ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

#181

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Ας κάνω άλλη μια παρέμβαση στην ωραία προσπάθεια του Μάριου. Δεν έχω χρόνο να ξανακάνω μια ψύχραιμη λύση, τη βάζω ...ζεστή από το φούρνο , για αυτό αν κάτι δεν πάει καλά, με ένα μήνυμα θα το φτιάξουμε.Θα την δω και γω ξανά πιο αργά.

ΑΣΚΗΣΗ 50

Δίνεται η συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}$ , η αρχική της , ώστε και $f:R\to R$ η αρχική της με .

............................

..........................................

γ) Να αποδείξετε ότι το $- \frac{1}{2}\ln 2$ είναι ελάχιστο της .

.................................

Μπάμπης

Επειδή είμαι σε διάλειμμα, μόνο αυτό προλαβαίνω να γράψω. Κάπως έτσι το σκέφτομαι , αλλά έχουμε αντιφάσεις ! Αυτά μου αρέσουν ! Είναι υπέροχο να βρισκεις δύο αποτελέσματα για το ίδιο ερώτημα.

Την άλλη ώρα το ξαναβλέπουμε !

$\begin{array}{l} f'(x) = G(x) \Rightarrow \int_{\,0}^{\,1} {f'(t)} dt = \int_{\,0}^{\,1} {G(t)} dt \Rightarrow f(1) = \int_{\,0}^{\,1} {t'G(t)} dt\\ \Rightarrow f(1) = 0 - \int_{\,0}^{\,1} {tG'(t)} dt \Rightarrow f(1) = - \int_{\,0}^{\,1} {tg(t)} dt \Rightarrow \\ f(1) = - \int_{\,0}^{\,1} {\frac{t}{{{t^2} + 1}}\,} dt = - \frac{1}{2}\ln 2 \end{array}$

Μπ

Tolaso J Kos · #182

Άσκηση 53 (κλασσική, γνωστή, αλλά ας υπάρχει και εδώ)

Έστω συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε να ισχύει $\displaystyle{|f(x)-f(y)| + |g(x)-g(y)| \leq |x-y|, \;\; \forall x , y \in \mathbb{R}}$ . Να δείξετε πως ούτε η

ούτε η

έχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Άσκηση 54 (ρυθμός μεταβολής)

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο x_0=3

. Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)= \left\{\begin{matrix} f\left ( 27-12x \right ) &, & x<2\\ f\left ( 11-x^3 \right )& ,& x\geq 2 \end{matrix}\right.}$ .

α) Να δείξετε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο x_0=2

.
β) Αν είναι $\displaystyle{f(3)=f'(3)= - \frac{1}{4}}$ να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της

στο σημείο $\displaystyle{{\rm B}= (2, g(2))}$ .
γ) Σημείο $\Sigma(x, y), \;\; x>0, \;\; y\geq 0$ κινείται επί της προηγούμενης ευθείας και πλησιάζει τον άξονα x'x

με ρυθμό $\displaystyle{1 \; {\rm cm/sec}}$ . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ελάχιστης απόστασης $\displaystyle{\Sigma {\rm O}}$ τη χρονική κατά την οποία το $\Sigma$ διέρχεται από το σημείο με τεταγμένη

.

M.S.Vovos · #183

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: $\begin{array}{l} f'(x) = G(x) \Rightarrow \int_{\,0}^{\,1} {f'(t)} dt = \int_{\,0}^{\,1} {G(t)} dt \Rightarrow f(1) = \int_{\,0}^{\,1} {t'G(t)} dt\\ \Rightarrow f(1) = 0 - \int_{\,0}^{\,1} {tG'(t)} dt \Rightarrow f(1) = - \int_{\,0}^{\,1} {tg(t)} dt \Rightarrow \\ f(1) = - \int_{\,0}^{\,1} {\frac{t}{{{t^2} + 1}}\,} dt = - \frac{1}{2}\ln 2 \end{array}$

Κ. Μπάμπη, καλό μεσημέρι!

Λοιπόν, το ερώτημα, νομίζω ότι είναι μια χαρά και η λύση σας δίνει σωστό αποτέλεσμα. Το λάθος είναι δικό μου, αφού ο σωστός τύπος της συνάρτησης

είναι ο:

$\displaystyle f(x)=xtan^{-1}x-\frac{\pi }{4}x-\frac{1}{2}ln(x^{2}+1)$

Που επαληθεύει όλες τις σχέσεις τις άσκησης!

Φιλικά,
Μάριος

M.S.Vovos · #184

Να διαγραφεί, παρακαλώ, το παρόν μήνυμα απ' τους γενικούς συντονιστές.

#185

Μαριε,ωραια.Καλη συνεχεια στη συλλογη.

M.S.Vovos · #186

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μαριε,ωραια.Καλη συνεχεια στη συλλογη.

Να' στε καλά κ. Μπάμπη!

Η συλλογή, όπως αναφέρω ξανά και ξανά, είναι κομμάτι συλλογικής προσπάθειας και όχι ατομικής. Προσωπικά, ευχαριστιέμαι να μοιράζομαι με όλους σας δημιουργίες μου ή άλλες που μου αρέσουν, αλλά το να υπάρχει μια συλλογή είναι δουλειά, που ΠΡΕΠΕΙ να ενδιαφέρει όλους μας θεωρώ, πόσο μάλλον στις μέρες που διαβαίνουμε που ο κόσμος δεν έχει να πληρώσει καλά καλά για τα απαραίτητα.

Η ιστοσελίδα, έχει ιδιαίτερο ανθρωπιστικό χαρακτήρα και εκεί πρέπει να βασιστούμε και να δημιουργήσουμε!

Φιλικά,
Μάριος

M.S.Vovos · #187

ΑΣΚΗΣΗ 55

Θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό $\lambda >0$ και τη συνεχή συνάρτηση $\displaystyle f(x)=e^{\lambda x}-\lambda x-1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Αν το εμβαδόν, του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ , τον άξονα και και την ευθεία , ισούται με $\displaystyle E=e-\frac{5}{2}$ , τότε:

α. Να βρείτε το πραγματικό αριθμό $\lambda$ .

β. Για $\lambda =1$ , να δείξετε ότι η $C_{f}$ δεν έχει τρία συνευθειακά σημεία.

γ. Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_{f}$ , που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

δ. Να υπολογίσετε το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0 }\frac{x^{3}f(y)}{f(x)\eta \mu ^{3}y}$ , όπου $\displaystyle y=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$ .

Φιλικά,
Μάριος

EDIT: Αφού κούρασα, τον κ. Βάσιλη βραδιάτικα, να διορθώσω ότι το λ είναι θετικό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #188

Το δ) έχει πρόβλημα.
Ο παρανομαστής μηδενίζεται όταν το χ πάει στο άπειρο.

M.S.Vovos · #189

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Το δ) έχει πρόβλημα.
Ο παρανομαστής μηδενίζεται όταν το χ πάει στο άπειρο.

Ε βέβαια πως να βγει... Αφού είναι 0!

Φιλικά,
Μάριος

#190

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 52 (αν και πολύ απλή τη βάζω μόνο και μόνο για ένα σημείο)

Έστω $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f(x)\leq \frac{f(0)+f(1)}{2}, \;\; \forall x \in [0, 2]}$ . Να δείξετε ότι η έχει δύο κρίσιμα σημεία (και να τα προσδιορίσετε) και ένα πιθανό σημείο καμπής.

Ας αφήσουμε λίγο χρόνο στους μαθητές. Όσοι την γνωρίζουν , ας μη βιαστούνε να απαντήσουνε.

...μέχρι να εμπλουτισθεί σε ερωτήματα γιά το (i)

Για όπου

το

έχουμε ότι $f(1)\le \frac{f(0)+f(1)}{2}\Leftrightarrow f(1)\le f(0)$ και με όπου

το

έχουμε ότι

$f(0)\le \frac{f(0)+f(1)}{2}\Leftrightarrow f(0)\le f(1)$ επομένως τελικά f(0)=f(1)

άρα ισχύει ότι

$f(x)\le f(0),\ \ \forall x\in [0,2]$ και $f(x)\le f(1),\ \ \forall x\in [0,2]$ δηλαδή στo σημείο

παρουσιάζει ακρότατο η

και αφού είναι παραγωγίσιμη σύμφωνα με το Fermat θα ισχύει ότι {f}'(1)=0

άρα η

έχει ένα κρίσιμο σημείο.

Τώρα στο διάστημα $[0,\,\,1]$ σύμφωνα με το Θ.Μ.Ε.Τ. επειδή στα δύο άκρα παρουσιάζει την μέγιστη τιμή θα υπάρχει

${{x}_{\varepsilon }}\in [0,1]$ που θα ισχύει $f({{x}_{\varepsilon }})\le f(x),\ \ x\in [0,\,1]$ και αν

${{x}_{\varepsilon }}=0$ ή ${{x}_{\varepsilon }}=1$ τότε η

σταθερή στο $[0,\,\,1]$ άρα για κάθε $x\in (0,1)$ ισχύει {f}'(x)=0

Τώρα αν ${{x}_{\varepsilon }}\in (0,1)$ σύμφωνα με σύμφωνα με το Fermat θα ισχύει ότι ${f}'({{x}_{\varepsilon }})=0$

έτσι τελικά η

έχει τουλάχιστον δύο κρίσιμα σημεία ένα ${{x}_{2}}\in (0,1)$ και ${{x}_{1}}=1$

Τώρα στο $[{{x}_{2}},1]$ η {f}'

είναι παραγωγίσιμη αφού

δύο φορές παραγωγίσιμη, και σύμφωνα με το Θ.Rolle

υπάρχει ${{x}_{0}}\in (0,\,\,1)$ που ${f}''({{x}_{0}})=0$ άρα η

έχει και ένα πιθανό σημείο καμπής.

...Διόρθωσα την τεράστια πατάτα που είχα κάνει εφαρμόζωντας Fermat σε άκρο διαστήματος
και ευχαριστώ τους Σταύρο,Μιχάλη, και Αποστόλη που μου το επεσήμαναν με Π.Μ. πιστεύω τώρα να είναι ο.κ..

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #191

ΑΣΚΗΣΗ 52 Συμπλήρωμα.
Να δοθεί παράδειγμα μη σταθερής συνάρτησης που δεν έχει σημείο καμπής.

#192

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 52
Έστω $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f(x)\leq \frac{f(0)+f(1)}{2}, \;\; \forall x \in [0, 2]}$ . Να δείξετε ότι η έχει δύο κρίσιμα σημεία (και να τα προσδιορίσετε) και ένα πιθανό σημείο καμπής.

Ακριβέστερα, πρέπει να πούμε "τουλάχιστον δύο κρίσιμα σημεία". Π.χ. η στο ικανοποιεί τις υποθέσεις (απλό) αλλά έχει τρία κρίσιμα σημεία. Μπορούμε να φτιάξουμε παραδείγματα με όσα κρίσιμα σημεία θέλουμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 52 Συμπλήρωμα.
Να δοθεί παράδειγμα μη σταθερής συνάρτησης που δεν έχει σημείο καμπής.

Εξετάζουμε την $\displaystyle{f(x) = \begin{cases} 1& \text{ if } 0 \le x \le 1 \\ 1-(x-1)^3& \text{ if } 1< x \le 2 \end{cases}}$

Από το γεγονός ότι $f(x) \le 1$ και τα συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{ f(x) \le 1 = \frac{f(0)+f(1)}{2}}$ . Επίσης εύκολα βλέπουμε ότι είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και μάλιστα

$\displaystyle{f'(x) = \begin{cases} 0& \text{ if } 0 \le x \le 1 \\ -3(x-1)^2& \text{ if } 1< x \le 2 \end{cases}}$ και

$\displaystyle{f''(x) = \begin{cases} 0& \text{ if } 0 \le x \le 1 \\ -6(x-1)& \text{ if } 1< x \le 2 \end{cases}}$

Παρατηρούμε ότι για κάθε είναι είτε ή , που σημαίνει ότι η πουθενά δεν αλλάζει πρόσημο, και άρα η δεν έχει σημεία καμπής.

#193

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 55

Θεωρούμε τον πραγματικό αριθμό $\lambda$ και τη συνεχή συνάρτηση $\displaystyle f(x)=e^{\lambda x}-\lambda x-1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Αν το εμβαδόν, του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ , τον άξονα και και την ευθεία , ισούται με $\displaystyle E=e-\frac{5}{2}$ , τότε:

α. Να βρείτε το πραγματικό αριθμό $\lambda$ .

...μία νυχτερινή αντιμετώπιση... για το (α)....

α) Σύμφωνα με την υπόθεση ισχύει ότι $E=\int\limits_{0}^{1}{|f(x)|dx}=e-\frac{5}{2}$ . Τώρα σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή ισχύει

$\ln x\le x-1,\,\,x>0$ και με όπου το ${{e}^{\lambda x}},\,\,\,x\in R$ προκύπτει ότι

$ln{{e}^{\lambda x}}\le {{e}^{\lambda x}}-1\Leftrightarrow {{e}^{\lambda x}}\ge \lambda x+1\Leftrightarrow {{e}^{\lambda x}}-\lambda x-1\ge 0,x\in R$

επομένως $f(x)\ge 0,\,\,\,x\in [0,\,\,1]$ οπότε έχουμε ότι

$\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=e-\frac{5}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{({{e}^{\lambda x}}-\lambda x-1)dx}=e-\frac{5}{2}\Leftrightarrow \left[ \frac{1}{\lambda }{{e}^{\lambda x}}-\frac{\lambda }{2}{{x}^{2}}-x \right]_{0}^{1}=e-\frac{5}{2}\Leftrightarrow$

$\left( \frac{1}{\lambda }{{e}^{\lambda }}-\frac{\lambda }{2}-1 \right)-\left( \frac{1}{\lambda }-0-0 \right)=e-\frac{5}{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow 2{{e}^{\lambda }}-2e\lambda -{{\lambda }^{2}}+3\lambda -2=0$ (1)

...και μετά την διόρθωση στν υπόθεση του Μάριου ...επανερχόμαστε...

Θεωρώντας τώρα την συνάρτηση $g(x)=2{{e}^{x}}-2ex-{{x}^{2}}+3x-2,x\ge 0$ έχει προφανείς ρίζες τις και στο $[0,\,\,+\infty )$

Τώρα αν υποθέσουμε ότι η έχει τρείς ρίζες $0\le {{\rho }_{1}}<{{\rho }_{2}}<{{\rho }_{3}}$ με Rolle στα

$[{{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}}],[{{\rho }_{2}},{{\rho }_{3}}],$ προκύπτει ότι η ${g}'(x)=2{{e}^{x}}-2e-2x+3,x\ge 0$ έχει δύο ρίζες

$0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ και με με Rolle στα $[0,\,\,{{x}_{1}}],[{{x}_{1}},{{x}_{2}}]$ προκύπτει ότι η ${g}''(x)=2({{e}^{x}}-1),x>0$

έχει ρίζα $\xi >0$ που είναι άτοπο αφού η ${g}''(x)=0\Leftrightarrow 2({{e}^{x}}-1)=0\Leftrightarrow x=0$ έχει μόνο μία.

Επομένως η $g(x)=2{{e}^{x}}-{{x}^{2}}+(3-2e)x-2,\,\,\,x\in R$ έχει ακριβώς δύο ρίζες τις στο $[0,\,\,+\infty )$

β) Για $\lambda =1$ η γίνεται $f(x)={{e}^{x}}-x-1$ και έστω ότι έχει τρία συνευθειακά σημεία

$A({{x}_{1}},\,\,f({{x}_{1}})),\,\,B({{x}_{2}},\,\,f({{x}_{2}})),\,\,\Gamma ({{x}_{3}},\,\,f({{x}_{3}}))$ με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}$

τότε στα διαστήματα $[{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}],\,\,[{{x}_{2}},\,\,{{x}_{3}}]$ αφού είναι παραγωγίσιμη με ${f}'(x)={{e}^{x}}-1$

σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν ${{\xi }_{1}}\in ({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}),\,{{\xi }_{2}}\in \,({{x}_{2}},\,\,{{x}_{3}})$ ώστε

${f}'({{\xi }_{1}})={f}'({{\xi }_{2}})=0$ άτοπο αφού ${f}'(x)={{e}^{x}}-1=0\Leftrightarrow x=0$ άρα η $C_{f}$ δεν έχει τρία συνευθειακά σημεία.

γ) Η εφαπτομένη της $C_{f}$ σε σημείο της $A({{x}_{1}},\,\,f({{x}_{1}}))$ είναι $y-f({{x}_{1}})={f}'({{x}_{1}})(x-{{x}_{1}})$

και για να περνάει από την αρχή των αξόνων πρέπει και αρκεί

$0-f({{x}_{1}})={f}'({{x}_{1}})(0-{{x}_{1}})\Leftrightarrow f({{x}_{1}})={f}'({{x}_{1}}){{x}_{1}}\Leftrightarrow {{e}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}}-1={{x}_{1}}({{e}^{{{x}_{1}}}}-1)\Leftrightarrow$

${{e}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}}-1={{x}_{1}}{{e}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{e}^{{{x}_{1}}}}-1={{x}_{1}}{{e}^{{{x}_{1}}}}$

δηλαδή η εξίσωση ${{e}^{x}}-1=x{{e}^{x}}\Leftrightarrow 1-{{e}^{-x}}=x\Leftrightarrow {{e}^{-x}}+x-1=0$ να έχει λύση.

Αυτή έχει προφανή λύση την και επειδή από την ανισότητα ${{e}^{x}}\ge x+1,\,\,\,x\in R$ (όπως στο (α)) με το ίσο να ισχύει μόνο για

θα είναι και ${{e}^{-x}}>-x+1,\,\,\,x\ne 0$ επομένως η είναι και η μοναδική.

δ) Το $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(x-\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{e}^{x}}-1})=0$ επειδή

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{{{e}^{x}}-x-1}{{{e}^{x}}-1})=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{{{e}^{x}}-1}{{{e}^{x}}})=0$ (σύμφωνα με το κανόνα του DLH) .

Τώρα η $g(x)=\frac{{{x}^{3}}f(y)}{f(x)\eta {{\mu }^{3}}y}=\frac{{{x}^{3}}f(y)}{{{y}^{3}}f(x)}\cdot \frac{1}{\left( \frac{\eta {{\mu }^{3}}y}{{{y}^{3}}} \right)}=\frac{x}{y}\cdot \frac{\frac{f(y)}{{{y}^{2}}}}{\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}}\cdot \frac{1}{\left( \frac{\eta {{\mu }^{3}}y}{{{y}^{3}}} \right)}=L$ (1)

και έχουμε ότι $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'(x)}{2x}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{x}=\frac{1}{2}$

άρα και $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(y)}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{2}$

Ακόμη $\frac{y}{x}=\frac{x-\frac{f(x)}{{f}'(x)}}{x}=1-\frac{f(x)}{x{f}'(x)}=1-\frac{{{e}^{x}}-x-1}{x{{e}^{x}}-x}$ με

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-x-1}{x{{e}^{x}}-x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{{{e}^{x}}+x{{e}^{x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{x}}+x{{e}^{x}}}=\frac{1}{2}$ (σύμφωνα με το κανόνα του DLH)

άρα $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{y}{x}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

επομένως $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{y}=2$ και τελικά από (1)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #194

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΑΣΚΗΣΗ 56

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ μία συνάρτηση, τέτοια ώστε f'(0)=1

και $f(x)\cdot f'(-x)=1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

α. Να δείξετε ότι f(x)>0

, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να λύσετε την εξίσωση $f(f(x-1)-f(1-x^{3}))=1$ .

γ. Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση $g(x)=f(x)\cdot f(-x)$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι η

είναι σταθερή στο $\mathbb{R}$ .

δ. Να προσδιορίσετε τον τύπο της

.

#195

Επανορθώνοντας ένα λάθος που έκανα βιαστικά προηγουμένως (είδα f'(0)=0

αντί για

, και έγραψα ότι δημιουργείται αντίφαση), βρίσκω ότι υπάρχει συνάρτηση που επαληθεύει τις συνθήκες και είναι η εκθετική με βάση το

.

Αν δεν προλάβει κάποιος φίλος (μάλλον απίθανο...), θα δώσω μια πλήρη λύση αργότερα.

#196

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μια δημιουργία μου, που βασίζεται σε βασικές έννοιες. Θαρρώ, πως θα βοηθήσει τα παιδιά.
ΑΣΚΗΣΗ 56

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ μία συνάρτηση, τέτοια ώστε και $f(x)\cdot f'(-x)=1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

α. Να δείξετε ότι , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να λύσετε την εξίσωση $f(f(x-1)-f(1-x^{3}))=1$ .

γ. Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση $g(x)=f(x)\cdot f(-x)$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι η είναι σταθερή στο $\mathbb{R}$ .

δ. Να προσδιορίσετε τον τύπο της .

...Καλησπέρα σε όλη την παρέα...με μια αντιμετώπιση στο θέμα του Γιώργου

α) Από την ισότητα $f(x)\cdot f'(-x)=1$ συμπεραίνουμε κατ αρχάς ότι $f(x)\ne 0,\,\,\,\,x\in R$ και σαν συνεχής η

θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

και αφού

θα ισχύει ότι $f(0){f}'(0)=1\Rightarrow f(0)=1>0$ άρα $f(x)>0,\,\,\,x\in R$ .

Τώρα από $f(x)\cdot f'(-x)=1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ θα ισχύει ότι

$f(-x)\cdot {f}'(x)=1\overset{f(-x)>0}{\mathop{\Rightarrow }}\,{f}'(x)=\frac{1}{f(-x)}>0$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$

άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

β) Η εξίσωση ισοδύναμα και λόγω του ότι η

είναι

ως γνήσια αύξουσα γράφεται

$f(f(x-1)-f(1-{{x}^{3}}))=1\Leftrightarrow f(f(x-1)-f(1-{{x}^{3}}))=f(0)\Leftrightarrow$

$f(x-1)-f(1-{{x}^{3}})=0\Leftrightarrow f(x-1)=f(1-{{x}^{3}})\Leftrightarrow x-1=1-{{x}^{3}}\Leftrightarrow$

$(x-1)({{x}^{2}}+x+1)+(x-1)=0\Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}+x)=0\Leftrightarrow \left\{ x=1,\,\,x=0,\,\,x=-1 \right\}$

γ) Η $g(x)=f(x)\cdot f(-x)$ είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων με ${g}'(x)={f}'(x)\cdot f(-x)-f(x){f}'(-x)=0$ (από (α))

άρα είναι σταθερή και επειδή $g(0)={{f}^{2}}(0)=1$ είναι $g(x)=f(x)\cdot f(-x)=1,\,\,\,x\in R$

δ) Από (γ) $f(x)=\frac{1}{f(-x)}$ και από (α) ${f}'(x)=\frac{1}{f(-x)}$ προκύπτει ότι {f}'(x)=f(x)

και από γνωστή εφαρμογή έχουμε ότι

$f(x)=c{{e}^{x}}$ και αφού f(0)=1

προκύπτει ότι c=1

άρα $f(x)={{e}^{x}}$ που εύκολα επαληθεύει την αρχική ισότητα.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #197

ΑΣΚΗΣΗ 57

Έστω $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , με $\alpha <\beta$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση

, για την οποία ισχύουν $f(\alpha )>1$ και $f'(x)\neq 0$ , για κάθε $x\in [\alpha ,\beta ]$ . Αν τα σημεία $A(f(\alpha ),1)$ , B(1,2)

και $\Gamma (f(\beta ),0)$ είναι συνεθειακά, τότε:

α. Να δείξετε ότι $f(\beta )+1=2f(\alpha )$ .

β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$ .

γ. Να δείξετε ότι, υπάρχει μοναδικό $x_{0}\in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο, ώστε $5f(x_{0})=2f(\alpha )+3f(\beta )$ .

δ. Να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2},\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοια ώστε $\displaystyle \frac{3}{f'(\xi _{1})}+\frac{2}{f'(\xi _{2})}=\frac{5}{f'(\xi )}$ .

EDIT: Έγινε αλλαγή στα ερωτήματα γ,δ.

Tolaso J Kos · #198

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 53 (κλασσική, γνωστή, αλλά ας υπάρχει και εδώ)

Έστω συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε να ισχύει $\displaystyle{|f(x)-f(y)| + |g(x)-g(y)| \leq |x-y|, \;\; \forall x , y \in \mathbb{R}}$ . Να δείξετε πως ούτε η ούτε η έχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Εύκολα δείχνουμε ότι και η

και η

είναι συνεχείς.Το συμπέρασμα έπεται. Αφήνεται η δικαιολόγιση στους μαθητές.

Επαναφορά και η 54.

Grosrouvre · #199

M.S.Vovos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 57

Έστω $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , με $\alpha <\beta$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύουν $f(\alpha )>1$ και $f'(x)\neq 0$ , για κάθε $x\in [\alpha ,\beta ]$ . Αν τα σημεία $A(f(\alpha ),1)$ , και $\Gamma (f(\beta ),0)$ είναι συνεθειακά, τότε:

α. Να δείξετε ότι $f(\beta )+1=2f(\alpha )$ .

β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$ .

γ. Να δείξετε ότι, υπάρχει μοναδικό $x_{0}\in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο, ώστε $5f(x_{0})=2f(\alpha )+3f(\beta )$ .

δ. Να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2},\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοια ώστε $\displaystyle \frac{3}{f'(\xi _{1})}+\frac{2}{f'(\xi _{2})}=\frac{5}{f'(\xi )}$ .

EDIT: Έγινε αλλαγή στα ερωτήματα γ,δ.

α) Τα σημεία του επίπεδου

και

, ορίζουν την ευθεία $\epsilon$ με εξίσωση

$\displaystyle{y - 2 = \frac{2 -1}{1 - f(a)}(x -1) \Longrightarrow y - 2 = \frac{1}{1 -f(a)}(x -1)}$ .

Εφόσον και το σημείο

είναι συνευθειακό των

και

, οι συντεταγμένες του θα ικανοποιούν την εξίσωση $\epsilon$ . Δηλαδή,

$\displaystyle{0 - 2 = \frac{1}{1 -f(a)}(f(b) - 1)} \Longrightarrow 2f(a) -2 = f(b) -1 \Longrightarrow f(b) +1 = 2f(a)}$ .

Για τα υπόλοιπα χρειάζεται νομίζω και η γνώση της συνέχειας της πρώτης παραγώγου της .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #200

ΑΣΚΗΣΗ 57
Γράφτηκε:
Για τα υπόλοιπα χρειάζεται νομίζω και η γνώση της συνέχειας της πρώτης παραγώγου της f.
Grosrouvre Δημοσιεύσεις: 209Εγγραφή: Τρί. Ιούλ. 15, 2014 10:37 pm

Η συνέχεια της παραγώγου δεν χρειάζεται.
Στο δ) πρέπει να προστεθεί ότι τα τρία σημεία δεν ταυτίζονται γιατί έτσι όπως είναι είναι τετριμένο.

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Μέλη σε σύνδεση