ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

#201

Πρέπει $\displaystyle{{{\rm{\xi }}_1} \ne {\xi _2}}$ . Όμως το $\displaystyle{\xi }$ μπορεί να είναι κάποιο απ΄τα $\displaystyle{{\xi _{1,}}{\xi _2}}$
Σχετικά με το (γ) και (δ) εδώ και εδώ

Grosrouvre · #202

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 57
Γράφτηκε:
Για τα υπόλοιπα χρειάζεται νομίζω και η γνώση της συνέχειας της πρώτης παραγώγου της f.
Grosrouvre Δημοσιεύσεις: 209Εγγραφή: Τρί. Ιούλ. 15, 2014 10:37 pm

Η συνέχεια της παραγώγου δεν χρειάζεται.
Στο δ) πρέπει να προστεθεί ότι τα τρία σημεία δεν ταυτίζονται γιατί έτσι όπως είναι είναι τετριμένο.

Ζητώ τη συνέχεια της πρώτης παραγώγου, για το ερώτημα β) της άσκησης.

#203

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 54 (ρυθμός μεταβολής)

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)= \left\{\begin{matrix} f\left ( 27-12x \right ) &, & x<2\\ f\left ( 11-x^3 \right )& ,& x\geq 2 \end{matrix}\right.}$ .

α) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο .
β) Αν είναι $\displaystyle{f(3)=f'(3)= - \frac{1}{4}}$ να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο $\displaystyle{{\rm B}= (2, g(2))}$ .
γ) Σημείο $\Sigma(x, y), \;\; x>0, \;\; y\geq 0$ κινείται επί της προηγούμενης ευθείας και πλησιάζει τον άξονα με ρυθμό $\displaystyle{1 \; {\rm cm/sec}}$ . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ελάχιστης απόστασης $\displaystyle{\Sigma {\rm O}}$ τη χρονική κατά την οποία το $\Sigma$ διέρχεται από το σημείο με τεταγμένη .

ΛΥΣΗ

α) Σύμφωνα με την υπόθεση υπάρχει και είναι $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(3)}{x-3}={f}'(3)$ .

Τώρα για x<2

είναι

$\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(27-12x)-f(3)}{x-2}=-12\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(27-12x)-f(3)}{24-12x}=$

$=-12\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(27-12x)-f(3)}{(27-12x)-3}\underset{\begin{smallmatrix} x\to 2 \\ u\to 3 \end{smallmatrix}}{\overset{u=27-12x}{\mathop{=}}}\,-12\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(u)-f(3)}{u-3}=-12{f}'(3)$

Ακόμη για x>2

$\begin{matrix} & \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(11-{{x}^{3}})-f(3)}{x-2}= \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(11-{{x}^{3}})-f(3)}{(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)}\cdot ({{x}^{2}}+2x+4)= \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(11-{{x}^{3}})-f(3)}{{{x}^{3}}-8}\cdot ({{x}^{2}}+2x+4)= \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(11-{{x}^{3}})-f(3)}{(11-{{x}^{3}})-3}\cdot ({{x}^{2}}+2x+4)=-12{f}'(3) \\ \end{matrix}$

γιατί $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(11-{{x}^{3}})-f(3)}{(11-{{x}^{3}})-3}\underset{\begin{smallmatrix} x\to 2 \\ u\to 3 \end{smallmatrix}}{\overset{u=11-{{x}^{3}}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(u)-f(3)}{u-3}={f}'(3)$

άρα η

παραγωγίσιμη στο ${{x}_{0}}=2$ με {g}'(2)=-12{f}'(3)

β) Αφού $\displaystyle{f(3)=f'(3)= - \frac{1}{4}}$ θα είναι ${g}'(2)=(-12)(-\frac{1}{4})=3$ και $g(2)=f(3)=-\frac{1}{4}$

επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης της

στο σημείο $\displaystyle{{\rm B}= (2, g(2))}$ είναι

$y-\left( -\frac{1}{4} \right)=3(x-2)\Leftrightarrow y=3x-\frac{25}{4}$

γ) Η απόσταση $\Sigma \text{O=d=}\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}},\,\,\,x,\,y>0$ και επειδή

$y=3x-\frac{25}{4}\Leftrightarrow 3x=y+\frac{25}{4}\Leftrightarrow x=\frac{4y+25}{12}$ είναι

$\Sigma \text{O=d=}\sqrt{{{\left( \frac{4y+25}{12} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}},\,\,\,\,y>0$ και επειδή το μέγεθος

μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου

με ρυθμό {y}'(t)=-1

αφού το μέγεθος μικραίνει επειδή πλησιάζει την αρχή των αξόνων θα είναι

$\text{d(t)=}\sqrt{{{\left( \frac{4y(t)+25}{12} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}(t)}$ και θέλουμε το ${d}'({{t}_{0}})$ όταν $y({{t}_{0}})=0$ .

Παραγωγίζοντας προκύπτει ότι:

$\begin{matrix} & \text{{d}'(t)=}\frac{{{\left( {{\left( \frac{4y(t)+25}{12} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}(t) \right)}^{\prime }}}{2d(t)}=\frac{2\left( \frac{4y(t)+25}{12} \right)\cdot \frac{4{y}'(t)}{12}+2y(t){y}'(t)}{2d(t)} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overset{{y}'(t)=-1}{\mathop{=}}\,-\frac{5y(t)+100}{144d(t)} \\ \end{matrix}$

τότε ${d}'({{t}_{0}})=-\frac{5y({{t}_{0}})+100}{144d({{t}_{0}})}$ και επειδή

$\text{d(}{{\text{t}}_{0}}\text{)=}\sqrt{{{\left( \frac{4y({{t}_{0}})+25}{12} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}({{t}_{0}})}=\frac{25}{12}$ είναι ${d}'({{t}_{0}})=-\frac{1}{3}$

...πιστεύω από πράξεις να πηγαμε καλά...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλη

Grosrouvre · #204

Grosrouvre έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 57
Γράφτηκε:
Για τα υπόλοιπα χρειάζεται νομίζω και η γνώση της συνέχειας της πρώτης παραγώγου της f.
Grosrouvre Δημοσιεύσεις: 209Εγγραφή: Τρί. Ιούλ. 15, 2014 10:37 pm

Η συνέχεια της παραγώγου δεν χρειάζεται.
Στο δ) πρέπει να προστεθεί ότι τα τρία σημεία δεν ταυτίζονται γιατί έτσι όπως είναι είναι τετριμένο.
Ζητώ τη συνέχεια της πρώτης παραγώγου, για το ερώτημα β) της άσκησης.

Για να μην μείνε μετέωρη η παραπάνω συζήτηση αναφορικά με την Άσκηση 57, ας συμπληρώσω ότι παραμένω στην προηγούμενη τοποθέτησή μου αναφορικά με τους στόχους και τις επιδιώξεις του συγκεκριμένου φακέλου.

Φυσικά, όντως η παραδοχή της συνέχειας της πρώτης παραγώγου είναι περιττή, λόγω του θεωρήματος Darboux.

viewtopic.php?f=61&t=2501

Και όχι μόνον.

erxmer · #205

ΑΣΚΗΣΗ 58

Δίνεται συνάρτηση $f:R \to R$ , παραγωγίσιμη, με f(0)=1

και

για κάθε $x \in R$ και a>0

1) Να δείξετε ότι f(x)=e^x-ax

2) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

3) Να δείξετε ότι η μεγαλύτερη τιμή του a>0

για την οποία ισχύει $e^x \geq ax$ ,
για κάθε $x \in R$ , είναι η a=e

4) Να δείξετε ότι 2f(x)<f(x+2015)+f(x-2015)

για κάθε $x \in R$

5) Αν για την τιμή του

του ερωτήματος 3, ισχύει: $f(x)+b^x \geq x+2$
για κάθε $x \in R$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{b=e^e}$

makisman · #206

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 58

Δίνεται συνάρτηση $f:R \to R$ , παραγωγίσιμη, με και
για κάθε $x\in R$ και

1) Να δείξετε ότι

2) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

3) Να δείξετε ότι η μεγαλύτερη τιμή του για την οποία ισχύει $e^x \geq ax$ ,
για κάθε $x \in R$ , είναι η

4) Να δείξετε ότι για κάθε $x \in R$

5) Αν για την τιμή του του ερωτήματος 3, ισχύει: $f(x)+b^x \geq x+2$
για κάθε $x \in R$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{b=e^e}$

1) Εστώ $F(x)=f(x)e^{-x}+axe^{-x},x\in R$

$F'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x)+a-ax=0$

άρα

σταθερή ,έστω $F(x)=c, c\in R$

για x=0

είναι

άρα

συνεπώς $F(x)=1\Rightarrow f(x)e^{-x}+axe^{-x}=1\Rightarrow f(x)=e^{x}-ax ,x\in R$

2) $f'(x)=e^{x}-a$

για x<lna

είναι

για

είναι

και

άρα $f(x)\geq f(lna)=a-alna$ ολικό ελάχιστο.

3) θεωρώ τη συνάρτηση g(a)=a-alna ,a>0

με

και η ζητόυμενη γίνεται $f(x)\geq g(a)$

και

γν αύξουσα στο (0,1]

με

και

γν φθίνουσα στο $[1,+\infty)$ με $g({1,+\infty))=(-\infty,1]$

η εξίσωση g(a)=0

στο

δεν έχει ρίζες ενώ στο $[1,+\infty)$ έχει μοναδική ρίζα το

(προφανής ρίζα ,

γν.μονότονη)

άρα για 0<a<e

είναι

άρα η $e^x\geq ax$ γίνεται $f(x)\geq 0$ και δεν μπορεί να πάρει την τιμή

για

είναι

και πάλι η $e^x\geq ax$ γίνεται $f(x)\geq 0$ και δεν μπορεί να πάρει την τιμή

για

είναι

και η $e^x\geq ax$ γίνεται $f(x)\geq 0$ η οποία ισχύει για κάθε $x\in R$ με f(1)=0

άρα

4) εφαρμόζωντας ΘΜΤ στα [x-2015,x]

και

,υπάρχουν $x_1\in (x-2015,x),x_2\in (x,2015+x)$ ώστε

$f'(x_1)=\frac{f(x)-f(x-2015)}{2015},f'(x_2)=\frac{f(2015+x)-f(x)}{2015}$ ,

όμως f''(x)=e^x

άρα

γν. αυξουσα άρα $x_1<x_2\Rightarrow f'(x_1)<f'(x_2)\Rightarrow$

$\frac{f(x)-f(x-2015)}{2015}<\frac{f(2015+x)-f(x)}{2015}\Rightarrow 2f(x)<f(x+2015)+f(x-2015)$

5) έστω $G(x)=e^x-ex+b^x-x-2, x\in R$ και G'(x)=e^x -e+b^xlnb -1

είναι $G(x)\geq 0=G(0)$ , οπότε G(0)=0

ελάχιστο της

και από Θ.Fermat $G'(0)=0 \Rightarrow lnb=e\Rightarrow b=e^e$

Tolaso J Kos · #207

Άσκηση 59 (από τις σημειώσεις του Ροδόλφου)

Δίδεται πολυώνυμο $P(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x+a_0$ για το οποίο ισχύει ότι $\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{a_k}{k+1}=0$ . Να δείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα του πολυωνύμου στο (0, 1)

.

Άσκηση 60 (από τις σημειώσεις του Ροδόλφου)

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f_\lambda(x)=\frac{x}{x^2+\lambda^2}, \;\; \lambda>0}$ . Δείξτε ότι τα σημεία στα οποία η

παρουσιάζει ακρότατα και καμπή εκτός του (0,0)

είναι κορυφές παραλληλογράμμου καθώς επίσης και ότι οι εφαπτομένες της C_f

στα σημεία που παρουσιάζει καμπή τέμνονται σε σταθερή υπερβολή.

raf616 · #208

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 59 (από τις σημειώσεις του Ροδόλφου)

Δίδεται πολυώνυμο $P(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x+a_0$ για το οποίο ισχύει ότι $\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{a_k}{k+1}=0$ . Να δείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα του πολυωνύμου στο .

Καλησπέρα Απόστολε! Όμορφη άσκηση!

Θεωρούμε το πολυώνμυο $Q(x) = \dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \dfrac{a_{n-1}}{n}x^n + ... + \dfrac{a_1}{2}x^2 + \dfrac{a_0}{1}x$ για το οποίο ισχύει Q'(x) = P(x)

.

Ισχύει Q(0) = 0

και $\displaystyle{Q(1) = \dfrac{a_n}{n+1} + \dfrac{a_{n-1}}{n} + ... + \dfrac{a_1}{2} + \dfrac{a_0}{1} = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{a_n}{k+1} = 0}$ .

Τώρα από Rolle(το

ως πολυώνυμο είναι συνεχής συνάρτηση στο [0, 1]

και παραγωγίσιμη στο (0,1)

) προκύπτει το ζητούμενο.

#209

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 59 (από τις σημειώσεις του Ροδόλφου)

Δίδεται πολυώνυμο $P(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x+a_0$ για το οποίο ισχύει ότι $\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{a_k}{k+1}=0$ . Να δείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα του πολυωνύμου στο .

Για την ιστορία, ας αναφερθεί ότι το θέμα αυτό το βρίσκουμε στο κλασικό βιβλίο του G.H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, ως ένα θέμα από το Mathematical Tripos του έτους 1929.

Tolaso J Kos · #210

matha έγραψε: Για την ιστορία, ας αναφερθεί ότι το θέμα αυτό το βρίσκουμε στο κλασικό βιβλίο του G.H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, ως ένα θέμα από το Mathematical Tripos του έτους 1929.

Θάνο, ευχαριστούμε για τις πληροφορίες.

ΈφηΚα · #211

Μπορεί κάποιο μέλος του

, να λύσει παρακαλώ πολύ, την άσκηση 57. Ευχαριστώ!

#212

ΈφηΚα έγραψε:Μπορεί κάποιο μέλος του , να λύσει παρακαλώ πολύ, την άσκηση 57. Ευχαριστώ!

ΑΣΚΗΣΗ 57

Έστω $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , με $\alpha <\beta$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση

, για την οποία ισχύουν $f(\alpha )>1$ και $f'(x)\neq 0$ , για κάθε $x\in [\alpha ,\beta ]$ . Αν τα σημεία $A(f(\alpha ),1)$ , B(1,2)

και $\Gamma (f(\beta ),0)$ είναι συνεθειακά, τότε:

α. Να δείξετε ότι $f(\beta )+1=2f(\alpha )$ .

β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$ .

γ. Να δείξετε ότι, υπάρχει μοναδικό $x_{0}\in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο, ώστε $5f(x_{0})=2f(\alpha )+3f(\beta )$ .

δ. Να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2},\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοια ώστε $\displaystyle \frac{3}{f'(\xi _{1})}+\frac{2}{f'(\xi _{2})}=\frac{5}{f'(\xi )}$ .

EDIT: Έγινε αλλαγή στα ερωτήματα γ,δ.

Πες μας τι σε δυσκολεύει. Το πρώτο ερώτημα είναι ένα απλό ερώτημα Β' Λυκείου. Τα γ,δ είναι στάνταρ ερωτήματα που συναντά κανείς σε όλα τα βοηθήματα. Όσον αφορά το β) ερώτημα νομίζω ότι με τα δεδομένα ως έχουν δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί από μαθητές (απαιτείται η ιδιότητα των ενδιάμεσων τιμών της παραγώγου, την οποία οι μαθητές δεν διδάσκονται).

ΈφηΚα · #213

Γεια σας κ. Θάνο, επειδή γράφω από κινητό θα είμαι σύντομη! Το πρώτο ερώτημα δε ξέρω πως να το διαχειριστώ και στο δεύτερο νομίζω, βγαίνει με darboux αλλά δεν είμαι σίγουρη.

Λάμπρος Μπαλός · #214

ΑΣΚΗΣΗ 61 (Από βιβλίο του Χρήστου Πατήλα)

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο

συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ με τις ιδιότητες :
$sin^{2}x+f'(tanx)=1$ , για κάθε $x \in (- \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2})$ και f(0)=0

.

Α) Να δείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο

.
Β) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της $C_{f}$ καθώς και το f(R)

.
Γ) Να δείξετε ότι $f^{-1}(x)=tanx$ , $x \in f(R)$ .
Δ) Να υπολογίσετε το $\int_{0}^{1}f(x)dx$ .
Ε) Να δείξετε ότι $f''(x)=-2x[f'(x)]^{2}$ , για κάθε $x \in R$ .
ΣΤ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_{h}$ , με $h(x)= \int_{1}^{x} [f'(t)]^{2} dt$ και τις ευθείες με εξισώσεις x=0

,

και

.

Λάμπρος Μπαλός · #215

ΈφηΚα έγραψε:Γεια σας κ. Θάνο, επειδή γράφω από κινητό θα είμαι σύντομη! Το πρώτο ερώτημα δε ξέρω πως να το διαχειριστώ και στο δεύτερο νομίζω, βγαίνει με darboux αλλά δεν είμαι σίγουρη.

Για το (α) απαίτησε τα διανύσματα.

και

να είναι παράλληλα . (ορίζουσα ίση με μηδέν)
Για το (β) όχι Darboux, είναι εκτός φακέλου. Θεώρησε την

συνεχή. Ο θεματοδότης δεν βλέπω να το έχει σκοπό.
Στο (γ) με ΘΜΕΤ-ΘΕΤ ( ή και Bolzano ακόμη)
Στο (δ) με τρία ΘΜΤ σε κατάλληλα διαστήματα. Το ένα μπορεί να το έχεις ήδη κάνει στο (β).

Tolaso J Kos · #216

Άσκηση 62 (προέκυψε από ένα θέμα του Θάνου εδώ στο )

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\tan x , \; x \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right)$ .

Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντιστρόφου.
Δεδομένου ότι η $f^{-1}$ είναι συνεχής να δείξετε ότι είναι και παραγωγίσιμη με παράγωγο $\displaystyle{(f^{-1})'(x)=\frac{1}{1+x^2}, \; x \in [0, +\infty)}$ .
Να δείξετε ότι $\displaystyle{f^{-1}(x)+f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}, \;\; x > 0}$
Εάν τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\mathcal{J}=\int_{1/a}^{a} \frac{f^{-1}(x)}{x}\, {\rm d}x}$

#217

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 62 (προέκυψε από ένα θέμα του Θάνου εδώ στο )

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\tan x , \; x \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right)$ .

Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντιστρόφου.

Δεδομένου ότι η $f^{-1}$ είναι συνεχής να δείξετε ότι είναι και παραγωγίσιμη με παράγωγο $\displaystyle{(f^{-1})'(x)=\frac{1}{1+x^2}, \; x \in [0, +\infty)}$ .

Να δείξετε ότι $\displaystyle{f^{-1}(x)+f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}, \;\; x > 0}$

Εάν τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\mathcal{J}=\int_{1/a}^{a} \frac{f^{-1}(x)}{x}\, {\rm d}x}$

...Καλησπέρα

με μία αντιμετώπιση στο 62...

i) H $f(x)=\tan x , \; x \in \left[0, \frac{\pi}{2} \right)$ είναι παραγωγίσιμη στο $\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right)$ με

${f}'(x)=1+{{\tan }^{2}}x>0,\,\,,\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right)$ άρα είναι γνήσια αύξουσα στο $\Delta =\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right)$

άρα και '1-1'

επομένως αντιστρέφεται με ${{f}^{-1}}:f(\Delta )\to \Delta$ και επειδή θα είναι και συνεχής

$f(\Delta )=[f(0),\,\,\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x))$ με

$\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{\frac{\pi }{2}}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{\cos x}\sin x \right)=+\infty$

άρα είναι ${{f}^{-1}}:\,[0,\,\,+\infty )\to [0,\,\,\frac{\pi }{2})$

ii) Θέλουμε το $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{-1}}(x)-{{f}^{-1}}({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{-1}}(x)-{{f}^{-1}}({{x}_{0}})}{f({{f}^{-1}}(x))-f({{f}^{-1}}({{x}_{0}}))}$

$\underset{\begin{smallmatrix} x\to {{x}_{0}} \\ u\to {{f}^{-1}}({{x}_{0}})={{u}_{0}} \end{smallmatrix}}{\overset{u={{f}^{-1}}(x)}{\mathop{=}}}\,\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{u-{{u}_{0}}}{f(u)-f({{u}_{0}})}=\underset{u\to {{u}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{f(u)-f({{u}_{0}})}{u-{{u}_{0}}}}=\frac{1}{{f}'({{u}_{0}})}$

άρα η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη με $({{f}^{-1}}{)}'(x)=\frac{1}{{f}'({{f}^{-1}}(x))},\,\,\,x\in [0,\,\,+\infty )$ και επειδή

${f}'(x)=1+{{f}^{2}}(x),\,\,,\ x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right)$ με όπου

το ${{f}^{-1}}(x),\,\,\ x\in \left[ 0,\,\,+\infty \right)$ προκύπτει ότι

${f}'({{f}^{-1}}(x))=1+{{f}^{2}}({{f}^{-1}}(x))=1+{{x}^{2}},\ x\in \left[ 0,\,\,\,+\infty \right)$ άρα είναι $({{f}^{-1}}{)}'(x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}},\,\,\,x\in [0,\,\,+\infty )$

iii) Θεωρώντας την $g(x)={{f}^{-1}}(x)+{{f}^{-1}}\left( \frac{1}{x} \right),\ \ x>0$ είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)={{\left( {{f}^{-1}}(x)+{{f}^{-1}}\left( \frac{1}{x} \right) \right)}^{\prime }}={{\left( {{f}^{-1}} \right)}^{\prime }}(x)+{{\left( {{f}^{-1}} \right)}^{\prime }}(\frac{1}{x}){{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=$

$=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}-\frac{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}\cdot \left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=0,\,\,\,x>0$

επομένως η

είναι σταθερή στο $(0,\,\,\,+\infty )$ δηλαδή είναι ${{f}^{-1}}(x)+{{f}^{-1}}\left( \frac{1}{x} \right)=c,\ \ x>0$ (1).

Τώρα επειδή $f(\frac{\pi }{4})=1\Leftrightarrow \frac{\pi }{4}={{f}^{-1}}(1)$ θα ισχύει από (1)

${{f}^{-1}}(1)+{{f}^{-1}}\left( 1 \right)=c\Leftrightarrow 2\frac{\pi }{4}=c\Leftrightarrow c=\frac{\pi }{2}$

άρα $\displaystyle{f^{-1}(x)+f^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}, \;\; x > 0}$ .

iv) Τώρα το $\displaystyle{\mathcal{J}=\int_{1/a}^{a} \frac{f^{-1}(x)}{x}\, {\rm d}x}$ με $u=\frac{1}{x}$ είναι $u=-\frac{1}{{{x}^{2}}}dx$ και

$x=\frac{1}{\alpha }\to u=\alpha ,\,\,x=\alpha \to u=\frac{1}{\alpha }$ άρα

$\mathcal{J}=-\int\limits_{1/a}^{a}{\frac{{{f}^{-1}}(x)}{\frac{1}{x}}}\left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x=-\int\limits_{\alpha }^{\frac{1}{\alpha }}{\frac{{{f}^{-1}}(\frac{1}{u})}{u}}\text{du=}\int\limits_{\frac{1}{\alpha }}^{\alpha }{\frac{{{f}^{-1}}(\frac{1}{u})}{u}}\text{du}$ και λόγω (iii)

${{f}^{-1}}\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{\pi }{2}-{{f}^{-1}}(x),\ \ x>0$ θα είναι

$\mathcal{J}=\int\limits_{\frac{1}{\alpha }}^{\alpha }{\frac{\frac{\pi }{2}-{{f}^{-1}}(x)}{x}}\text{dx=}\frac{\pi }{2}\int\limits_{\frac{1}{\alpha }}^{\alpha }{\frac{1}{x}}\text{dx-}\int\limits_{\frac{1}{\alpha }}^{\alpha }{\frac{{{f}^{-1}}(x)}{x}}\text{dx=}\frac{\pi }{2}\left[ \ln x \right]_{\frac{1}{\alpha }}^{\alpha }-\mathcal{J}$ άρα $\text{2J=}\frac{\pi }{2}\cdot 2\ln \alpha \Leftrightarrow J=\frac{\pi }{2}\ln \alpha$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Α.Αποστόλου · #218

matha έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 57

Έστω $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , με $\alpha <\beta$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύουν $f(\alpha )>1$ και $f'(x)\neq 0$ , για κάθε $x\in [\alpha ,\beta ]$ . Αν τα σημεία $A(f(\alpha ),1)$ , και $\Gamma (f(\beta ),0)$ είναι συνεθειακά, τότε:

α. Να δείξετε ότι $f(\beta )+1=2f(\alpha )$ .
β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$ .
γ. Να δείξετε ότι, υπάρχει μοναδικό $x_{0}\in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο, ώστε $5f(x_{0})=2f(\alpha )+3f(\beta )$ .
δ. Να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2},\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοια ώστε $\displaystyle \frac{3}{f'(\xi _{1})}+\frac{2}{f'(\xi _{2})}=\frac{5}{f'(\xi )}$ .

για το ερώτημα (β)

από το (α ερώτημα) $f(\beta )+1=2f(\alpha ) \Leftrightarrow f(\beta )-f(\alpha )=f(\alpha )-1$ το δεξί μέλος θετικό απο υπόθεση, οπότε $f(\beta )>f(\alpha )$

Η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα, καθότι $f'(x) \neq 0$ (απο το οποίο επίσης συμπεραίνεται ότι η f(x)

δεν είναι σταθερή)
Επομένως τα σημεία των πιθανών της ακροτάτων είναι τα άκρα του $\displaystyle{ [\alpha,\beta ]}$ .
Δεν είναι σταθερή και δεν έχει άλλα ακρότατα, άρα είναι μοναδικά. (αυτό το βρίσκω περιττό να διατυπωθεί)

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο $\displaystyle{ [\alpha,\beta ]}$ ως παραγωγίσιμη, οπότε απο θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής η συνάρτηση θα πάρει μια μέγιστη τιμή και μια ελάχιστη. Εφ'όσον ισχύει $f(\beta )>f(\alpha )$ , έχει προφανώς ολικό ελάχιστο στο αριστερό άκρο και ολικό μέγιστο στο δεξί.
δηλαδή είναι γνησίως αύξουσα.

Συμπλήρωση κατανόησης,αν είναι απλώς μονότονη τότε υπάρχουν x_1,x_2

τέτοια ώστε $f(x_1) \leq f(x_2)$
Οπότε απο το θεώρημα Rolle υπάρχει $x_0 \in (x_1,x_2)$ τέτοιο ώστε f'(x_0)=0

, άτοπο.

Επομένως η f(x)

είναι γνησίως αύξουσα.

(*)Ερώτηση προς βαθμολογητές πανελληνίων. Αν διαβάσετε συνεχής και "1-1", άρα γνησίως μονότοτονη, περιμένετε κάτι ακόμα ή είναι αρκετό;

#219

Α.Αποστόλου έγραψε:
matha έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 57

Έστω $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , με $\alpha <\beta$ και η παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύουν $f(\alpha )>1$ και $f'(x)\neq 0$ , για κάθε $x\in [\alpha ,\beta ]$ . Αν τα σημεία $A(f(\alpha ),1)$ , και $\Gamma (f(\beta ),0)$ είναι συνεθειακά, τότε:

α. Να δείξετε ότι $f(\beta )+1=2f(\alpha )$ .
β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[\alpha ,\beta ]$ .
γ. Να δείξετε ότι, υπάρχει μοναδικό $x_{0}\in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο, ώστε $5f(x_{0})=2f(\alpha )+3f(\beta )$ .
δ. Να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2},\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοια ώστε $\displaystyle \frac{3}{f'(\xi _{1})}+\frac{2}{f'(\xi _{2})}=\frac{5}{f'(\xi )}$ .
για το ερώτημα (β)

από το (α ερώτημα) $f(\beta )+1=2f(\alpha ) \Leftrightarrow f(\beta )-f(\alpha )=f(\alpha )-1$ το δεξί μέλος θετικό απο υπόθεση, οπότε $f(\beta )>f(\alpha )$

Η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα, καθότι $f'(x) \neq 0$ (απο το οποίο επίσης συμπεραίνεται ότι η δεν είναι σταθερή)
Επομένως τα σημεία των πιθανών της ακροτάτων είναι τα άκρα του $\displaystyle{ [\alpha,\beta ]}$ .
Δεν είναι σταθερή και δεν έχει άλλα ακρότατα, άρα είναι μοναδικά. (αυτό το βρίσκω περιττό να διατυπωθεί)

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο $\displaystyle{ [\alpha,\beta ]}$ ως παραγωγίσιμη, οπότε απο θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής η συνάρτηση θα πάρει μια μέγιστη τιμή και μια ελάχιστη. Εφ'όσον ισχύει $f(\beta )>f(\alpha )$ , έχει προφανώς ολικό ελάχιστο στο αριστερό άκρο και ολικό μέγιστο στο δεξί.
δηλαδή είναι γνησίως αύξουσα.

Συμπλήρωση κατανόησης,αν είναι απλώς μονότονη τότε υπάρχουν τέτοια ώστε $f(x_1) \leq f(x_2)$
Οπότε απο το θεώρημα Rolle υπάρχει $x_0 \in (x_1,x_2)$ τέτοιο ώστε , άτοπο.

Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα. Γιατί;; Πως προκύπτει το " γνησίως αύξουσα";;

(*)Ερώτηση προς βαθμολογητές πανελληνίων. Αν διαβάσετε συνεχής και "1-1", άρα γνησίως μονότοτονη, περιμένετε κάτι ακόμα ή είναι αρκετό;

Α.Αποστόλου · #220

Αν αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο του διαστήματος,
πρέπει να έχουμε τοπικό ακρότατο . Αυτό το καλύψαμε.

Άρα είναι μονότονη.

Είναι γνησίως μονότονη, το καλύψαμε και αυτό με το Rolle (με μια πιο "ελεύθερη" διατύπωση, ώστε να μην είναι πλήρως μασημένη τροφή)

rek2 έγραψε: Γιατί;; Πως προκύπτει το " γνησίως αύξουσα";;

Εφόσον $\alpha < \beta$ με $f(\alpha ) < f(\beta )$

Μάλιστα, θεωρώ ότι ήδη γράφω πολλά, αφού απο το σχόλιο στην σελίδα 261 τα μοναδικά κρίσιμα σημεία της δοσμένης f(x)

είναι τα άκρα του διαστήματος. Απο το σχόλιο στην σελίδα 264 δεν χρειάζεται να ξαναναφέρω το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.

Να ζητάμε απόδειξη ότι παραγωγίσιμη συνάρτηση χωρίς εσωτερικά κρίσιμα σημεία -για την οποία προκύπτει εύκολα ότι είναι "1-1"- πως είναι γνησίως μονότονη,
μάλλον είναι πλεονασμός.
Η παράγωγος διατηρεί σταθερό πρόσημο (της δοσμένης συνάρτησης πάντα)
Έχουμε απο Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε: $f'(x_0)=\frac{ f(\beta )-f(\alpha ) }{b-a} > 0$
Έστω ότι υπάρχει $x_1 >\alpha , x_{1} \in (a,b)$ με $f(x_1 ) <f(\alpha )$
τότε ξανά απο Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχει $x_2 \in (a,x_{1})$ τέτοιο ώστε $f'(x_2)=\frac{ f(x_{1} )-f(\alpha ) }{χ_{1}-a} < 0$

Τότε για κάποιο $\delta >0$ στο $(x_{2} - \delta, x_{0} +\delta) \subseteq (a,b)$ (δεν έχει σημασία η διάταξη) η παράγωγος δεν διατηρεί πρόσημο.
απο το θεώρημα σελ.262 σε κάποιο $x \in (x_{2} - \delta, x_{0} +\delta)$ η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο.
Καθώς είναι παραγωγίσιμη παντού, για αυτό το

θα μηδενίστεί η παράγωγος, άτοπο.

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Μέλη σε σύνδεση