Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Εύα · #81

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 36: Θεωρούμε τους πενταψήφιους αριθμούς $\displaystyle{PR5T}$ και $\displaystyle{47Y6}$ . Αν $\displaystyle{PR5T - 47Y6 = 1998}$ , να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{PR5T}$

(Πηγή: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ για Δημοτικό και Γυμνάσιο, των Σ. Λουρίδα και Κ. Σάλαρη)

Ο αριθμός PR5T είναι ο $\displaystyle{6754}$

#82

ΑΣΚΗΣΗ 37: Να τοποθετήσετε παρενθέσεις στο αριστερό σκέλος της ισότητας: $\displaystyle{3360:24 - 18:2 -1 = 279}$ ώστε να ισχύει η αριθμητική ισότητα

(ΠΗΓΗ: ίδια με αυτήν της άσκησης 36)

#83

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 37: Να τοποθετήσετε παρενθέσεις στο αριστερό σκέλος της ισότητας: $\displaystyle{3360:24 - 18:2 -1 = 279}$ ώστε να ισχύει η αριθμητική ισότητα
(ΠΗΓΗ: ίδια με αυτήν της άσκησης 36)

$\displaystyle{(3360:(24 - 18)):2 -1 = 279}$

#84

ΑΣΚΗΣΗ 38: (Μια ακόμα από το βιβλίο του εξαιρετικού φίλου Σωτήρη Λουρίδα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ για μαθητές Δημοτικού και Γυμνασίου):

Η Άννα έχει τρεις μεγαλύτερες αδελφές. Η Βαρβάρα είναι

χρόνια μεγαλύτερη από την Άννα. Η Ιωάννα είναι τρία χρόνια μεγαλύτερη από την Βαρβάρα.

Η Μαρία είναι τέσσερα χρόνια μεγαλύτερη από την Ιωάννα. Η Μαρία έχει διπλάσια ηλικία από την Βαρβάρα. Πόσων χρονών είναι η Άννα;

papamixalis · #85

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 38: (Μια ακόμα από το βιβλίο του εξαιρετικού φίλου Σωτήρη Λουρίδα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ για μαθητές Δημοτικού και Γυμνασίου):

Η Άννα έχει τρεις μεγαλύτερες αδελφές. Η Βαρβάρα είναι χρόνια μεγαλύτερη από την Άννα. Η Ιωάννα είναι τρία χρόνια μεγαλύτερη από την Βαρβάρα.

Η Μαρία είναι τέσσερα χρόνια μεγαλύτερη από την Ιωάννα. Η Μαρία έχει διπλάσια ηλικία από την Βαρβάρα. Πόσων χρονών είναι η Άννα;

Καλησπέρα.
Έχουμε 4 αγνώστους άρα προσπαθούμε να κατασκευάσουμε 4 εξισώσεις.
Ονομάζω

την Άννα

την Βαρβάρα

την Ιωάννα

την Μαρία

Από την τελευταία σχέση προκύπτει
$x+9=2(x+2) \Leftrightarrow x+9=2x+4 \Leftrightarrow x=5$

Άρα η Άννα είναι

χρονών.

Να θέσω και εγώ ένα ερώτημα:Τι διαφορά έχει η Άννα από την Ιωάννα;(όχι απαραίτητα στο συγκεκριμένο πρόβλημα)

Φιλικά
Μιχάλης

#86

ΑΣΚΗΣΗ 39: Να βρείτε: (α) Πόσα πολλαπλάσια του $\displaystyle{11}$ υπάρχουν ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{2015}$

(β) Πόσα πολλαπλάσια του $\displaystyle{7}$ υπάρχουν ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle{1453}$ και $\displaystyle{1821}$

papamixalis · #87

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 39: Να βρείτε: (α) Πόσα πολλαπλάσια του $\displaystyle{11}$ υπάρχουν ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle{1}$ και $\displaystyle{2015}$

(β) Πόσα πολλαπλάσια του $\displaystyle{7}$ υπάρχουν ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle{1453}$ και $\displaystyle{1821}$

Καλησπέρα
Παρατηρώ ότι
a) $11\cdot 183=2013$ άρα ανάμεσα στο

και στο

μπορούμε να πούμε ότι θα υπάρχουν 183

πολ/σια του

b) $7 \cdot 208=1456$ και $7 \cdot 260=1820$ άρα ανάμεσα στο 1453

και

υπάρχουν

πολ/σια του

EDIT:Οι αριθμοί στην 2η περίπτωση είναι

και όχι

ευχαριστώ πολύ τον κύριο Δημήτρη για την επισήμανση.

Φιλικά
Μιχάλης

#88

ΑΣΚΗΣΗ 40: Να βρεθούν όλες οι τιμές του φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$ , αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{4n+59}$ διαιρείται με τον αριθμό $\displaystyle{2n+7}$

Εύα · #89

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 40: Να βρεθούν όλες οι τιμές του φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$ , αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{4n+59}$ διαιρείται με τον αριθμό $\displaystyle{2n+7}$

Σύμφωνα με την άσκηση θέλουμε ο αριθμός $\displaystyle{4n+59}$ να διαιρείται ακριβώς με τον αριθμό $\displaystyle{2n+7.}$ Δηλαδή $\displaystyle{\frac{4n+59}{2n+7}}$
Δηλαδή $\displaystyle{\frac{4n+14+45}{2n+7}}$ να είναι ακέραιος.Δηλαδή $\displaystyle{\frac{4n+14}{2n+7}+\frac{45}{2n+7}.}$ Δηλαδή $\displaystyle{\frac{2(2n+7)}{2n+7}+\frac{45}{2n+7}.}$
Δηλαδή $\displaystyle{2+\frac{45}{2n+7}.}$ Τώρα θα πρέπει να βρούμε πότε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{45}{2n+7}}$ είναι ακέραιος...Οι διαιρέτες του $\displaystyle{45}$ είναι οι: $\displaystyle{1,3,5,9,15,45.}$ Όμως θέλουμε να είναι αριθμοί μεγαλύτεροι του $\displaystyle{7}$ ώστε να μπορούμε να αφαιρέσουμε από αυτούς το $\displaystyle{7}$ και το αποτέλεσμα να το διαιρέσουμε με το $\displaystyle{2}$ για να ισχύει $\displaystyle{\frac{45}{2n+7}.}$ Oι αριθμοί που απομένουν είναι οι: $\displaystyle{9,15,45.}$ Αφαιρούμε το $\displaystyle{7 (9-7=2,15-7=8,45-7=38)}$ και διαιρούμε τα αποτελέσματα με το $\displaystyle{2(2:2=1,8:2=4,38:2=19).}$ Έτσι οι τιμές που μπορεί να πάρει ο n είναι: $\displaystyle{1,4,9.}$

#90

ΑΣΚΗΣΗ 41: Θεωρούμε τον αριθμό $\displaystyle{a=(2m)^m +(2n+1)^n +(6k+17)^k }$ , όπου $\displaystyle{m , n , k}$ είναι φυσικοί αριθμοί. ( $\displaystyle{m\neq 0}$ )

(α) Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle{a}$ είναι άρτιος ή περιττός.

(β) Ένας αριθμός λέγεται τέλειος, όταν είναι ίσος με το άθροισμα των γνήσιων θετικών διαιρετών του. Αν $\displaystyle{m=n=k=1}$ , να δείξετε ότι ο $\displaystyle{a}$ είναι τέλειος.

(ΣΗΜ: Γνήσιοι διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται όλοι οι διαιρέτες του εκτός από τον εαυτό του)

Εύα · #91

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 41: Θεωρούμε τον αριθμό $\displaystyle{a=(2m)^m +(2n+1)^n +(6k+17)^k }$ , όπου $\displaystyle{m , n , k}$ είναι φυσικοί αριθμοί.

(α) Να εξετάσετε αν ο αριθμός $\displaystyle{a}$ είναι άρτιος ή περιττός.

(β) Ένας αριθμός λέγεται τέλειος, όταν είναι ίσος με το άθροισμα των γνήσιων θετικών διαιρετών του. Αν $\displaystyle{m=n=k=1}$ , να δείξετε ότι ο $\displaystyle{a}$ είναι τέλειος.

(ΣΗΜ: Γνήσιοι διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται όλοι οι διαιρέτες του εκτός από τον εαυτό του)

α) Α= $\displaystyle{(2m)^m+(2n+1)^n+(6k+17)^k}$ =άρτιος+περιττός+περιττός=2.m+2.n+1+2.k+1=2.(m+n+k)+2=άρτιος
β)Αφού $\displaystyle{m=n=k=1:A=(2.1)^1+(2.1+1)^1+(6.1+17)^1=2+3+23=28.}$ Γνήσιοι διαιρέτες $\displaystyle{28=1,2,4,7,14}$ και $\displaystyle{1+2+4+7+14=28}$ .Άρα ο αριθμός Α είναι τέλειος....

#92

ΑΣΚΗΣΗ 42: Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{a=5^{30}+5^{31}+6.5^{29}}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι ο $\displaystyle{a}$ διαιρείται με το $\displaystyle{2}$ και με το $\displaystyle{10}$

(β) Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του $\displaystyle{a}$

(γ) Να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=\frac{a}{5^{30}}}$ δεν είναι ακέραιος

(δ) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$ , ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{a}{5^n}}$ να είναι φυσικός, αλλά όχι τέλειο τετράγωνο.

papamixalis · #93

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 42: Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{a=5^{30}+5^{31}+6.5^{29}}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι ο $\displaystyle{a}$ διαιρείται με το $\displaystyle{2}$ και με το $\displaystyle{10}$

(β) Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του $\displaystyle{a}$

(γ) Να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{b=\frac{a}{5^{30}}}$ δεν είναι ακέραιος

(δ) Να βρείτε την μέγιστη τιμή του φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$ , ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{a}{5^n}}$ να είναι φυσικός, αλλά όχι τέλειο τετράγωνο.

Καλησπέρα κύριε Δημήτρη

a) $a=5^{29}(5+25+6)=5^{29}\cdot 36$

$\dfrac{a}{2}=18 \cdot 5^{29}$

$\dfrac{a}{10}=\dfrac{5\cdot 5^{28}\cdot 2 \cdot 18}{10}=\dfrac{10\cdot 18\cdot 5^{28}}{10}=18\cdot 5^{28}$

b)Ο αριθμός $5^{29}$ τελειώνει σε

$25 \cdot 36=900$
Άρα ο αριθμός μας τελειώνει σε

c) $\dfrac{5^{29}\cdot 36}{5^{30}}=\dfrac{36}{5}$ ο οποίος δεν είναι ακέραιος.

d)Ο αριθμός μας γράφεται και $36 \cdot 5^{29-n}$

Αφού το

δεν διαιρείται με το

πρέπει
$29-n \geq 0 \Leftrightarrow n \leq 29$
Για n=29

δεν ικανοποιούνται οι συνθήκες.
Για n=28

Ο αριθμός μας ισούται με $36 \cdot 5=180$ ο οποίος είναι ακέραιος και δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Άρα n=28

Φιλικά
Μιχάλης

#94

ΑΣΚΗΣΗ 43: Μπορούμε εύκολα να βρούμε το ψηφίο των μονάδων ενός φυσικού αριθμού που είναι γραμμένος στην μορφή δύναμης. Ένας τρόπος είναι να γράψουμε τον εκθέτη στην μορφή $\displaystyle{4k+u}$ , όπου $\displaystyle{u=0,1,2,3}$ . (Φυσικά, αν η βάση της δύναμης λήγει σε

ή

, τότε και ο δοσμένος αριθμός θα λήγει επίσης σε

ή

αντιστοίχως, οπότε η απάντηση είναι άμεση). Αυτό το πετυχαίνουμε κάνοντας την διαίρεση του εκθέτη με το $\displaystyle{4}$ . Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{a^4}$ , θα λήγει πάντα ή σε

, ή σε

,ή σε

. Επίσης εύκολα διαπιστώνουμε ότι αν ένας αριθμός

λήγει σε

ή

, τότε και ο $\displaystyle{a^n}$ , θα λήγει επίσης σε

ή

αντιστοίχως. Για παράδειγμα, για να βρούμε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού
$\displaystyle{a=27^{45}}$ , εργαζόμαστε ως εξής: Κάνουμε την διαίρεση του $\displaystyle{45}$ με το $\displaystyle{4}$ και βρίσκουμε πηλίκο το $\displaystyle{11}$ και υπόλοιπο το $\displaystyle{1}$ . Άρα μπορούμε να γράψουμε
ότι $\displaystyle{45=11.4 +1}$ . Άρα έχουμε:

$\displaystyle{a= 27^{11.4 +1} = 27^{11.4}.27^{1} = (27^4 )^{11} .27 }$ . 'Ομως ο $\displaystyle{27^4}$ θα λήγει όπου και ο $\displaystyle{7^4}$ , δηλαδή σε $\displaystyle{1}$ . Άρα και ο $\displaystyle{(27^4)^{11}}$ θα λήγει επίσης σε

$\displaystyle{1}$ . Και επομένως ο $\displaystyle{(27^4)^{11}.27}$ , θα λήγει σε $\displaystyle{7}$ . Δηλαδή το ψηφίο των μονάδων του $\displaystyle{a}$ είναι το $\displaystyle{7}$ .

Με βάση τα παραπάνω, να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού: $\displaystyle{a= 13^{13} +16^{16}+2}$ και στη συνέχεια να εξετάσετε αν ο αριθμός αυτός διαιρείται

με το

.

papamixalis · #95

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 43: Μπορούμε εύκολα να βρούμε το ψηφίο των μονάδων ενός φυσικού αριθμού που είναι γραμμένος στην μορφή δύναμης. Ένας τρόπος είναι να γράψουμε τον εκθέτη στην μορφή $\displaystyle{4k+u}$ , όπου $\displaystyle{u=0,1,2,3}$ . (Φυσικά, αν η βάση της δύναμης λήγει σε ή ή ή , τότε και ο δοσμένος αριθμός θα λήγει επίσης σε ή ή ή αντιστοίχως, οπότε η απάντηση είναι άμεση). Αυτό το πετυχαίνουμε κάνοντας την διαίρεση του εκθέτη με το $\displaystyle{4}$ . Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{a^4}$ , θα λήγει πάντα ή σε , ή σε , ή σε ,ή σε . Επίσης εύκολα διαπιστώνουμε ότι αν ένας αριθμός λήγει σε
ή ή ή , τότε και ο $\displaystyle{a^n}$ , θα λήγει επίσης σε ή ή ή αντιστοίχως. Για παράδειγμα, για να βρούμε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού
$\displaystyle{a=27^{45}}$ , εργαζόμαστε ως εξής: Κάνουμε την διαίρεση του $\displaystyle{45}$ με το $\displaystyle{4}$ και βρίσκουμε πηλίκο το $\displaystyle{11}$ και υπόλοιπο το $\displaystyle{1}$ . Άρα μπορούμε να γράψουμε
ότι $\displaystyle{45=11.4 +1}$ . Άρα έχουμε:

$\displaystyle{a= 27^{11.4 +1} = 27^{11.4}.27^{1} = (27^4 )^{11} .27 }$ . 'Ομως ο $\displaystyle{27^4}$ θα λήγει όπου και ο $\displaystyle{7^4}$ , δηλαδή σε $\displaystyle{1}$ . Άρα και ο $\displaystyle{(27^4)^{11}}$ θα λήγει επίσης σε

$\displaystyle{1}$ . Και επομένως ο $\displaystyle{(27^4)^{11}.27}$ , θα λήγει σε $\displaystyle{7}$ . Δηλαδή το ψηφίο των μονάδων του $\displaystyle{a}$ είναι το $\displaystyle{7}$ .

Με βάση τα παραπάνω, να βρείτε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού: $\displaystyle{a= 13^{13} +16^{16}+2}$ και στη συνέχεια να εξετάσετε αν ο αριθμός αυτός διαιρείται

με το .

$13^{13}=(13^{4})^3 \cdot 13$ άρα ο αριθμός λήγει σε

$16^{16}=(16^4)^4$ ο αριθμός λήγει σε

άρα ο

λήγει σε

άρα σε

Φιλικά
Μιχάλης

#96

ΑΣΚΗΣΗ 44: Δίνεται ο αριθμός

$\displaystyle{ a=32^{10}+43^{21}+2^3 }$

(α) Να εξετάσετε αν είναι πρώτος

(β) Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{ a > 2^{105}+2^{50}}$

ΣΗΜ: Διόρθωσα μια απροσεξία στο (β) ερώτημα

maria.p · #97

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 44: Δίνεται ο αριθμός

$\displaystyle{ a=32^{10}+43^{21}+2^3 }$

(α) Να εξετάσετε αν είναι πρώτος

(β) Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{ a > 2^{105}+2^{50}}$

ΣΗΜ: Διόρθωσα μια απροσεξία στο (β) ερώτημα

(α) $\displaystyle{α=32^{10}+43^{21}+2^3}$
$\displaystyle{α=32^4.32^4.32^2+43^4.43^4.43^4.43^4.43^4.43+8}$
$\displaystyle{α=6.6.4+1.1.1.1.1.3+8}$
$\displaystyle{α=4+3+8}$
$\displaystyle{α=....5}$
Ο αριθμος α τελειωνει σε 5 και διαιρειται με το 5.Αρα ο αριθμος α δεν ειναι πρωτος

#98

maria.p έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 44: Δίνεται ο αριθμός

$\displaystyle{ a=32^{10}+43^{21}+2^3 }$

(α) Να εξετάσετε αν είναι πρώτος

(β) Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{ a > 2^{105}+2^{50}}$

ΣΗΜ: Διόρθωσα μια απροσεξία στο (β) ερώτημα
(α) $\displaystyle{α=32^{10}+43^{21}+2^3}$
$\displaystyle{α=32^4.32^4.32^2+43^4.43^4.43^4.43^4.43^4.43+8}$
$\displaystyle{α=6.6.4+1.1.1.1.1.3+8}$
$\displaystyle{α=4+3+8}$
$\displaystyle{α=....5}$
Ο αριθμος α τελειωνει σε 5 και διαιρειται με το 5.Αρα ο αριθμος α δεν ειναι πρωτος

Ωραία maria.p . Να συμπληρώσω μόνο ότι αντί να γράψουμε $\displaystyle{α=6.6.4+1.1.1.1.1.3+8}$ , πρέπει να γράψουμε ότι:

Ο $\displaystyle{32^4}$ λήγει σε $\displaystyle{6}$ , $\displaystyle{32^2}$ λήγει σε $\displaystyle{4}$ ,

ο $\displaystyle{43^4}$ λήγει σε $\displaystyle{1}$ , άρα ο $\displaystyle{a}$ , θα λήγει σε $\displaystyle{5}$

Επίσης, ένας τρόπος πιο σύντομος για να γράψουμε τον αριθμό $\displaystyle{43^4.43^4.43^4.43^4.43^4.43}$ , είναι ο εξής: $\displaystyle{(43^4 )^5 .43}$

Ας δούμε τώρα και το (β) ερώτημα:

Έχουμε: $\displaystyle{a=32^{10}+43^{21}+2^3 =(2^5 )^{10}+43^{21}+2^3 =2^{50}+43^{21}+2^3 >2^{50}+32^{21}+2^3 =2^{50}+(2^5 )^{21}+2^3 =}$

$\displaystyle{2^{50}+2^{105}+2^3 >2^{50}+2^{105}}$ και άρα $\displaystyle{a > 2^{105}+2^{50}}$

#99

ΑΣΚΗΣΗ 45: Ένα παράξενο ζώο τρώει κάθε μέρα το $\displaystyle{20}$ % της τροφής που υπάρχει στην ταϊστρα του. Αν βάλουμε μέσα στην ταϊστρα

4 κιλά τροφής, πόσα κιλά θα απομείνουν μετά από τρεις μέρες;

Λάμπρος Μπαλός · #100

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 45: Ένα παράξενο ζώο τρώει κάθε μέρα το $\displaystyle{20}$ % της τροφής που υπάρχει στην ταϊστρα του. Αν βάλουμε μέσα στην ταϊστρα

4 κιλά τροφής, πόσα κιλά θα απομείνουν μετά από τρεις μέρες;

Ωραία,

Την πρώτη μέρα θα φάει $\frac{20}{100} 4=0,8$ κιλά και θα απομείνουν 4-0,8=3,2

κιλά

Τη δεύτερη μέρα θα φάει $\frac{20}{100}3,2=0,64$ κιλά και θα απομείνουν 3,2-0,64=2,56

κιλά

Την τρίτη μέρα θα φάει $\frac{20}{100} 2,56=0,512$ κιλά και θα απομείνουν 2,56-0,512=2,048

κιλά

Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση