Επαναληπτική (4)

M.S.Vovos · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύουν:

$\bullet \displaystyle f'(x)+\int_{x}^{x+1}f(t-x)dt=f(x)+e^{x}+1,\forall x\in \mathbb{R}$

$\bullet f(0)=0$

α. Να δείξετε ότι $f(x)=xe^{x},\forall x\in \mathbb{R}$ .

β. Να δείξετε ότι $\displaystyle f^{(\nu )}(x)=f(x)+\nu e^{x},\forall x\in \mathbb{R}$ , με $\nu \in \mathbb{N}^{*}$ .

γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση

ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της.

δ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $f(x)=\alpha ^{2}-2\alpha$ , με $a\in \mathbb{R}$ .

ε. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της

, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

στ. Να δείξετε ότι υπάρχουν $\xi _{1},\xi _{2}$ και $\xi \in (0,e)$ , με $\xi _{1}\neq \xi _{2}$ , ώστε $\displaystyle f'(\xi _{1})+(e-1)f'(\xi _{2})+f''(\xi )=f(e)+2e-1$ .

Φιλικά,
Μάριος

EDIT: Διορθώθηκε το τελευταίο ερώτημα.

M.S.Vovos · #2

Επαναφορά.

lowbaper92 · #3

Στο τελευταίο ερώτημα νομίζω κάτι δεν πάει καλά. Το αριστερό μέλος είναι θετικό ενώ το δεξί αρνητικό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Δημοσίευσηαπό lowbaper92 » Τετ. Δεκ. 23, 2015 6:16 pm

Στο τελευταίο ερώτημα νομίζω κάτι δεν πάει καλά. Το αριστερό μέλος είναι θετικό ενώ το δεξί αρνητικό.

Συμφωνώ.
Ετσι όπως είναι δεν βγαίνει.

M.S.Vovos · #5

Μχμχμχ... μάλλον μου έχει φύγει κάποιο πρόσημο. Η ιδέα πάντως είναι πολλαπλά Θ.Μ.Τ.

lowbaper92 · #6

α) $\displaystyle{f'\left(x \right)+\int_{x}^{x+1}{f\left(t-x \right)}dt=f\left(x \right)+e^{x}+1 \mathop {========} \limits^{u=t-x\rightarrow du=dt}_{u_{1}=0,u_{2}=1}f'\left(x \right)+\int_{0}^{1}{f\left(u \right)}du=f\left(x \right)+e^{x}+1\Leftrightarrow}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow f'\left(x \right) =f\left(x \right)+e^{x}+c_{1}\Leftrightarrow f'\left(x \right)e^{-x}-f\left(x \right)e^{-x}=1+c_{1}e^{-x}\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow \left(f\left(x \right)e^{-x} \right)'=\left(x-c_{1}e^{-x} \right)'\Leftrightarrow f\left(x \right)e^{-x}=x-c_{1}e^{-x}+c_{2}\Leftrightarrow f\left(x \right)=xe^{x}+c_{2}e^{x}-c_{1}\; \left(1 \right)}$

Αν ${\int_{0}^{1}{f\left( u\right)}du=c}$ η αρχική γράφεται
$\displaystyle{f'\left(x \right)+c=f\left(x \right)+e^{x}+1\Rightarrow \int_{0}^{1}{\left(f'\left(x \right)+c \right)}dx=\int_{0}^{1}{\left(f\left(x \right)+e^{x}+1 \right)}dx\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow f\left(1 \right)-f\left(0 \right)+c=c+e\Leftrightarrow f\left(1 \right)=e}$
Για ${x=0 \, \wedge \, x=1}$ προκύπτει $c_{1}=c_{2}=0$ άρα $\displaystyle{f\left(x \right)=xe^{x},\, \forall x\in \mathbb{R}}$

β) Για $\displaystyle{\nu =1}$ είναι $\displaystyle{f^{\left(1 \right)}\left(x \right)=f'\left(x \right)=e^{x}+xe^{x}=f\left(x \right)+\left(1 \right)e^{x}}$ , ισχύει
Αν ισχύει ότι $\displaystyle{f^{\left(\nu \right)}\left(x \right)=f\left(x \right)+\nu e^{x}}$ έχουμε ότι
$\displaystyle{f^{\left(\nu+1 \right)}\left(x \right)=\left( f^{\left(\nu \right)}\left(x \right)\right)'=\left(f\left(x \right)+\nu e^{x} \right)'=f'\left(x \right)+\nu e^{x}=f\left(x \right)+e^{x}+\nu e^{x}=f\left(x \right)+\left(\nu +1 \right)e^{x}}$ , άρα ο ισχυρισμός ισχύει

γ) ${f'\left(x \right)=e^{x}\left(x+1 \right)}$
Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,-1]$ και γνησίως αύξουσα στο $[-1,+\infty)$ και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο

το $f\left(-1 \right)=-\frac{1}{e}$
Aκόμα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}f\left(x \right)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x}{e^{-x}}\mathop = \limits^{DLH}\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{-e^{-x}}=0}$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f\left(x \right)=\lim_{x\rightarrow +\infty}xe^{x}=+\infty}$
Άρα σύνολο τιμών είναι $\displaystyle{[-\frac{1}{e},+\infty)}$

δ) Με επιφύλαξη, αν ονομάσουμε $\displaystyle{k}$ το δεύτερο μέλος, έχουμε
- Για ${k<-\frac{1}{e}}$ δεν έχει ρίζες
- Για ${k=-\frac{1}{e}}$ έχει μοναδική ρίζα τη $\displaystyle{x=-1}$
- Για $-\frac{1}{e}<k<0$ έχει 2 ρίζες
- Για $k\geq 0$ έχει μοναδική ρίζα
Απ' τα παραπάνω προκύπτουν και οι τιμές του $\alpha$

ε) Έστω $M\left(x_{0},f\left(x_{0} \right) \right)$ το σημείο επαφής
$\displaystyle{y-f\left(x_{0} \right)=f'\left(x_{0} \right)\left(x-x_{0} \right)\mathop {====} \limits^{x=y=0}f\left(x_{0} \right)=x_{0}f'\left(x_{0} \right)\Leftrightarrow x_{0}e^{x_{0}}=x_{0}\left(x_{0}e^{x_{0}} +e^{x_{0}}\right)\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow x_{0}^{2}e^{x_{0}}=0\Leftrightarrow x_{0}=0}$
Άρα η εφαπτομένη είναι η y=x

στ) Από Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχουν:
${\xi _{1}\in \left(0,1 \right):f'\left(\xi _{1} \right)=f\left(1 \right)-f\left(0 \right)=e}$
${\xi _{2}\in \left(1,e \right):\left(e-1 \right)f'\left(\xi _{2} \right)=f\left(e \right)-f\left(1 \right)=f\left(e \right)-e}$
${\xi \in \left(0,1 \right):f''\left(\xi \right)=f'\left(1 \right)-f'\left(0 \right)=2e-1}$
Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο

Επαναληπτική (4)

Επαναληπτική (4)

Re: Επαναληπτική (4)

Re: Επαναληπτική (4)

Re: Επαναληπτική (4)

Re: Επαναληπτική (4)

Re: Επαναληπτική (4)

Μέλη σε σύνδεση