Συναρτησιακή από Baltic Way

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{|x|f(y)+yf(x)=f(xy)+f(x^2)+f(f(y)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

raf616 · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{|x|f(y)+yf(x)=f(xy)+f(x^2)+f(f(y)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Καλησπέρα Θανάση! Μία προσπάθεια:

Για x = 1

έχουμε

. Ας υποθέσουμε αρχικά ότι $f(1) \neq 0$ .

Τότε για x = 0

είναι

. Αν ήταν

τότε $f(f(y)) = 0, \forall y \in \Bbb{R}$ το οποίο στην από πάνω για y=2

δίνει

, άτοπο.

Άρα $f(0) \neq 0$ . Για x = y = 1

στην αρχική είναι f(f(1)) = 0

. Θέτοντας τώρα y = 1, x=0

στην αρχική παίρνουμε f(0) = 0

, άτοπο.

Άρα f(1) = 0

. Τώρα για x = 1

παίρνουμε $f(f(y)) = 0, \forall y \in \Bbb{R}$ και για y=1

είναι $f(x^2) = 0, \forall x \in \Bbb{R}$ . Έτσι, η αρχική γράφεται |x|f(y) + yf(x) = f(xy)

.

Τώρα για x = -1

είναι

ενώ για

είναι

.

Συσχετίζοντας αυτές καταλήγουμε $\displaystyle{|x|f(-1) - f(x) = f(x) + xf(-1) \iff 2f(x) = f(-1)(|x| - x) \iff f(x) = a(|x| - x), \forall x \in \Bbb{R}}$ .

Πρέπει όμως $f(f(y)) = 0, \forall y \in \Bbb{R}$ και άρα πρέπει $a \geq 0$ . Άρα $f(x) = a(|x|-x), \forall x \in \Bbb{R}, a \geq 0$ που επαληθεύει όλες τις συνθήκες.

*EDIT: Έκανα μία διόρθωση στο τέλος.

Κοτσόβολης Γιώργος · #3

Για

παίρνουμε πως f(f(1))=0

Για

και

έχουμε

Άρα

Τώρα για

παίρνουμε πως f(x)=0

, $x\geq 0$
Για x=0 f(f(x))=0

Άρα για x,y αρνητικά η δοθείσα γίνεται:
xf(y)=yf(x)

(Αφού θα είναι $xy\geq 0$ )
$f(x)=\frac{x}{y}f(y)$ από όπου f συνεχής.
Ακόμα για f(x)=f(y)

έχουμε $f(x)=0 \vee x \in R$ ή f(x) ''1-1'

' (Για χ αρνητικά πάντα)
Έστω πως είναι 1-1 τότε είναι και γνησίως μονότονη αφού είναι συνεχής.Όμως τότε η f(f(x)) θα είναι αύξουσα Άτοπον!Άρα f(x)=0

!!!

Edit:Η λύση μου έχει λάθος στο σημείο που αναφέρω πως αφού

μονότονη τότε fof

αύξουσα για το οποίο πρέπει να έχω σχέση για το που είναι ''1-1''

και το σύνολο τιμών της.

#4

Κοτσόβολης Γιώργος έγραψε: Ακόμα για έχουμε $f(x)=0 \vee x \in R$ ή' (Για χ αρνητικά πάντα)

Γιώργο, δεν καταλαβαίνω τι γράφεις εδώ, και γιατί.

Υποθέτω ότι το $"\vee "$ που γράφεις είναι $"\, \forall \,"$ , αλλά δεν είναι εκεί το πρόβλημά μου!

Κοτσόβολης Γιώργος · #5

Λέω πως αν πάρουμε f(x)=f(y)

τότε
1)τα f(x)

και

είναι μηδέν οπότε δεν μπορώ να διαιρέσω
Ή
2)υπάρχουν μη μηδενικά f(x)

και

οπότε παίρνω x=y

Επομένως υπάρχει ένα διάστημα στο οποίο η

είναι

#6

Άλλες λύσεις:
http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 31p5524655

Συναρτησιακή από Baltic Way

Συναρτησιακή από Baltic Way

Re: Συναρτησιακή από Baltic Way

Re: Συναρτησιακή από Baltic Way

Re: Συναρτησιακή από Baltic Way

Re: Συναρτησιακή από Baltic Way

Re: Συναρτησιακή από Baltic Way

Μέλη σε σύνδεση