ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ

paylos · #1

Έστω η συνάρτηση $f:R \to R$ με $f\left( R \right) = R$ η οποία για κάθε $x \in R$ ικανοποιεί τη σχέση
$e^{f\left( x \right)} + f\left( x \right) = x + 1$ .

Α) Να αποδείξετε ότι η

αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση $f^{ - 1}$ .

Β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C_f

και $C_{f^{ - 1} }$ .

papamixalis · #2

Καλησπέρα.
Κάνω μια προσπάθεια, ελπίζω σωστή.

A)

$D_{f}=R$

Για $x_{1},x_{2}$ που ανήκουν στο

$f(x_{1})=f(x_{2})$

$e^{f(x_{1})}=e^{f(x_{2})}$

Προσθέτοντας κατά μέλη

$x_{1}+1=x_{2} + 1$

Άρα $x_{1}=x_{2}$

Οπότε η

είναι

και αντιστρέφεται.

$f(x)=y \Leftrightarrow f^{-1}(y)=x$

Από την αρχική σχέση έχουμε

$e^y + y = f^{-1}(y) + 1$

Άρα $f^{-1}(y)=e^y+y -1$

$D_{f^{-1}}=R$

Η $f^{-1}(y)$ είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα και η

θα είναι γνησίως αύξουσα.

Έστω ότι δεν ήταν, για $x_{1}<x_{2}$ θα ίσχυε $f(x_{1}) \geq f(x_{2})$

Όμως $f^{-1}(x)$ γνησίως αύξουσα, άρα

$x_{1} \geq x_{2}$
Άτοπο
Άρα

γνησίως αύξουσα.

Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων θα τα βρω από την επίλυση του συστήματος

$y=f^{-1}(x)$

y=x

Αφού

γνησίως αύξουσα.

Κάτι το οποίο όμως για να χρησιμοποιηθεί θέλει απόδειξη (με άτοπο).

Άρα

$e^x+x-1=x \Leftrightarrow e^x=e^0 \Leftrightarrow x=0$

Φιλικά
Μιχάλης

#3

....να υποθέσω ότι είσαι μαθητής Μιχάλη, και γι αυτό επεμβαίνω κάπως διδακτικά στην απάντηση σου στο θέμα...

papamixalis έγραψε:Καλησπέρα.
Κάνω μια προσπάθεια, ελπίζω σωστή.

A) $D_{f}=R$

Για $x_{1},x_{2}$ που ανήκουν στο \displaystyle{f(x_{1})=f(x_{2})} $e^{f(x_{1})}=e^{f(x_{2})}$

Προσθέτοντας κατά μέλη $x_{1}+1=x_{2} + 1$ . Άρα $x_{1}=x_{2}$ Οπότε η είναι και αντιστρέφεται.

$f(x)=y \Leftrightarrow f^{-1}(y)=x$

Από την αρχική σχέση έχουμε $e^y + y = f^{-1}(y) + 1$ Άρα $f^{-1}(y)=e^y+y -1$ $D_{f^{-1}}=R$

...διέγραψα την παρατήρηση αφού δεν πρόσεξα ότι έχει δοθεί στην υπόθεση το σύνολο τιμών της f...και αφήνω το τρόπο εύρεσης του.... αν δεν είχε δοθει για καθαρά διδακτικούς λόγους...

Για τον προσδιορισμό του συνόλου τιμών της

ένας τρόπος είναι με την την λύση της εξίσωσης f(x)=y

στο πεδίο ορισμού της

.

Εδώ τώρα παρατηρώντας, από την αρχική σχέση, πως έχει προκύψει ο τύπος του 1ου μέλους, είναι η σύνθεση της

με την $g(x)={{e}^{x}}+x$

δηλαδή είναι $g(f(x))=x+1,\,\,\,\,x\in R$ (1)

Εύκολα δείχνουμε ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο

άρα και

επομένως θεωρώντας την εξίσωση

$f(x)=y\overset{g:'1-1'}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,g(f(x))=g(y)\Leftrightarrow x+1=g(y)\Leftrightarrow x=g(y)-1$

άρα έχει λύση για κάθε $y\in R$ , οπότε το σύνολο τιμών της

είναι το

, και μετά όπως προχώρησες εσύ….

Η $f^{-1}(y)$ είναι γνησίως αύξουσα.Άρα και η θα είναι γνησίως αύξουσα.

Έστω ότι δεν ήταν, για $x_{1}<x_{2}$ θα ίσχυε $f(x_{1}) \geq f(x_{2})$ Όμως $f^{-1}(x)$ γνησίως αύξουσα, άρα $x_{1} \geq x_{2}$ Άτοπο Άρα γνησίως αύξουσα.

Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων θα τα βρω από την επίλυση του συστήματος $y=f^{-1}(x)$ Αφού γνησίως αύξουσα.Κάτι το οποίο όμως για να χρησιμοποιηθεί θέλει απόδειξη (με άτοπο).

Β) Τώρα αυτό που έκανες για τα κοινά σημεία των ${{C}_{f}},\,\,{{C}_{{{f}^{-1}}}}$ θέλει πρώτα απόδειξη για να το χρησιμοποιήσεις.

Ένας τρόπος που έχουμε συζητήσει εδώ, είναι κλασσικός με την λύση του συστήματος των εξισώσεων

$(\Sigma )\left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & y={{f}^{-1}}(x) \\ \end{matrix} \right.$ εδώ με $x\in R$ αφού το πεδίο ορισμού της

και της ${{f}^{-1}}$ είναι το

.

Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα

$\left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & f(y)=x \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & f(y)+y=f(x)+x \\ \end{matrix} \right.$ (2)

Τώρα για την συνάρτηση $h(t)=f(t)+t,\,\,\,t\in R$ επειδή η

είναι γνήσια αύξουσα

( με ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}+1<{{x}_{2}}+2\overset{(1)}{\mathop{\Rightarrow }}\,g(f({{x}_{1}}))<g(f({{x}_{2}}))\overset{(g:\nearrow )}{\mathop{\Rightarrow }}\,f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$ )

εύκολα δείχνουμε ότι είναι γνήσια αύξουσα στο

, άρα και

επομένως το σύστημα γράφεται ισοδύναμα

$\left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & h(y)=h(x) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y=f(x) \\ & y=x \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & x=f(x) \\ & y=x \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & x=f(x) \\ & {{f}^{-1}}(x)=x \\ \end{matrix} \right.$ και κατόπιν όπως εσύ….

Άρα

$e^x+x-1=x \Leftrightarrow e^x=e^0 \Leftrightarrow x=0$

Φιλικά
Μιχάλης

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#4

paylos έγραψε:Έστω η συνάρτηση $f:R \to R$ με $f\left( R \right) = R$ η οποία για κάθε $x \in R$ ικανοποιεί τη σχέση
$e^{f\left( x \right)} + f\left( x \right) = x + 1$ .

Α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση $f^{ - 1}$ .

Β) Να βρείτε τα κοινά σημεία των και $C_{f^{ - 1} }$ .

Προτείνω για το β) την εξής λύση:

Έστω (x, y)

ένα κοινό σημείο, αν υπάρχει, των C_f

και $C_{f^{-1}}$ . Έχουμε

$\left.\begin{matrix} y=f(x)\\ y=f^{-1}(x) \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left.\begin{matrix} x=f^{-1}(y)\\y=f^{-1}(x) \end{matrix}\right\}\Rightarrow \left.\begin{matrix} e^y+y-1=x\\ e^x+x-1=y \end{matrix}\right\}$

Αφαιρούμε κατά μέλη και με ΘΜΤ έχουμε: $e^y-e^x+2(y-x)=0\Rightarrow(y-x)e^{\xi }+2(y-x)=0\Rightarrow y=x, e^{\xi }+2=0\Rightarrow y=x$

Και τώρα ... x=y=0

, επαλήθευση κ.λπ.

(Σωστότερα, σε συμφωνία με το σχολικό βιβλίο, πρέπει να πούμε: Αφαιρούμε κατά μέλη . Αν $x\neq y$ με ΘΜΤ έχουμε: $e^y-e^x+2(y-x)=0\Rightarrow(y-x)e^{\xi }+2(y-x)=0\Rightarrow y=x, e^{\xi }+2=0\Rightarrow y=x,$ άτοπο.
Άρα x=y

και τώρα

, επαλήθευση κ.λπ.)

zorba_the_freak · #5

Η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}.$
Πράγματι, αν $x_1,x_2\in\mathbb{R},$ με x_1<x_2

τότε είναι $x_1+1<x_2+1\Rightarrow e^{f(x_1)}+f(x_1)<e^{f(x_2)}+f(x_2)$ (1)
Επειδή η συνάρτηση g(x)=e^x+x

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R},$ τότε από τη σχέση (1) παίρνουμε:
$g(f(x_1))<g(f(x_2))\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
Επομένως αρκεί να λύσουμε την εξίσωση $f^{-1}(x)=x...$

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ

ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ

Μέλη σε σύνδεση