Θεωρητική με μονοτονία

Λάμπρος Μπαλός · #1

Έστω $f,g : (0,+ \infty) \rightarrow R$ συναρτήσεις τέτοιες, ώστε να ισχύει : xg (x)=f (x)

, για κάθε x >0

.
Αν η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,+ \infty)$ , να αποδείξετε ότι f (x+y) < f (x)+f (y)

, για κάθε $x,y \in (0,+ \infty)$ .

raf616 · #2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Έστω $f,g : (0,+ \infty) \rightarrow R$ συναρτήσεις τέτοιες, ώστε να ισχύει : , για κάθε .
Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0,+ \infty)$ , να αποδείξετε ότι , για κάθε $x,y \in (0,+ \infty)$ .

Καλημέρα κ. Λάμπρο. Μία προσπάθεια:

Χρησιμοποιώντας ότι f(x) = xg(x)

αρκεί να αποδείξουμε (x+y)g(x+y) < xg(x) + yg(y)

Όμως, αφού $x, y \in (0, +\infty)$ ισχύει x + y > x

και

και αφού

γνησίως φθίνουσα έχουμε $g(x + y) < g(x) \iff xg(x + y) < xg(x)$ αφού x > 0

.

Κάνοντας τα ίδια και για το

και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο.

nickos_m · #3

Για κάθε

ισχύει (x+y)g(x+y)<xg(x)+g(y) .Επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε x,y>0

τότε $(x+y)g(x+y)<xg(x)+g(y)\Leftrightarrow (x+y)(x+y)>x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow x^{2}+2xy+y^{2}>x^{2}+y^{2}\Leftrightarrow xy>0$ το οποίο ισχύει.

Andreas Panteris · #4

Αγαπητοί Συνάδελφοι Καλημέρα

Για κάθε $\displaystyle{x,y\in \left( 0,+\infty \right)}$ ισχύει $\displaystyle{x<x+y}$ και $\displaystyle{y<x+y}$ και αφού $\displaystyle{g}$ γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left( 0,+\infty \right)}$ θα είναι $\displaystyle{g(x)>g(x+y)}$ και $\displaystyle{g(y)>g(x+y)}$

Επομένως $\displaystyle{f(x+y)=(x+y)\cdot g(x+y)=x\cdot g(x+y)+y\cdot g(x+y)<xg(x)+yg(y)=f(x)+f(y)}$

Άρα $\displaystyle{f(x+y)<f(x)+f(y),}$ για κάθε $\displaystyle{x,y\in \left( 0,+\infty \right)}$

(*) Με προλαβε ο raf616

Kostas Tzimoulias · #5

Νίκο καλημέρα θα μπορούσες να εξηγήσεις τη λύση σου? δυσκολεύομαι να την κατανοήσω πολύ

vassilisg98 · #6

Καλησπέρα σας

Η σχέση

αντικαθιστώντας όπου x>0

το

γίνεται :

Έστω λοιπόν ότι f(x+y)>=f(x)+f(y)

(*) τότε θα έχουμε ισοδύναμα : (x+y)g(x)<xg(x)+yg(y)

ή $\frac{g(x+y)-g(x)}{y}>=\frac{g(y)-g(x+y)}{x}$
Εύκολα βέπουμε ότι ο λόγος μεταβολής της

στο πρώτο μέλος της ανισότητας πρέπει να είναι αρνητικός(1)επειδή η

είναι γνήσια φθίνουσα ενώ ο λόγος μεταβολής της

στο δεύτερο μέλος είναι θετικός αφού $\frac{g(y)-g(x+y)}{x}=\frac{-(g(x+y)-g(y))}{x}>0$ (2).. Άρα έχουμε από (1),(2) ότι ένας αρνητικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν θετικό . Άτοπο άρα η υπόθεση (*) δεν ισχύει οπότε έχουμε το ζητούμενο .

Θεωρητική με μονοτονία

Θεωρητική με μονοτονία

Re: Θεωρητική με μονοτονία

Re: Θεωρητική με μονοτονία

Re: Θεωρητική με μονοτονία

Re: Θεωρητική με μονοτονία

Re: Θεωρητική με μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση