Λύστε ...

S.E.Louridas · #1

Λύστε το σύστημα:
$\left\{ {3{x^2}y - 3{x^2}z = - 5,\quad {y^2}z - {y^2}x = 3,\quad 3{z^2}x - 3{z^2}y = 1} \right\}.$

maiksoul · #2

S.E.Louridas έγραψε:Λύστε το σύστημα:
$\left\{ {3{x^2}y - 3{x^2}z = - 5,\quad {y^2}z - {y^2}x = 3,\quad 3{z^2}x - 3{z^2}y = 1} \right\}.$

Καλημέρα από την συνεφιασμένη Κέρκυρα ! Μια απάντηση σε αυτήν την όμορφη άσκηση.

Είναι άμεσο ότι κανένας από τα x ,y ,z

δεν είναι μηδέν καθώς και ότι η μεταξύ τους διάταξη είναι η: y < x < z

.

Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση με το

και την δεύτερη με το

προκύπτει:

$x^2y^2=\frac{3x^2yz-5y}{3}=y^2xz-3x\Leftrightarrow 3x^2yz-3y^2xz+9x-5y=0 \;\;\;(I)$

Όμοια από την δεύτερη και τρίτη εξίσωση προκύπτει:

$\displaystyle{ \,y^2 \,z^2 = y^2 x\,z\, + 3z\, = \frac{{3z^2 x\,y - y}}{3}\, \Leftrightarrow \,\,\,3\,y^2 \,x\,\,z - 3\,\,z^2 \,x\,\,y\,\, + \,\,\,9\,\,z\,\, + \,\,y\, = \,\,\,0\,\,\,\,\,\,(II)\,\,\, }$

Από την πρώτη και τρίτη εξίσωση προκύπτει:

$\displaystyle{ \,x^{2\,} \,z^{\,2\,} \, = \frac{{3x^{\,2\,} y\,\,z + 5z}}{3} = \frac{{3\,z^2 x\,y\,\, + x\,}}{3}\, \Leftrightarrow \,\,\,\,3\,\,z^2 x\,y\,\, - 3\,x^2 y\,\,z\, + x - 5\,z = 0\,\,\,(III)\,\,\,\, }$

Αθροίζοντας έχω:

$10x-4y+4z=0\Leftrightarrow y-z=5\frac{x}{2}\;\;\;(4)$

Τώρα έχουμε :

$\displaystyle{ (1) \Rightarrow y - z = \frac{{ - 5\,}}{{\,\,3\,x^{\,2\,\,} \,}}\,\mathop = \limits^{(4)\,} \,\frac{{\,5\,x\,}}{2}\, \Rightarrow \,\,x^{\,3\,} \, = \,\, - \,\frac{2}{3}\, \Rightarrow x = - \sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,}}\, }$

όπως και

$\displaystyle{ \,\,(4)\,\, \Rightarrow \,\,\,z\,\, = \,\,y\,\, + \,\,\frac{{\,\,5\,\,}}{{\,2\,}}\,\,\sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,}}\,\,\,\mathop { \Rightarrow \,}\limits^{\,\,(2)\,\,\,\,\,} \,y^{\,3\,\,} + \,\,\frac{{\,\,7\,\,}}{{\,2\,}}\,\,\sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,}}\,\,y^{\,2\,\,} - 3\,\, = \,\,0\,\,\,\,\,\,(\,5\,)\,\, }$

και αφού $y<x= \,\, - \,\frac{2}{3}\,$ η τελευταία δίνει :

$\displaystyle{ \,y = \, - 3\,\,\sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,}}\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,y = - \frac{{\,\,3\,\,}}{2}\,\sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,}}\,\, }$

οπότε αντίστοιχα έχουμε:

$\displaystyle{ \,\,\,\,\,z = - \frac{{\,\,1\,\,}}{2}\,\sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,}}\,\,\,,\,\,\,\,\,z = \,\,\,\sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,\,}}\,\,\, }$

και τελικά τις λύσεις :

$\displaystyle{ (\,x\,,\,\,y\,,\,\,z\,) = \,\,(\, - \sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,}}\,\,,\, - \frac{{\,\,3\,\,}}{2}\,\sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,}}\,,\,\,\sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,\,}}\,)\,,\,\,\,(\,x\,,y\,,\,\,z\,)\,\, = \,\,(\, - \sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,}}\,\,,\, - 3\,\sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,}}\,,\,\, - \frac{{\,\,1\,\,}}{2}\sqrt[{\,3\,\,}]{{\,\,\frac{{\,2\,}}{{\,3\,}}\,\,}}\,)\, }$

#3

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{(x-y)(y-z)(z-x)=-x^2(y-z)-y^2(z-x)-z^2(x-y)=\frac{5}{3}-3-\frac{1}{3}=-\frac{5}{3}.}$

Με πολλαπλασιασμό των εξισώσεων προκύπτει

$\displaystyle{(xyz)^2(x-y)(y-z)(z-x)=-\frac{5}{3},}$

η οποία λόγω της προηγούμενης σχέσης δίνει $\displaystyle{(xyz)^2=1,}$ άρα $\displaystyle{xyz=\pm 1.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Έστω $\displaystyle{xyz=1.}$

Από την πρώτη εξίσωση λαμβάνουμε

$\displaystyle{x^2yz(y-z)=-\frac{5}{3}yz\stackrel{xyz=1}{\implies} xy-xz=-\frac{5}{3}yz}$ $\displaystyle{\color{red}(\bf 1)}$

Από τη δεύτερη εξίσωση λαμβάνουμε

$\displaystyle{y^2xz(z-x)=3zx \stackrel{xyz=1}{\implies} yz-yx=3xz}$ $\displaystyle{\color{red}(\bf 2)}$

Με πρόσθεση των $\displaystyle{\color{red}(\bf 1)}$ , $\displaystyle{\color{red}(\bf 2)}$ προκύπτει $\displaystyle{\boxed{3x=2y},}$ από την οποία, με αντικατάσταση στην $\displaystyle{\color{red}(\bf 1)}$ βρίσκουμε $\displaystyle{\boxed{2y=-3z}.}$

Τότε

$\displaystyle{xyz=1\implies \frac{2y}{3}\cdot y\cdot \frac{-2y}{3}=1\implies y=-\sqrt[3]{\frac{9}{4}}}$ και επομένως

$\displaystyle{x=-\sqrt[3]{\frac{2}{3}},~z=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}.}$

Ομοίως εργαζόμαστε και όταν $\displaystyle{xyz=-1.}$

Τελικά βρίσκουμε ότι το σύστημα έχει δύο λύσεις, τις

$\displaystyle{\left(-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}, -\sqrt[3]{\frac{9}{4}}, \sqrt[3]{\frac{2}{3}}\right),~~ \left(-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}, -\sqrt[3]{18}, -\frac{1}{\sqrt[3]{12}}\right).}$

#4

Και μια ακόμα λύση :

Το σύστημα είναι ομογενές. Θέτουμε $\displaystyle{x=my , z=nx=nmy}$ , οπότε το σύστημα γράφεται:

$\displaystyle{3m^2 y^3 -3m^3 ny^3 =-5}$ , (1)
$\displaystyle{nmy^3 -my^3 =3}$ , (2)
$\displaystyle{3n^2 m^3 y^3 - 3n^2 m^2 y^3 = 1}$ , (3)

Διαιρώντας κατά μέλη την (1) με την (2) και ύστερα την (2) με την (3) (και με δεδομένο ότι είναι $\displaystyle{y , m \neq 0}$ ) παίρνουμε:

$\displaystyle{9m(1-mn)=-5(n-1)}$ , (4)
$\displaystyle{9n^2 m(m-1) =n-1}$ , (5)

Διαιρώντας τώρα κατά μέλη την (4) με την (5), παίρνουμε (και με δεδομένο ότι είναι προφανώς $\displaystyle{n\neq 1}$ )

$\displaystyle{m=\frac{5n^2 -1}{5n^2 -n}}$ , (ΣΗΜ: Εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle{5n^2 -n \neq 0}$ )

Τώρα η σχέση (5) γράφεται:

$\displaystyle{9n^2 \frac{5n^2 -1}{n(5n-1)}.(\frac{5n^2 -1}{n(5n-1)}-1)}$ και άρα $\displaystyle{(5n-1)^2 =9(5n^2 -1)}$ και από εδώ προκύπτει ότι:

$\displaystyle{n=-1}$ , ή $\displaystyle{n=\frac{1}{2}}$

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Αν $\displaystyle{n=-1}$ , τότε $\displaystyle{m=\frac{2}{3}}$ και άρα $\displaystyle{x=\frac{2y}{3} , z= - \frac{2y}{3}}$ , οπότε από την σχέση (1) βρίσκουμε

$\displaystyle{y= - \sqrt[3]{\frac{9}{4}}}$ και άρα $\displaystyle{x= - \frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{9}{4}} , z=\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{9}{4}}}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Αν $\displaystyle{n=\frac{1}{2}}$ , τότε $\displaystyle{m=\frac{1}{3}}$ , άρα $\displaystyle{x=\frac{y}{3} , z=\frac{y}{6}}$ και από την (1) , παίρνουμε $\displaystyle{y= - \sqrt[3]{18}}$

και εύκολα βρίσκουμε τα $\displaystyle{x , z}$

Θεοδωρος Παγωνης · #5

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη , έχουμε :
$9{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}\left( y-z \right)\left( z-x \right)\left( x-y \right)=-15\Leftrightarrow 3\left( y-z \right)\left( z-x \right)\left( x-y \right)=-\frac{5}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}\left( 1 \right)$
Επειδή
$\left( y-z \right)+\left( z-x \right)+\left( x-y \right)=0$
από Euler η (1) γίνεται :
${{\left( y-z \right)}^{3}}+{{\left( z-x \right)}^{3}}+{{\left( x-y \right)}^{3}}=-\frac{5}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}\Leftrightarrow$
${{y}^{3}}-3{{y}^{2}}z+3y{{z}^{2}}-{{z}^{3}}+{{z}^{3}}-3{{z}^{2}}x+3z{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}=-\frac{5}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}\Leftrightarrow$
$\displaystyle{-\left( 3{{x}^{2}}y-3z{{x}^{2}} \right)-3\left( {{y}^{2}}z-x{{y}^{2}} \right)-\left( 3{{z}^{2}}x-3y{{z}^{2}} \right)=-\frac{5}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{5-9-1=-\frac{5}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}=1}$

Η συνέχεια όπως ο Θάνος (matha).

Λύστε ...

Λύστε ...

Re: Λύστε ...

Re: Λύστε ...

Re: Λύστε ...

Re: Λύστε ...

Μέλη σε σύνδεση