Μη αποδεκτό όριο

KARKAR · #1

Μια συνάρτηση

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ .

Δείξτε ότι υπάρχει το $lim_\limits{x\rightarrow +\infty}$ f(x)

και δεν μπορεί να είναι το $+\infty$ .

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το λήμμα χωρίς απόδειξη ?

#2

KARKAR έγραψε:Μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ .

Δείξτε ότι υπάρχει το $lim_\limits{x\rightarrow +\infty}$ και δεν μπορεί να είναι το $+\infty$ .

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το λήμμα χωρίς απόδειξη ?

Το ουσιαστικό κομμάτι είναι αν μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι κάτω φραγμένη, τότε το εν λόγω όριο υπάρχει.

Η απόδειξη αυτού χρειάζεται (ισοδυναμεί) με το αξίωμα πληρότητας των πραγματικών αριθμών, που βέβαια (ορθώς) δεν διδάσκεται στο Σχολείο.
Έτσι ο μαθητής δεν είναι σε θέση να το αποδείξει ακόμα και να θέλει. Άρα, αν θέλουμε να χρησιμοποιούμε την παραπάνω ιδιότητα, η μόνη διέξοδος είναι να διατυπωθεί ρητά στο Σχολικό βιβλίο.

#3

KARKAR έγραψε:Μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ .

Δείξτε ότι υπάρχει το $lim_\limits{x\rightarrow +\infty}$ και δεν μπορεί να είναι το $+\infty$ .

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το λήμμα χωρίς απόδειξη ?

Για το β' σκέλος (η ύπαρξη του ορίου δεν ανήκει στη σχολική ύλη)

Θεωρούμε τον περιορισμό της συνάρτησης στο διάστημα $\displaystyle{[a, + \infty )}$ . Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, θα είναι $\displaystyle{f([a, + \infty )) = (\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x),f(a)]}$ , οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) < f(a)}$ και κατά συνέπεια δεν μπορεί να είναι το $\displaystyle{ + \infty }$

#4

KARKAR έγραψε:Μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ .

Δείξτε ότι υπάρχει το $lim_\limits{x\rightarrow +\infty}$ και δεν μπορεί να είναι το $+\infty$ .

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το λήμμα χωρίς απόδειξη ?

Δυστυχώς το σχολικό βιβλίο είναι κακογραμμένο και πολλά πράγματα τα περνάει με έμμεσο τρόπο.
Στην σελίδα 196 αναφερεται στο σύνολο τιμών μίας γνησίως μονότονης συνάρτησης ορισμένης σε ένα ανοικτό διάστημα που είναι φραγμένο. Στο τέλος της σελίδας αναφέρει ότι το συμπέρασμα βρίσκει ανάλογη εφαρμογή και στις περιπτώσεις που έχουμε διάστημα που περιέχει κάποιο από τα άκρα του. Δεν αναφέρει τίποτε για διαστήματα που είναι μη φραγμένα αλλά στην σελίδα 199 άσκηση Α-10-iv) χρειάζεται να βρεθεί το σύνολο τιμών της $e^{x}+1$ στο $(-\infty ,0]$ . Στο βιβλίο λύσεων (σ. 154) χρησιμοποιείται, σιωπηρά (με ένα τυπογραφικό σφάλμα) ο κανόνας και για μη φραγμένο διάστημα. Αν μαζέψουμε όσα αναφέρονται στο σχολικό (βιβλίο+λύσεις) συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ο κανόνας:
Το σύνολο τιμών μίας γνησίως αύξουσας (αντιστοίχως φθίνουσας) συνεχούς συνάρτησης ορισμένης στο $\left( \sigma _{1},\sigma _{2}\right)$ (όπου τα άκρα μπορούν να είναι και κάποια από τα $\pm \infty$ είναι το $\left( \lim\limits_{x\rightarrow \sigma _{1}}f\left( x\right) ,\lim\limits_{x\rightarrow \sigma _{2}}f\left( x\right) \right)$ (αντιστοίχως το $\left( \lim\limits_{x\rightarrow \sigma _{2}}f\left( x\right) ,\lim\limits_{x\rightarrow \sigma _{1}}f\left( x\right) \right)$ ). Στον κανόνα αυτό, επειδή το σύνολο τιμών ούτως ή άλλως υπάρχει, συμπεριλαμβάνεται και η ύπαρξη των ορίων (διότι το βιβλίο δεν λέει "αν τα όρια υπάρχουν τότε το σύνολο τιμών θα είναι...")
Επομένως στο θέμα που θέτει ο Θανάσης, κάποιος στηριζόμενος στο σχολικό μπορεί να πει:
Η

είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής και θα έχει κάποιο σύνολο τιμών που δεν είναι άλλο από το $\left( \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) ,\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \right)$ και επομένως $f\left( 0\right) >\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)$ (το

παίζει τον ίδιο ρόλο με το

στο μήνυμα του Γιώργου). 'Αρα το $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)$ δε μπορεί να είναι $+ \infty$ .
Μαυρογιάννης

Α.Αποστόλου · #5

να διαπιστώσω απλώς ότι:

" ...Στη συνέχεια, όταν γράφουμε $\lim\limits_{x\rightarrow x _{0}}f\left( x\right)=l$ , θα εννοούμε ότι το όριο της f(x)

στο $x_{0}$ υπάρχει και είναι ίσο με

"

Οπότε από την διατύπωση του θεωρήματος έχουμε εξασφαλίσει την ύπαρξη του ορίου. Για την απόδειξη αυτού, το εξήγησε ο κ.Λάμπρου.
Δεν χρειάζεται (ρητά) να διατυπωθεί εντός του θεωρήματος ότι τα όρια υπάρχουν. Εννοώ φυσικά για να γίνεται χρήση στις ασκήσεις.

*επεξεργασία:
Ξέχασα να συμπληρώσω, ότι $l \in \mathbb{R}$ και όταν χρησιμοποιούμε (το σχολικό) αυτή τη μορφή εξαιρεί τις περιπτώσεις $\lim\limits_{x\rightarrow x _{0}}f\left( x\right)= \pm \infty$ .

Μη αποδεκτό όριο

Μη αποδεκτό όριο

Re: Μη αποδεκτό όριο

Re: Μη αποδεκτό όριο

Re: Μη αποδεκτό όριο

Re: Μη αποδεκτό όριο

Μέλη σε σύνδεση