Ακολουθία ολοκληρωμάτων

Καραδήμας · #1

Δίνεται $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ συνεχής. Να βρεθεί το $\displaystyle{\lim_{n\to\infty }\int_a^b\frac{f(x)}{3+2\cos (nx)}\,dx.}$

#2

Χμ ... ζόρικο θέμα .. δίνω μια κάποια προσέγγιση ...

Η συνάρτηση $\displaystyle{\varphi (x) = {\cos ^m}(x),{\text{ }}m = 1,2,3,..}$ αναπτύσσεται σε σειρά συνημίτονων διότι είναι άρτια. Μας ενδιαφέρει ο σταθερός όρος.

Δηλαδή αν $\displaystyle{\varphi (x) = {\cos ^m}(x) = {a_0} + {a_1}\cos (x) + {a_2}\cos (2x) + {a_3}\cos (3x) + ...}$ μας ενδιαφέρει ο $\displaystyle{{a_0}}$ . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
----------------------------
Αν $\displaystyle{m = 2k + 1:}$ περιττός θα έχουμε $\displaystyle{\int\limits_0^\pi {\varphi \left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^{2k + 1}}(x)dx} = \int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^{2k + 1}}(x)dx} + \int\limits_{\pi /2}^\pi {{{\cos }^{2k + 1}}(u)du} = \mathop = \limits^{u = \pi - x} = }$
$\displaystyle{ = \int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^{2 \cdot k + 1}}(x)dx} - \int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^{2 \cdot k + 1}}(x)dx} = 0}$ , οπότε $\displaystyle{\int\limits_0^\pi {\left( {{a_0} + {a_1}\cos (x) + {a_2}\cos (2x) + ...} \right)dx} = .. = \pi {a_0} = 0 \Rightarrow {a_0} = 0}$ .
----------------------------
Αν $\displaystyle{m = 2k:}$ άρτιος θα έχουμε $\displaystyle{\int\limits_0^\pi {\varphi \left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^{2k}}(x)dx} = \int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^{2k}}(x)dx} + \int\limits_{\pi /2}^\pi {{{\cos }^{2k}}(u)du} = \mathop = \limits^{u = \pi - x} = }$
$\displaystyle{ = \int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^{2k}}(x)dx} + \int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^{2k}}(x)dx} = 2\int\limits_0^{\pi /2} {{{\cos }^{2k}}(x)dx} = \mathop = \limits^{\cos (x) = u} = 2\int\limits_0^1 {\frac{{{u^{2k}}}}{{\sqrt {1 - {u^2}} }}du} = \mathop = \limits^{u = \sqrt y } = \int\limits_0^1 {\frac{{{y^k}}}{{\sqrt y \sqrt {1 - y} }}dy = } }$

$\displaystyle{ = \int\limits_0^1 {{y^{k + \frac{1}{2} - 1}}{{\left( {1 - y} \right)}^{\frac{1}{2} - 1}}dy} = B\left( {k + \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right) = \frac{{\Gamma \left( {k + \frac{1}{2}} \right)\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( {\kappa + 1} \right)}} = \frac{{\dfrac{{(2k)!}}{{{4^k}k!}}\sqrt \pi \sqrt \pi }}{{\kappa !}} = \frac{{\pi (2k)!}}{{{4^k}{{\left( {k!} \right)}^2}}}}$
Όμως $\displaystyle{\int\limits_0^\pi {\left( {{a_0} + {a_1}\cos (x) + {a_2}\cos (2x) + ... + {a_{2k}}\cos (2kx)} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {{a_0}dx} = \pi {a_0}}$ που σημαίνει $\displaystyle{{a_0} = \frac{{(2k)!}}{{{4^k}{{\left( {k!} \right)}^2}}}}$
----------------------------
Άρα αν $\displaystyle{\varphi (x) = {\cos ^m}(x) = {a_0} + {a_1}\cos (x) + {a_2}\cos (2x) + {a_3}\cos (2x) + ... \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_0} = 0{\text{ if }}m = 2k + 1} \\ {{a_0} = \dfrac{{(2k)!}}{{{4^k}{{\left( {k!} \right)}^2}}}{\text{ if }}m = 2k} \\ \end{array} } \right\}}$
----------------------------
Επίσης από το λήμμα Riemann Lebesgue έχουμε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_a^b {f(x)\cos (nx)dx} = 0}$
----------------------------
Τότε $\displaystyle{\int\limits_a^b {\frac{{f(x)}}{{3 + 2\cos (nx)}}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_a^b {\frac{{f(x)}}{{1 + \frac{2}{3}\cos (nx)}}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_a^b {f(x)\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {{{( - 1)}^k}\frac{{{2^k}}}{{{3^k}}}{{\cos }^k}(nx)} \right)} dx} = \frac{1}{3}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {{{( - 1)}^k}\frac{{{2^k}}}{{{3^k}}}\int\limits_a^b {f(x){{\cos }^k}(nx)dx} } \right)} }$ ,
οπότε αν $\displaystyle{k = 2m + 1:}$ περιττός θα έχουμε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_a^b {f(x){{\cos }^k}(nx)dx} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_a^b {f(x)\left( {{a_1}\cos (nx) + {a_2}\cos (2nx) + {a_3}\cos (3nx) + ...} \right)dx} = 0}$
και αν $\displaystyle{k = 2m:}$ άρτιος $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_a^b {f(x){{\cos }^k}(nx)dx} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_a^b {f(x)\left( {{a_0} + {a_1}\cos (nx) + {a_2}\cos (2nx) + ...} \right)dx} = {a_0}\int\limits_a^b {f(x)dx} = \frac{{(2m)!}}{{{4^m}{{\left( {m!} \right)}^2}}}\int\limits_a^b {f(x)dx} }$
----------------------------
Τελικά $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_a^b {\frac{{f(x)}}{{3 + 2\cos (nx)}}dx} = \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {{{( - 1)}^k}\frac{{{2^k}}}{{{3^k}}}\int\limits_a^b {f(x){{\cos }^k}(nx)dx} } \right)} = \mathop = \limits^{k = 2m} = \frac{1}{3}\sum\limits_{m = 0}^\infty {\left( {{{( - 1)}^{2 \cdot m}}\frac{{{2^{2 \cdot m}}}}{{{3^{2 \cdot m}}}}\frac{{(2m)!}}{{{4^m}{{\left( {m!} \right)}^2}}}\int\limits_a^b {f(x)dx} } \right)} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{3}\int\limits_a^b {f(x)dx} \sum\limits_{m = 0}^\infty {\left( {\frac{{(2m)!}}{{{9^m}{{\left( {m!} \right)}^2}}}} \right)} }$ . Όμως $\displaystyle{\sum\limits_{m = 0}^\infty {\left( {\frac{{(2m)!}}{{{{\left( {m!} \right)}^2}}}{x^m}} \right)} = \frac{1}{{\sqrt {1 - 4x} }}}$ (θεωρείται γνωστό). Συνεπώς

$\displaystyle{\frac{1}{3}\int\limits_a^b {f(x)dx} \sum\limits_{m = 0}^\infty {\left( {\frac{{(2 \cdot m)!}}{{{9^m} \cdot {{\left( {m!} \right)}^2}}}} \right)} = \frac{1}{3}\int\limits_a^b {f(x)dx} \frac{1}{{\sqrt {1 - \frac{4}{9}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\int\limits_a^b {f(x)dx} }$ , δηλαδή $\displaystyle{\boxed{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_a^b {\frac{{f(x)}}{{3 + 2\cos (nx)}}dx} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\int\limits_a^b {f(x)dx} }}$

Καραδήμας · #3

Εξαιρετικός, πάρα πολύ ωραίο. Θα προσέγγιζα την

με κλιμακωτές και θα αναγόμουν σε ολοκληρώματα $\displaystyle{\int_c^d\frac{dx}{3+2\cos (nx)}\,dx\to\frac{d-c}{\sqrt{5}}.}$

#4

Καραδήμας έγραψε:Εξαιρετικός, πάρα πολύ ωραίο. Θα προσέγγιζα την με κλιμακωτές και θα αναγόμουν σε ολοκληρώματα $\displaystyle{\int_c^d\frac{dx}{3+2\cos (nx)}\,dx\to\frac{d-c}{\sqrt{5}}.}$

Θα μπορούσες να γίνεις κάπως αναλυτικότερος στην παρουσίαση της λύσης σου αν δεν κάνει κόπο;

Καραδήμας · #5

Πάρε διάστημα [c,d]

. Γράφουμε $\displaystyle{\int_c^d\frac{dx}{3+2\cos nx}=\frac{1}{n}\int_{nc}^{nd}\frac{dx}{3+2\cos x}.}$ Τώρα, υπολογίζουμε το $\displaystyle{\int_0^{nd}\frac{dx}{3+2\cos x}.}$ Αφού θα διαιρέσεις με

μετά, μπορείς να υποθέσεις ότι $nd=t_n\pi$ για κάποιον φυσικό t_n

. Τότε $\displaystyle{\int_0^{nd}\frac{dx}{3+2\cos x}=t_n\int_0^{\pi }\frac{dx}{3+2\cos x}.}$ Για να το υπολογίσεις αυτό κάνεις αλλαγή μεταβλητής $y=\tan \frac{x}{2}$ , οπότε $\cos x=\frac{1-y^2}{1+y^2}$ και $dx=\frac{2dy}{1+y^2}$ . Τα βάζεις αυτά μέσα κι έχεις $\displaystyle{\int_0^{\pi }\frac{dx}{3+2\cos x}=\int_0^{\infty }\frac{2dy}{5+y^2}=\frac{\pi }{\sqrt{5}}.}$ Πάει να πει, $\displaystyle{\int_0^{nd}\frac{dx}{3+2\cos x}=\frac{t_n\pi }{\sqrt{5}}.}$ Το $t_n=\frac{nd}{\pi }$ και παίρνεις αυτό που θέλεις.

Τώρα το συμπέρασμα ισχύει για κλιμακωτή συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\sum_{k=1}^ma_k\chi_{[x_{k-1},x_k]}(x)$ όπου $\{ a=x_0<x_1<\cdots <x_m=b\}$ διαμέριση του [a,b]

(από τη γραμμικότητα της ακολουθίας μας ως προς

και από τη γραμμικότητα της απάντησης). Για να τελειώσεις προσεγγίζεις ομοιόμορφα τη συνεχή σου

με κλιμακωτές. Πάλι δες ότι αν $\| f-g\|_{\infty }\leq\epsilon$ τότε $\left |\int_a^b\frac{f(x)}{3+2\cos nx}\,dx-\int_a^b\frac{g(x)}{3+2\cos nx}\,dx\right |\leq\epsilon$ αφού $3+2\cos nx\geq 1$ .

#6

Βασικά, το πρόβλημά μου ήταν κάπως πιο συγκεκριμένο και έπρεπε να το προσδιορίσω...

Η ομοιόμορφη προσέγγιση, που τουλάχιστον εγώ γνωρίζω, της

από κλιμακωτές, και η οποία υπάρχει λόγω του ότι η

είναι φραγμένη (αλλιώς εν γένει είναι κατά σημείο) είναι η

$\displaystyle\sum_{m=1}^{n2^{n}}\frac{m-1}{2^{n}}X_{E_{m,n}}^{[a,b]}(x)+nX_{E_{n2^{n}+1,n}}^{[a,b]}(x):=f_{n}\stackrel{o\mu}{\rightarrow}f$ , όπου

$E_{m,n}=\{x\in[a,b]:\frac{m-1}{2^{n}}\leq f(x)\leq\frac{m}{2^{n}}\}$ , $n\in\mathbb{N}$ , $m=1,\ldots,n2^{n}$ , και

$E_{n2^{n}+1,n}=\{x\in[a,b]:f(x)\geq n\}$ .

Τα $E_{m,n}$ , $E_{n2^{n}+1,n}$ , όμως μπορεί να είναι αρκετά περίεργα και το ολοκλήρωμα που θα πρέπει να πάρουμε στις $\frac{f_{n}}{3+2\cos(\lambda x)}$ είναι Riemann και όχι Lebesque..πώς προσπερνάει κανείς αυτό το κώλυμα..;

Ένυγουέι..ευχαριστώ πάντως

Καραδήμας · #7

Αυτή η

που σου δώσανε είναι συνεχής΄στο [a,b]

, πάει να πει ομοιόμορφα συνεχής. Κόβεις σε

ίσα τμήματα το [a,b]

και είσαι εντάξει: βάζεις $a_k=f(x_{k-1})$ . Πού πήγες κι έμπλεξες, στα βιβλία της θεωρίας μέτρου? Οι

οι συνεχείς προσεγγίζονται κι έτσι, μάλιστα για κάποια προβλήματα βολεύει (καλό και το Weierstrass, αλλά όχι παντού).

#8

Πω πω...το ξεφτύλισα...έχεις δίκιο, καμμιά φορά καίω κάρβουνο..Η κατάσταση ήταν πολύ πιο απλή

Θένκσσσσσ

Ακολουθία ολοκληρωμάτων

Ακολουθία ολοκληρωμάτων

Re: Ακολουθία ολοκληρωμάτων

Re: Ακολουθία ολοκληρωμάτων

Re: Ακολουθία ολοκληρωμάτων

Re: Ακολουθία ολοκληρωμάτων

Re: Ακολουθία ολοκληρωμάτων

Re: Ακολουθία ολοκληρωμάτων

Re: Ακολουθία ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση