Ισοσκελές τρίγωνο

lowbaper92 · #1

Αν α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει:
$\displaystyle{ \frac{\gamma -\alpha }{1+\alpha \, \gamma }+\frac{\beta -\gamma }{1+\beta \, \gamma }+\frac{\alpha -\beta }{1+\alpha\, \beta }=0 }$
να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Υπάρχει λύση με τριγωνομετρία Β Λυκείου(με τύπους που μπορεί να είναι εκτός ύλης αλλά εντός βιβλίου)
και λίγες πράξεις.
Αυτή η λύση χρειάζεται μόνο ότι είναι θετικά.

#3

lowbaper92 έγραψε:Αν α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει:
$\displaystyle{ \frac{\gamma -\alpha }{1+\alpha \, \gamma }+\frac{\beta -\gamma }{1+\beta \, \gamma }+\frac{\alpha -\beta }{1+\alpha\, \beta }=0 }$
να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Η σχέση γράφεται:

$\dfrac{{(a - b)(a - c)(c - b)}}{{(1 + ab)(1 + ac)(1 + bc)}} = 0$ και το ζητούμενο προφανές

Ν.

#4

lowbaper92 έγραψε:Αν α,β,γ είναι πλευρές τριγώνου και ισχύει:
$\displaystyle{ \frac{\gamma -\alpha }{1+\alpha \, \gamma }+\frac{\beta -\gamma }{1+\beta \, \gamma }+\frac{\alpha -\beta }{1+\alpha\, \beta }=0 }$
να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Ας μου επιτραπεί να συμπληρώσω κάτι που φωτίζει ένα συχνό τέχνασμα στα κλάσματα.

Όπως υπέδειξε ο Νίκος στην τελική απάντηση ,με μια προσθετο-αφαίρεση του α στο δεύτερο κλάσμα , παίρνουμε :

$\displaystyle \frac{{\alpha - \beta }}{{1 + \alpha {\mkern 1mu} \beta }} + \frac{{\beta - \gamma }}{{1 + \beta {\mkern 1mu} \gamma }} + \frac{{\gamma - \alpha }}{{1 + \alpha {\mkern 1mu} \gamma }} = \frac{{\alpha - \beta }}{{1 + \alpha {\mkern 1mu} \beta }} + \frac{{(\beta - \alpha) + (\alpha - \gamma )}}{{1 + \beta {\mkern 1mu} \gamma }} + \frac{{\gamma - \alpha }}{{1 + \alpha {\mkern 1mu} \gamma }} = \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\alpha - \beta }}{{1 + \alpha {\mkern 1mu} \beta }} - \frac{{\alpha - \beta }}{{1 + {\mkern 1mu} \beta \gamma }} + \frac{{\alpha - \gamma }}{{1 + \beta {\mkern 1mu} \gamma }} + \frac{{\gamma - \alpha }}{{1 + \alpha {\mkern 1mu} \gamma }} = (\alpha - \beta )\frac{{\beta (\gamma - \alpha )}}{{(1 + \alpha {\mkern 1mu} \beta )(1 + {\mkern 1mu} \beta \gamma )}} + (\alpha - \gamma )\frac{{\gamma (\alpha - \beta )}}{{(1 + \beta \gamma )(1 + {\mkern 1mu} \gamma \alpha )}} = \\ (\alpha - \beta )(\gamma - \alpha )\left( {\frac{\beta }{{(1 + \alpha {\mkern 1mu} \beta )(1 + {\mkern 1mu} \beta \gamma )}} - \frac{\gamma }{{(1 + \beta \gamma )(1 + {\mkern 1mu} \gamma \alpha )}}} \right) = (\alpha - \beta )(\gamma - \alpha )\frac{{\beta (1 + \gamma \alpha ) - \gamma (1 + \alpha \beta )}}{{(1 + \alpha {\mkern 1mu} \beta )(1 + {\mkern 1mu} \beta \gamma )(1 + \gamma \alpha )}} = \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\alpha - \beta )(\gamma - \alpha )\frac{{\beta - \gamma }}{{(1 + \alpha {\mkern 1mu} \beta )(1 + {\mkern 1mu} \beta \gamma )(1 + \gamma \alpha )}} = \frac{{(\alpha - \beta )(\gamma - \alpha )(\beta - \gamma )}}{{(1 + \alpha {\mkern 1mu} \beta )(1 + {\mkern 1mu} \beta \gamma )(1 + \gamma \alpha )}} \end{array}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Γειά σας Νίκο Μπάμπη.
Προφανώς αποδείξατε κάτι πολύ ισχυρότερο.
Τελικά οι πλευρές τριγώνου ήταν 'παπούτσι '
Ισχύει σε κάθε σώμα.

Ισοσκελές τρίγωνο

Ισοσκελές τρίγωνο

Re: Ισοσκελές τρίγωνο

Re: Ισοσκελές τρίγωνο

Re: Ισοσκελές τρίγωνο

Re: Ισοσκελές τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση