ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Μια γεωμετρική ανισότητα που προέκυψε από μια μικρή έρευνα...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC

.
Αν

τα ύψη του και

το ορθόκεντρό του , αποδείξτε ότι
$\displaystyle HD+ HE + HF\leq \frac{3}{2}R$ , όπου

η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Έστω οξυγώνιο τρίγωνο .
Αν τα ύψη του και το ορθόκεντρό του , αποδείξτε ότι
$\displaystyle HD+ HE + HF\leq \frac{3}{2}R$ , όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Έχουμε $\displaystyle { HD = BD \tan HBD = \frac {BD} {\tan C}= \frac {c\cos B} {\tan C}= \frac {c\cos B \cos C} {\sin C}= 2R \cos B \cos C$
και όμοια τα υπόλοιπα.

Το αποδεικτέο γίνεται

$\displaystyle { HD+ HE + HF = 2R (\cos B \cos C +\cos C \cos A + \cos A \cos B ) \le \frac{3}{2}R$ ή αλλιώς

$\displaystyle {\cos B \cos C +\cos C \cos A + \cos A \cos B \le \frac{3}{4}$

Τώρα αυτή είναι γνωστή ανισότητα και αποδεικνύεται ποικιλοτρόπως. Όπως και να είναι υπάρχει μία απόδειξη στο βιβλιαράκι του Κοντογιάννη, Ισότητες και ανισότητες στο τρίγωνο, σελίς 72.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Συμπληρώνω ότι με περίπου τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται η πρώτη της ξαδέλφη $AH +BH+CH \le 2R$ .

Κοτσόβολης Γιώργος · #3

Μπορεί να βγει κάτι με αυτόν τον τρόπο?
Αν

το περίκεντρο και OOb , OOa , OOc

τα αποστήματα:
HD + HE + HF=AD + BE +CF - (AH+BH+CH)=

=AD+BE+CF -2(OOa + OOb +OOc )=AD+BE+CF-2(R+r)

(Από το θεώρημα του Carnot)
Στη συνέχεια:
$AD+BE+CF=2E(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{2E}{abc}\sum{ab} =\frac{1}{2R}\sum{ab}$
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε πως $\sum{ab}\leq 2R(\frac{3}{2}R+2(R+r))$
=7R.R+4rR

Υπάρχει κάποια γεωμετρική ανισότητα για το $\sum{ab}$ ?

KARKAR · #4

Είχα κάποτε βρει την εξής σχετική (?) άσκηση : Αν AH^2+BH^2+CH^2=7

και $AH\cdot BH\cdot CH=3$ , βρείτε ...

( δεν θυμάμαι το ζητούμενο , πάντως τα δεδομένα έχουν ενδιαφέρον )

#5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Μια γεωμετρική ανισότητα που προέκυψε από μια μικρή έρευνα...

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο .
Αν τα ύψη του και το ορθόκεντρό του , αποδείξτε ότι
$\displaystyle HD+ HE + HF\leq \frac{3}{2}R$ , όπου η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου.

$\displaystyle{HA + HB + HC = 2R(\cos A + \cos B + \cos C) \le 2R \cdot \frac{3}{2} \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{HA + HB + HC \le 3R}$

Αλλά, $\displaystyle{HA + HB + HC \ge 2(HD + HE + HF) \Leftrightarrow }$ $\boxed{HD + HE + HF \le \frac{{3R}}{2}}$

Η ισότητα ισχύει στο ισόπλευρο τρίγωνο.

#6

KARKAR έγραψε:Είχα κάποτε βρει την εξής σχετική (?) άσκηση : Αν

και $AH\cdot BH\cdot CH=3$ , βρείτε ...

...την ακτίνα $\displaystyle{R}.$

ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση