Κλειστός τύπος για άθροισμα δυωνυμικών (14)

#1

Ας δειχθεί ότι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}2^kH_k=2H_n-H_{[n/2]}}$ , όπου H_n

ο

-οστός αρμονικός αριθμός και $[\,\cdot\,]$ το ακέραιο μέρος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Zarifis · #2

Έχουμε ότι $H_n = \int_{0}^{1} {\frac{1-x^n}{1-x}}$
Όποτε αντικαθηστώντας στο LHS κι ενσταλάζοντας άθρηση κι ολοκλήρωμα (πεπερασμένα $\rightarrow$ fubini) έχουμε:
$(-1)^n \int_{0}^{1} {\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{-k}\binom{n}{k}2^k(1-x^k) }{1-x}} = (-1)^n \int_{0}^{1} {\frac{(-1)^n -(1-2x)^n }{1-x}} = \int_{0}^{1} {\frac{1-(2x-1)^n }{1-x}}$
Θέτοντας u=2x-1

έχουμε: $\int_{-1}^{1} {\frac{1-(u)^n }{1-u}} = H_n +\int_{-1}^{0} {\frac{1-(u)^n }{1-u}}$
Τέλος: $\int_{-1}^{0} {\frac{1-(u)^n }{1-u}} = \int_{-1}^{0} {\frac{(1-u)(1+u+u^2 + \dots +u^{n-1}) }{1-u}} =\int_{-1}^{0} {(1+u+u^2 + \dots +u^{n-1})} = (-1 + \frac{1}{2} + \dots (-1)^n \frac{1}{n}$
Το όποιο είναι ίσο με $H_n - H_{[\,\ n/2 \,]}$ φτάνει να δούμε τι γίνετε με το $H_n - H_{[\,\ n/2 \,]} /2$ (μηδενίζονται οι μονοί )

#3

Είναι το 3886 του Crux.

Άλλη μια λύση εδώ με διαφορές.

Κλειστός τύπος για άθροισμα δυωνυμικών (14)

Κλειστός τύπος για άθροισμα δυωνυμικών (14)

Re: Κλειστός τύπος για άθροισμα δυωνυμικών (14)

Re: Κλειστός τύπος για άθροισμα δυωνυμικών (14)

Μέλη σε σύνδεση