Τρεις πρώτοι αριθμοί

ealexiou · #1

Γράφω στο χαρτί τρεις διαφορετικούς πρώτους αριθμούς. Σας πληροφορώ ότι το γινόμενο του πρώτου πρώτου αριθμού με το άθροισμα πρώτου και δεύτερου πρώτου αριθμού είναι κατά

μεγαλύτερο του τρίτου πρώτου αριθμού. Βρείτε τους αριθμούς που έχω γράψει.

Ευθύμης

#2

Γεια σου Ευθύμη. Μία "οπτική" λύση.

Είναι a = 5

και

Οπότε: $a(a + b) = c + 24\Rightarrow$ 35 = 35

Κώστας Βήττας.

ealexiou · #3

vittasko έγραψε:Γεια σου Ευθύμη. Μία "οπτική" λύση.

Είναι και και

Οπότε: $a(a + b) = c + 24\Rightarrow$

Κώστας Βήττας.

Γεια σου Κώστα. Σωστή και γρήγορη η "οπτική" λύση.
Πώς ξέρουμε όμως ότι αυτή είναι η μοναδική λύση και άρα οι αριθμοί που έχω γράψει και με την σειρά που τους έχω γράψει ;

Φιλικά και με εκτίμηση Ευθύμης

#4

Ευθύμη, δεν σκέφτηκα ότι μορεί να είναι μοναδική η "οπτική" λύση που έδωσα.

Άλλη μία επίσης "οπτική" λύση είναι η εξής:

a = 7

και

, αφού $a(a + b) = c + 24\Rightarrow$ 63 = 63

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Συγνώμη λάθος. Όπως μου είπε και με προσωπικό μήνυμα ο Γιώργος Κοτσόβολης (*), το 39 δεν είναι πρώτος. Εγώ όμως στο μυαλό μου τον είχα σαν 37.

(*) Απ' ότι βλέπω, ο Γιώργος δεν έχει ακόμα κάνει κάποια ανάρτηση. Με το καλό να έλθει στην παρέα μας, ελπίζω.

Κοτσόβολης Γιώργος · #5

Καλησπέρα και από εμένα!
H εξίσωση είναι $\displaystyle{p_1(p_1+p_2)=p_3+24}$
Θα πάρουμε 2 περιπτώσεις:
Αν $\displaystyle{p_2=2}$ τότε η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{(p_1-4)(p_1+6)=p_3}$ από όπου p $\displaystyle{_1=5}$ και $\displaystyle{p_3=11}$
Αν το $\displaystyle{p_2}$ δεν είναι ίσο με $\displaystyle{2}$ τότε το πρώτο μέλος είναι προφανώς άρτιος.Άρα $\displaystyle{p_3=2}$
Kαι $\displaystyle{p_1(p_1+p_2)=26=2\cdot 13}$ Άρα $\displaystyle{p_1=2}$ και $\displaystyle{p_2=11}$
Συνεπώς υπάρχουν 2 λύσεις.

Διόρθωση:Οι αριθμοί είναι διαφορετικοί.Οπότε όντως όπως είπε και ο Mihalis_Lambrou η μια περίπτωση απορρίπτεται.

#6

ealexiou έγραψε:Γράφω στο χαρτί τρεις διαφορετικούς πρώτους αριθμούς. Σας πληροφορώ ότι το γινόμενο του πρώτου πρώτου αριθμού με το άθροισμα πρώτου και δεύτερου πρώτου αριθμού είναι κατά μεγαλύτερο του τρίτου πρώτου αριθμού. Βρείτε τους αριθμούς που έχω γράψει.

Αν

οι τρεις πρώτοι με την σειρά που δίνονται τότε η μοναδική λύση είναι η 5, 2, 11

(ο έλεγχος ότι είναι λύση είναι άμεσος και έγινε παραπάνω).

Απόδειξη: Η υπόθεση γράφεται p(p+q)=r+24

. Αν

θα είχαμε $p(p+q)=26=2\cdot 13$ , οπότε p=2=r

και η περίπτωση αυτή απορρίπτεται. Άρα

περιττός οπότε r+24

περιττός και άρα p, p+q

περιττοί. Έπεται

άρτιος, οπότε q=2

. Η υπόθεση τώρα
γίνεται p(p+2)=r+24

ή αλλιώς

. Επειδή

πρώτος έπεται p-4=1

, που οδηγεί αμέσως στην λύση που έγραψα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: Η λύση μου διασταυρώθηκε το ίδιο δευτερόλεπτο με την προηγούμενη.

Τρεις πρώτοι αριθμοί

Τρεις πρώτοι αριθμοί

Re: Τρεις πρώτοι αριθμοί

Re: Τρεις πρώτοι αριθμοί

Re: Τρεις πρώτοι αριθμοί

Re: Τρεις πρώτοι αριθμοί

Re: Τρεις πρώτοι αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση