Ευθείες και κύκλος!

M.S.Vovos · #1

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , με f(t)>0

, για κάθε $t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο $\displaystyle M\left (\frac{\pi }{6},\sqrt{e} \right )$ . Θεωρούμε, επιπλέον, τις ευθείες $\left ( \varepsilon _{1} \right ):y=f'(t)\cdot x$ και $\displaystyle \left ( \varepsilon _{2} \right ):\left ( f(t)\sigma \upsilon \nu t+1 \right )y-\left ( f(t)\sigma \upsilon \nu t-1 \right )x=0$ , $\displaystyle t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ . Αν για κάθε $\displaystyle t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ η $\left ( \varepsilon _{2} \right )$ σχηματίζει με την $\left ( \varepsilon _{1} \right )$ γωνία $\displaystyle \frac{\pi }{4}$ , τότε:

α) Να βρείτε τη συνάρτηση

.

β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου

, που εφάπτεται στις ευθείες $\displaystyle \left ( n_{1} \right ):y=f(t)\cdot x$ και $\displaystyle \left ( n_{2} \right ):y=-f(t)\cdot x$ , με $\displaystyle t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ , όταν το κέντρο του έχει τετμημένη

.

γ) Αν A,B

είναι τα σημεία επαφής του παραπάνω κύκλου με τις ευθείες $\left ( n_{1} \right ),\left (n_{2} \right )$ , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων αυτών.

δ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του κύκλου

, όταν $\displaystyle t_{0}=\frac{\pi }{4}$ .

Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , με , για κάθε $t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο $\displaystyle M\left (\frac{\pi }{6},\sqrt{e} \right )$ . Θεωρούμε, επιπλέον, τις ευθείες $\left ( \varepsilon _{1} \right ):y=f'(t)\cdot x$ και $\displaystyle \left ( \varepsilon _{2} \right ):\left ( f(t)\sigma \upsilon \nu t+1 \right )y-\left ( f(t)\sigma \upsilon \nu t-1 \right )x=0$ , $\displaystyle t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ . Αν για κάθε $\displaystyle t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ η $\left ( \varepsilon _{2} \right )$ σχηματίζει με την $\left ( \varepsilon _{1} \right )$ γωνία $\displaystyle \frac{\pi }{4}$ , τότε:

α) Να βρείτε τη συνάρτηση .
Φιλικά,
Μάριος[/b]

...μια αντιμετώπιση του (α) με ...απαγορευμένα...

α) Αν η γωνία που σχηματίζει η $\displaystyle \left ( \varepsilon _{2} \right ):\left ( f(t)\sigma \upsilon \nu t+1 \right )y-\left ( f(t)\sigma \upsilon \nu t-1 \right )x=0$

με τον {x}'x

είναι $\omega$ τότε επειδή $\left( {{\varepsilon }_{2}} \right):y=\frac{f(t)\sigma \upsilon \nu t-1}{f(t)\sigma \upsilon \nu t+1}x$

θα ισχύει ότι $\frac{f(t)\sigma \upsilon \nu t-1}{f(t)\sigma \upsilon \nu t+1}=\varepsilon \phi \omega$ (1) και επειδή η

$\left ( \varepsilon _{2} \right )$ σχηματίζει με την $\left ( \varepsilon _{1} \right )$ γωνία $\displaystyle \frac{\pi }{4}$ , θα ισχύει ότι

${f}'(t)=\varepsilon \phi \left( \omega +\frac{\pi }{4} \right)$ δηλαδή ${f}'(t)=\frac{1+\varepsilon \phi \omega }{1-\varepsilon \phi \omega }$ (αν $\varepsilon \phi \omega =1$ άτοπο λόγω(1))

οπότε είναι ${f}'(t)=\frac{1+\frac{f(t)\sigma \upsilon \nu t-1}{f(t)\sigma \upsilon \nu t+1}}{1-\frac{f(t)\sigma \upsilon \nu t-1}{f(t)\sigma \upsilon \nu t+1}}=f(t)\sigma \upsilon \nu t,\,\,t\in [0,\,\,\frac{\pi }{2}]$

άρα ισχύει ότι $\frac{{f}'(t)}{f(t)}=\sigma \upsilon \nu t,\,\,t\in [0,\,\,\frac{\pi }{2}]$ άρα ${{\left( \ln (f(t)) \right)}^{\prime }}=(\eta \mu t{)}',\,\,t\in [0,\,\,\frac{\pi }{2}]$

έτσι $\ln (f(t))=\eta \mu t+c$ και επειδή $f(\frac{\pi }{6})=\sqrt{e}$ προκύπτει ότι c=0

άρα $\ln (f(t))=\eta \mu t\Leftrightarrow f(t)={{e}^{\eta \mu t}},\,\,t\in [0,\,\,\frac{\pi }{2}]$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

lowbaper92 · #3

Καλησπέρα!

Δε μπορεί να ισχύει και $\displaystyle{f'\left(t \right)=\epsilon \phi \left(\omega -\frac{\pi }{4} \right)}$ ;

#4

M.S.Vovos έγραψε:Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ , με , για κάθε $t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο $\displaystyle M\left (\frac{\pi }{6},\sqrt{e} \right )$ . Θεωρούμε, επιπλέον, τις ευθείες $\left ( \varepsilon _{1} \right ):y=f'(t)\cdot x$ και $\displaystyle \left ( \varepsilon _{2} \right ):\left ( f(t)\sigma \upsilon \nu t+1 \right )y-\left ( f(t)\sigma \upsilon \nu t-1 \right )x=0$ , $\displaystyle t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ . Αν για κάθε $\displaystyle t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ η $\left ( \varepsilon _{2} \right )$ σχηματίζει με την $\left ( \varepsilon _{1} \right )$ γωνία $\displaystyle \frac{\pi }{4}$ , τότε:

α) Να βρείτε τη συνάρτηση .

β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου , που εφάπτεται στις ευθείες $\displaystyle \left ( n_{1} \right ):y=f(t)\cdot x$ και $\displaystyle \left ( n_{2} \right ):y=-f(t)\cdot x$ , με $\displaystyle t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ , όταν το κέντρο του έχει τετμημένη .

γ) Αν είναι τα σημεία επαφής του παραπάνω κύκλου με τις ευθείες $\left ( n_{1} \right ),\left (n_{2} \right )$ , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων αυτών.

...συνεχίζοντας την επίλυση της...

(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στην παρατήρηση του lowbaper92 θέλω να πω ότι στην περίπτωση που

${f}'(t)=\varepsilon \phi \left( \omega -\frac{\pi }{4} \right)$ προκύπτει ότι ${f}'(t)f(t)=-\frac{1}{\sigma \upsilon \nu t},\,\,t\in [0,\,\,\frac{\pi }{2}]$

που δεν μπορώ να την απορρίψω σύμφωνα με κάποιο δεδομένο, αλλά και αδυνατώ να προσδιορίσω την

)(...περιμένω τον δημιουργό...)

β) Οι ευθείες $\displaystyle \left ( n_{1} \right ):y=f(t)\cdot x$ και $\displaystyle \left ( n_{2} \right ):y=-f(t)\cdot x$ , με

$\displaystyle t\in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ τέμνονται στο σημείο $O(0,\,0)$ οπότε το κέντρο των κύκλων που εφάπτονται σε αυτές

θα ανήκει στην διχοτόμο τους. Έτσι αν σημείο $M({{x}_{M}},\,{{y}_{M}})$ , στν διχοτόμο των ευθειών

$\left( {{n}_{1}} \right):f(t)\cdot x-y=0$ και $\left( {{n}_{2}} \right):f(t)\cdot x+y=0$ θα ισχύει ότι

$d\left( M,{{n}_{1}} \right)=d\left( M,{{n}_{2}} \right)\Leftrightarrow \frac{\left| f(t){{x}_{M}}-{{y}_{M}} \right|}{\sqrt{{{f}^{2}}(t)+1}}=\frac{\left| f(t){{x}_{M}}+{{y}_{M}} \right|}{\sqrt{{{f}^{2}}(t)+1}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left| f(t){{x}_{M}}-{{y}_{M}} \right|=\left| f(t){{x}_{M}}+{{y}_{M}} \right|$ απ όπου

$f(t){{x}_{M}}-{{y}_{M}}=f(t){{x}_{M}}+{{y}_{M}}\Leftrightarrow {{y}_{M}}=0$ ή

$f(t){{x}_{M}}-{{y}_{M}}=-f(t){{x}_{M}}-{{y}_{M}}\overset{f(t)>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,{{x}_{M}}=0$

δηλαδή οι διχοτόμοι των ευθειών είναι οι άξονες ${x}'x,\,\,\,{y}'y$ και επειδή το κέντρο του έχει τετμημένη

θα είναι σημείο του {x}'x

άρα ο κύκλος έχει κέντρο το $K(1,\,\,0)$ και ακτίνα

$\rho =d(K,\,{{\eta }_{1}})=\frac{|f(t)-0|}{\sqrt{{{f}^{2}}(t)+1}}=\frac{f(t)}{\sqrt{{{f}^{2}}(t)+1}}$ άρα εξίσωση

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{{{f}^{2}}(t)}{{{f}^{2}}(t)+1}=\frac{{{e}^{2\eta \mu t}}}{{{e}^{2\eta \mu t}}+1},\,\,t\in [0,\,\,\frac{\pi }{2}]$

: ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (1).jpg (13.39 KiB) Προβλήθηκε 4612 φορές

γ) Αν $\lambda =f(t)>0$ τότε για το σημείο επαφής της $\left( {{n}_{1}} \right):y=\lambda \cdot x$ με τον κύκλο θα ισχύει ότι

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\lambda }^{2}}{{x}^{2}}=\frac{{{\lambda }^{2}}}{{{\lambda }^{2}}+1}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1+{{\lambda }^{2}}{{x}^{2}}=1-\frac{1}{{{\lambda }^{2}}+1}\Leftrightarrow$

${{x}^{2}}-2x+{{\lambda }^{2}}{{x}^{2}}=-\frac{1}{{{\lambda }^{2}}+1}\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{({{\lambda }^{2}}+1)}^{2}}-2x({{\lambda }^{2}}+1)+1=0\Leftrightarrow$

${{\left( ({{\lambda }^{2}}+1)x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow ({{\lambda }^{2}}+1)x-1=0\Leftrightarrow$

και με $x\ne 0$ είναι $\frac{y}{x}=\lambda$ άρα

$\left( \frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}+1 \right)x-1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x=0\Leftrightarrow {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{1}{4}\,\,\left( C \right)$

που σημαίνει ότι το σημείο επαφής ανήκει στο κύκλο $\left( C \right)$ και όμοια με το σημείο επαφής με την ευθεία $\left( {{n}_{2}} \right):y=-\lambda \cdot x$ .

...στο σχήμα ένα στιγμιότυπο από τον γ.τ.

: ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (2).jpg (17.61 KiB) Προβλήθηκε 4593 φορές

...το θέμα δεν εξετάζει τον υποψήφιο στην ύλη της Γ Λυκείου...μάλλον για πολύ καλούς της Β είναι...μέχρι εδώ...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ευθείες και κύκλος!

Ευθείες και κύκλος!

Re: Ευθείες και κύκλος!

Re: Ευθείες και κύκλος!

Re: Ευθείες και κύκλος!

Μέλη σε σύνδεση