime=-f\right\}}$

είναι $\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}}$ υποπρότυπα του $\displaystyle{E}$ .

C. Ισχύει ότι $\displaystyle{E=V\oplus W}$ .

BAGGP93 · #69

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 31

Θεωρούμε τον $\displaystyle{\mathbb{R}}$ - διανυσματικό χώρο

$\displaystyle{E=\left\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}): f^{\prime \prime}=f\right\}}$

(με τη συνήθη πρόσθεση απεικονίσεων και το σύνηθες βαθμωτό γινόμενο πραγματικού αριθμού με συνάρτηση)

Δείξτε ότι

A. Αυτός ο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ - διανυσματικός χώρος είναι ένα $\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}}$ υποπρότυπο του $\displaystyle{C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}$ .

B. Τα υποσύνολα

$\displaystyle{V=\left\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}): f^\prime=f\right\}}$ και $\displaystyle{W=\left\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}): f^\prime=-f\right\}}$

είναι $\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}}$ υποπρότυπα του $\displaystyle{E}$ .

C. Ισχύει ότι $\displaystyle{E=V\oplus W}$ .

Γεια σας.

ΛΥΣΗ

Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση $\displaystyle{T:C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})\longrightarrow C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})\,\,,f\mapsto T(f):=f^\prime}$ .

Στην αβελιανή ομάδα $\displaystyle{\left(C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}),+\right)}$ ορίζουμε αριστερή δράση :

$\displaystyle{\cdot:\mathbb{R}_{[x]}\times C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})\longrightarrow C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})\,\,,\left(P(x),f\right)\mapsto P(x)\cdot f:=P(f)}$

δηλαδή, αν $\displaystyle{P(t)=a_0+a_1\,x+a_2\,x^2+...+a_n\,x^n\in\mathbb{R}_{[x]}}$ , τότε :

$\displaystyle{P(x)\cdot f:=P(f)=a_0\,Id(f)+a_1\,T(f)+a_2\,T^2(f)+...+a_n\,T^{n}(f)=a_0\,f+a_1\,f^\prime+a_2\,f^{\prime \prime}+...+a_n\,f^{(n)}$

και τότε αποκτούμε ένα αριστερό $\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}}$ πρότυπο.

Α. Ισχύει ότι $\displaystyle{E\subseteq C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}$ και μάλιστα ο $\displaystyle{E}$ είναι υπόχωρος του

$\displaystyle{\left(C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}),+,\cdot\right)}$ .

Έστω $\displaystyle{f\in E\subseteq C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}$ , δηλαδή $\displaystyle{f^{\prime \prime}=f}$ . Τότε,

$\displaystyle{\left(T(f)\right)'=f^{\prime \prime}=f\implies \left(T(f)\right)''=\left(\left(T(f)\right)'\right)'=f^\prime=T(f)}$ και αυτό αποδεικνύει ότι

$\displaystyle{T(f)\in E}$ . Ώστε, ο $\displaystyle{T:E\longrightarrow E}$ είναι καλώς ορισμένος και μαζί με την πιο πάνω δράση

περιορισμένη στο $\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}\times E}$ η αβελιανή ομάδα $\displaystyle{\left(E,+\right)}$ αποκτά δομή αριστερού

$\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}}$ - προτύπου, υποπροτύπου του $\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}}$ προτύπου $\displaystyle{C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}$ .

Σημείωση : Έστω $\displaystyle{P(x)=a_0+a_1\,x+a_2\,x^2+...+a_n\,x^n\in\mathbb{R}_{[x]}\,\,,f\in E\iff f^{\prime \prime}=f}$ . Τότε,

$\displaystyle{P(x)\cdot f=P(f)=a_0\,f+a_1\,f^\prime+a_2\,f^{\prime \prime}+a_3\,f^{(3)}+...+a_n\,f^{(n)}=\left(a_0+a_2+a_4+...+a_{n-1}\right)\,f+\left(a_1+a_3+a_5+...+a_{n}\right)\,f^\prime}$

αν ο $\displaystyle{n}$ είναι περιττός. Αν ο $\displaystyle{n}$ είναι άρτιος, τότε

$\displaystyle{P(x)\cdot f=P(f)=\left(a_0+a_2+a_4+a_6+...+a_n\right)\,f+\left(a_1+a_3+a_5+...+a_{n-1}\right)\,f^\prime}$ .

Β. Πρώτον, η μηδενική συνάρτηση, που είναι το μηδενικό στοιχείο του διανυσματικού χώρου $\displaystyle{E}$ , ανήκει και στο $\displaystyle{V}$

και στο $\displaystyle{W}$ , άρα $\displaystyle{V\,,W\subseteq E}$ . Έστω $\displaystyle{f\in V\,,g\in W}$ . Τότε :

$\displaystyle{f^\prime=f\implies f^{\prime \prime}=f^\prime=f\implies f\in E}$

$\displaystyle{g^\prime=-g\implies g^{\prime \prime}=-g^\prime=-(-g)=g\implies g\in E}$

άρα $\displaystyle{V\,,W\subseteq E}$ . Αν $\displaystyle{f\,,g\in V}$ και $\displaystyle{a\in\mathbb{R}}$ , τότε

$\displaystyle{\left(f+g\right)^\prime=f^\prime+g^\prime=f+g\,\,,\left(a\,f\right)^\prime=a\,f^\prime=a\,f}$ , δηλαδή :

το $\displaystyle{V}$ είναι υπόχωρος του $\displaystyle{E}$ . Όμοια για τον $\displaystyle{W}$ .

Έστω τώρα $\displaystyle{P(x)=a_0+a_1\,x+a_2\,x^2+..._a\,n\,x^n\in\mathbb{R}_{[x]}\,,f\in V\iff f^\prime=f}$ . Τότε,

$\displaystyle{P(x)\cdot f=a_0\,f+a_1\,f^\prime+a_2\,f^{\prime \prime}+...+a_{n}\,f^{(n)}=b\,f+c\,f^\prime=\left(b+c\right)\,f\in V}$ .

Όμοια, για τον $\displaystyle{W}$ .

Συμπέρασμα : Τα $\displaystyle{V\,,W}$ είναι $\displaystyle{\mathbb{R}_{[x]}}$ υποπρότυπα του $\displaystyle{E}$ .

C. Αν $\displaystyle{\mathbb{O}}$ είναι η μηδενική συνάρτηση, τότε $\displaystyle{\left\{\mathbb{O}\right\}\subseteq V\cap W}$ .

Έστω τώρα $\displaystyle{f\in V\cap W}$ . Ισχύει ότι $\displaystyle{f^\prime=f}$ και $\displaystyle{f^\prime=-f}$ , οπότε :

$\displaystyle{f=-f\iff 2\,f=\mathbb{O}\stackrel{2\neq 0}{\iff}f=\mathbb{O}\in\left\{\mathbb{O}\right\}}$ .

Εν τέλει, $\displaystyle{V\cap W=\left\{\mathbb{O}\right\}}$ , που σημαίνει ότι το άθροισμα $\displaystyle{V+W}$ είναι ευθύ με $\displaystyle{V\oplus W\subseteq E}$ .

Έστω $\displaystyle{f\in E}$ . Τότε, $\displaystyle{f^{\prime \prime}=f}$ ή $\displaystyle{f^{\prime \prime}+f^\prime=f^\prime+f}$

ή $\displaystyle{f(x)+f^\prime(x)=c\,e^{x}\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$ ή $\displaystyle{\left(e^{x}\,f(x)\right)^\prime=\left(k\,e^{2\,x}\right)^\prime\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$ .

Συνεπώς, υπάρχει $\displaystyle{m\in\mathbb{R}}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{e^{x}\,f(x)=k\,e^{2\,x}+m\iff f(x)=k\,e^{x}+m\,e^{-x}\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$

Οι συναρτήσεις $\displaystyle{f_1(x)=e^{x}\,,f_2(x)=e^{-x}\,,x\in\mathbb{R}}$ είναι τέτοιες ώστε $\displaystyle{f_1\in V\,,f_2\in W}$ διότι

$\displaystyle{f_1^\prime(x)=e^{x}=f_1(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\implies f_1^\prime=f_1}$ και

$\displaystyle{f_2^\prime(x)=-e^{-x}=(-f_2)(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\implies f_2^\prime=-f_2}$ .

Ώστε, $\displaystyle{f\in V+W}$ και τελικά $\displaystyle{E=V\oplus W}$ .

BAGGP93 · #70

Σχόλια-Σημειώσεις

Οι διανυσματικοί χώροι $\displaystyle{V\,,W}$ ( με τη συνήθη πρόσθεση απεικονίσεων και το σύνηθες βαθμωτό γινόμενο πραγματικού αριθμού με

πραγματική συνάρτηση) έχουν την ιδιότητα $\displaystyle{\dim_{\mathbb{R}}V=\dim_{\mathbb{R}}W=1}$ και τότε $\displaystyle{\dim_{\mathbb{R}}E=2}$ ,

αφού $\displaystyle{V=<\left\{f_1\right\}>\,,W=<\left\{f_2\right\}>}$ και $\displaystyle{E=V\oplus W}$ .

Ώστε, $\displaystyle{V\,,W\simeq \mathbb{R}\,\,,E\simeq \mathbb{R}^2}$ .

Άσκηση

Να βρεθεί η εικόνα $\displaystyle{T(E)}$ .

BAGGP93 · #71

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 28

Δείξτε ότι κάθε προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα $\displaystyle{\left(R,+,\cdot\right)}$ και πλήθος στοιχείων $\displaystyle{|R|=p^2}$ , όπου

$\displaystyle{p}$ είναι πρώτος αριθμός, είναι μεταθετικός.

Κάποια ιδέα ;

Επίσης, υπάρχει και το ερώτημα, πιο πάνω, με την εικόνα $\displaystyle{T(E)}$ .

#72

BAGGP93 έγραψε: Επίσης, υπάρχει και το ερώτημα, πιο πάνω, με την εικόνα $\displaystyle{T(E)}$ .

Βαγγέλη, η σύστασή μου είναι να αποφεύγεις δια ροπάλου λύσεις όπως αυτή που έχεις τρία ποστ παραπάνω. Πρόκειται για ιδιαίτερα επιτηδευμένη γραφή και ο αναγνώστης χάνεται στην περίπλοκη γλώσσα και τους συμβολισμούς. Στην πραγματικότητα πρόκειται για σχεδόν τετριμμένη άσκηση. Η πολυπλοκότητα της γραφής σου ίσως δικαιολογεί γιατί δυσκολεύεσαι να απαντήσεις στο τελευταίο ερώτημα, ενώ είναι απλό.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή, συνοπτικά: Εύκολα βλέπουμε ότι

είναι το σύνολο των συναρτήσεων με τύπο $ae^x+be^{-x}$ όπου a,b

σταθερές. Επίσης οι V, W

είναι οι

και $be^{-x}$ αντίστοιχα, οπότε εύκολα βλέπουμε ότι $V\cap W = \{0\}$ και άρα $E=V\oplus W$ . Όλα τα υπόλοιπα είναι τετριμμένα. Ειδικά, επειδή $(ae^x+be^{-x})' = ae^x-be^{-x} \in E$ , εύκολα μπορούμε να συμπεράνουμε (άμεσο) ότι T(E)=E

.

Μ.

BAGGP93 · #73

Γεια σας κύριε Μιχάλη. Ευχαριστώ για την απάντηση.

Δεν με δυσκόλεψε το τελευταίο ερώτημα, απλά, το έθεσα. Μάλιστα, είχα κατα νου την ακόλουθη λύση.

Ο τελεστής $\displaystyle{T}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ : Πράγματι, αν $\displaystyle{f\,,g\in E}$ με $\displaystyle{T(f)=T(g)}$

τότε $\displaystyle{f^\prime=g^\prime\implies f^{\prime \prime}=g^{\prime \prime}\implies f=g}$ .

Συνεπώς, από τα Θεωρήματα Ισομορφισμών, $\displaystyle{E\simeq T(E)}$ και συνεπώς, $\displaystyle{T(E)=E}$ .

#74

BAGGP93 έγραψε: $\displaystyle{f^\prime=g^\prime\implies f^{\prime \prime}=g^{\prime \prime}\implies f=g}$ .

Βαγγέλη, προσοχή καθώς δεν αληθεύει το παραπάνω. Π.χ. $f(x)=e^x, \, g(x)=e^x+1$ .

BAGGP93 έγραψε: Συνεπώς, από τα Θεωρήματα Ισομορφισμών, $\displaystyle{E\simeq T(E)}$ και συνεπώς, $\displaystyle{T(E)=E}$ .

Ας επανέλθω στο σχόλιό μου για επιτηδευμένη γραφή: Δεν χρειάζεται να πάμε μέσω θεωρήματος ισομορφισμών και άλλα τέτοια περισπούδαστα όταν το μόνο που χρειάζεται είναι να ξέρεις το $(ae^x + be^{-x})'= ae^x - be^{-x}$ .

Μάλιστα, θα έλεγα ότι το βιβλίο από όπου αντλήθηκε η άσκηση ΣΙΓΟΥΡΑ την τοποθέτησε εκεί για να δούμε με ένα απτό, χειροπιαστό, διαφωτιστικό παράδειγμα εκείνα τα οποία έχουν αναπτυχθεί στην θεωρία. Αν λοιπόν χρησιμοποιήσουμε τα βαριά εργαλεία της θεωρίας για να απαντήσουμε στο απλό παράδειγμα, σημαίνει ότι δεν αντιληφθήκαμε το μήνυμα του συγγραφέα.

Για να συνοψίσω:

Κατά την γνώμη μου πρέπει στα Μαθηματικά να γράφουμε πάντα με τον απλούστερο τρόπο και με στόχο να αναδεικνύεται η ουσία της απόδειξης που αναπτύσσουμε. Είναι θέμα επιλογής. Τι προτιμά κανείς, το λιτό αρχιτεκτονικό ύφος της Ακρόπολης ή μία σάλα ύφους Μπαρόκ από το Παλάτι των Βερσαλιών; Η δική μου επιλογή είναι το πρώτο.

Φιλικά,

Μιχάλης

BAGGP93 · #75

Mihalis_Lambrou έγραψε:
BAGGP93 έγραψε: $\displaystyle{f^\prime=g^\prime\implies f^{\prime \prime}=g^{\prime \prime}\implies f=g}$ .
Βαγγέλη, προσοχή καθώς δεν αληθεύει το παραπάνω. Π.χ. $f(x)=e^x, \, g(x)=e^x+1$ .

Γενικά, αυτό δεν ισχύει. Είμαστε όμως στο σύνολο $\displaystyle{E=\left\{f\in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}): f^{\prime \prime}=f\right\}}$ και άρα

έχουμε το ζητούμενο. Η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ που δώσατε πιο πάνω δεν ανήκει στο $\displaystyle{E}$ .

Μπορούμε να δούμε ότι ο $\displaystyle{T}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ και ως εξής :

$\displaystyle{\begin{aligned} \rm{Ker}(T)&=\left\{f\in E: T(f)=\mathbb{O}\right\}\\&=\left\{f\in E: f^\prime=\mathbb{O}\right\}\\&=\left\{f\in E: f=c\,,c\in\mathbb{R}\right\}\\&\stackrel{f^{\prime \prime}=f}{=}\left\{\mathbb{O}\right\}\end{aligned}}$

Mihalis_Lambrou έγραψε:

BAGGP93 έγραψε: Συνεπώς, από τα Θεωρήματα Ισομορφισμών, $\displaystyle{E\simeq T(E)}$ και συνεπώς, $\displaystyle{T(E)=E}$ .
Ας επανέλθω στο σχόλιό μου για επιτηδευμένη γραφή: Δεν χρειάζεται να πάμε μέσω θεωρήματος ισομορφισμών και άλλα τέτοια περισπούδαστα όταν το μόνο που χρειάζεται είναι να ξέρεις το $(ae^x + be^{-x})'= ae^x - be^{-x}$ .

Ως προς αυτό, γράφω την απόδειξη, λίγο πιο αναλυτικά, του κυρίου Μιχάλη. Έστω $\displaystyle{g\in E}$ . Τότε, $\displaystyle{g(x)=a\,e^{x}+b\,e^{-x}\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\,,f(x)=a\,e^{x}-b\,e^{-x}}$ και είναι $\displaystyle{f\in E}$ και

$\displaystyle{T(f))(x)=f^\prime(x)=a\,e^{x}+b\,e^{-x}=g(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}\implies T(f)=g\implies g\in T(E)}$ .

Κύριε Μιχάλη, νομίζω ο καθένας μας προτιμάει το λιτό αρχιτεκτονικό ύφος της Ακρόπολης. Ωστόσο, κατά τη γνώμη μου, η αναλυτικότητα κάποιες φορές είναι

χρήσιμη. Οι συμβολισμοί που έδωσα είναι οι συνήθεις στη Θεωρία Προτύπων.

BAGGP93 · #76

Άσκηση 32

Έστω $\displaystyle{\left(R,+,\cdot\right)}$ ένας προσεταιριστικός δακτύλιος, όχι απαραίτητα με μονάδα, ο οποίος έχει ακριβώς δύο ιδεώδη.

Να δειχθεί ότι είτε ο $\displaystyle{\left(R,+,\cdot\right)}$ είναι δακτύλιος διαίρεσης ή ο $\displaystyle{\left(R,+,\cdot\right)}$ έχει πεπερασμένο

πλήθος στοιχείων (ίσο με ένα πρώτο αριθμό $\displaystyle{p}$ ) και τετριμμένο πολλαπλασιασμό $\displaystyle{x\cdot y=0\,\,,\forall\,x\,,y\in R}$ .

BAGGP93 · #77

Άσκηση 33

Έστωσαν $\displaystyle{\left(\mathbb{F},+,\cdot\right)}$ ένα σώμα και $\displaystyle{G}$ μια πεπερασμένη υποομάδα της

πολλαπλασιαστικής ομάδας $\displaystyle{\left(U(\mathbb{F})=\mathbb{F}-\left\{0\right\},\cdot\right)}$ .

Αποδείξτε ότι η ομάδα $\displaystyle{\left(G,\cdot\right)}$ είναι κυκλική.

Tolaso J Kos · #78

Άσκηση 33 (μία γραμμικής άλγεβρας)

Έστω $A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ τέτοιοι ώστε $A^2+B^2 +2AB =\mathbb{O}_2$ και $\displaystyle{\det (A^2-B^2)=0}$ . Να δείξετε ότι $\det ({\rm tr}(A) A - {\rm tr}(B)B)=0$ .

#79

Άσκηση 34
'Εστω

ένας δακτύλιος και $M_{n}(R)$ o δακτύλιος των $n\times n$ πινάκων με στοιχεία από τον

με τις συνήθεις πράξεις. Να αποδειχθεί ότι ο $M_{n}(R)$ έχει μοναδιαίο στοιχείο αν και μόνο αν ο

έχει.
Μαυρογιάννης

#80

nsmavrogiannis έγραψε:Άσκηση 34
'Εστω ένας δακτύλιος και $M_{n}(R)$ o δακτύλιος των $n\times n$ πινάκων με στοιχεία από τον με τις συνήθεις πράξεις. Να αποδειχθεί ότι ο $M_{n}(R)$ έχει μοναδιαίο στοιχείο αν και μόνο αν ο έχει.
Μαυρογιάννης

Αν

μοναδιαίο στοιχείο του

, εύκολα βλέπουμε (κατά μίμηση της αντίστοιχης περίπτωση όπου ο δακτύλιος είναι οι παργματικοί) ότι ο

$\begin{pmatrix} e& 0 &... & 0 & 0\\ 0&e & ... &0 &0 \\ .&. &... &. &. \\ 0&0 & ... &e & 0\\ 0& 0 & ... &0 & e \end{pmatrix}$ είναι μοναδιαίο στοιχείο του $M_{n}(R)$ .

Αντίστροφα, αν

$\begin{pmatrix} p_1& q_1 &... & r_1 &s_1\\ p_2& q_2 &... & r_2 &s_2\\ .&. &... &. &. \\ p_{n-1}& q_{n-1} &... & r_{n-1} &s_{n-1}\\ p_{n}& q_{n} &... & r_{n} &s_{n} \end{pmatrix}$ μοναδιαίο στοιχείο του $M_{n}(R)$

τότε το p_1

είναι μοναδιαίο στοιχείο του

. Πράγματι, κοιτώντας το επάνω αριστερό στοιχείο
του πολλαπλασιασμού

$\begin{pmatrix} a& 0 &... & 0 & 0\\ 0&0 & ... &0 &0 \\ .&. &... &. &. \\ 0&0 & ... &0 & 0\\ 0& 0 & ... &0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_1& q_1 &... & r_1 &s_1\\ p_2& q_2 &... & r_2 &s_2\\ .&. &... &. &. \\ p_{n-1}& q_{n-1} &... & r_{n-1} &s_{n-1}\\ p_{n}& q_{n} &... & r_{n} &s_{n} \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} p_1& q_1 &... & r_1 &s_1\\ p_2& q_2 &... & r_2 &s_2\\ .&. &... &. &. \\ p_{n-1}& q_{n-1} &... & r_{n-1} &s_{n-1}\\ p_{n}& q_{n} &... & r_{n} &s_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a& 0 &... & 0 & 0\\ 0&0 & ... &0 &0 \\ .&. &... &. &. \\ 0&0 & ... &0 & 0\\ 0& 0 & ... &0 & 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} a& 0 &... & 0 & 0\\ 0&0 & ... &0 &0 \\ .&. &... &. &. \\ 0&0 & ... &0 & 0\\ 0& 0 & ... &0 & 0 \end{pmatrix}$

διαπιστώνουμε ότι για κάθε $a\in R$ ισχύει ap_1=p_1a=a

Φιλικά,

Μιχάλης

Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Re: Ασκήσεις στην Άλγεβρα!

Μέλη σε σύνδεση