Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

M.S.Vovos · #1

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε , και , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

β) Να δείξετε ότι $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx<\frac{e+1}{2}$ .

γ) Να βρείτε τα $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , ώστε $f(\alpha )+f(\beta )=2$ .

δ) Να βρείτε την ευθεία $(\varepsilon ):y=f(t)$ , με $t\in \left [ 0,1 \right ]$ , ώστε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ , την ευθεία $(\varepsilon )$ και τις ευθείες και , να γίνεται ελάχιστο.

ε) Να βρείτε το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{x}^{\sqrt{x^{2}+1}}f(t)dt$ και το $\displaystyle I=\int_{0}^{1}e^{x^{2}}dx+\int_{1}^{e}\sqrt{lnx}dx$ .

Φιλικά,
Μάριος

G.Bas · #2

M.S.Vovos έγραψε: β) Να δείξετε ότι $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx<\frac{e+1}{2}$ .

Έχουμε το καλύτερο $\displaystyle{\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\leq e-1.}$

alexandrosvets · #3

G.Bas έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε: β) Να δείξετε ότι $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx<\frac{e+1}{2}$ .
Έχουμε το καλύτερο $\displaystyle{\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\leq e-1.}$

Μία ,εκτός ύλης, λύση.
Για του Μάριου το β) ερώτημα προκύπτει άμεσα από την ανισότητα hermite-hadamard,καθώς η f πληρεί τις προϋποθέσεις της ανισότητας αυτής.

G.Bas · #4

Και πιο απλά

.

$\displaystyle{\int_0^1 e^{x^2}\,\mathrm{d}x\leq\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x=[e^x]_0^1=e-1.}$

alexandrosvets · #5

G.Bas έγραψε:Και πιο απλά .

$\displaystyle{\int_0^1 e^{x^2}\,\mathrm{d}x\leq\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x=[e^x]_0^1=e-1.}$

Πολύ ωραία..

#6

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Άλλη μια κατασκευή!
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε , και , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)=e^{x^{2}}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

β) Να δείξετε ότι $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx<\frac{e+1}{2}$ .

γ) Να βρείτε τα $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , ώστε $f(\alpha )+f(\beta )=2$ .

δ) Να βρείτε την ευθεία $(\varepsilon ):y=f(t)$ , με $t\in \left [ 0,1 \right ]$ , ώστε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ , την ευθεία $(\varepsilon )$ και τις ευθείες και , να γίνεται ελάχιστο.

ε) Να βρείτε το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{x}^{\sqrt{x^{2}+1}}f(t)dt$ και το $\displaystyle I=\int_{0}^{1}e^{x^{2}}dx+\int_{1}^{e}\sqrt{lnx}dx$ .

Φιλικά,
Μάριος

...γιά τα υπόλοιπα....

α) Από f''(x)-2f(x)=2xf'(x)

ισοδύναμα έχουμε ότι

${f}''(x)=2f(x)+2x{f}'(x)\Leftrightarrow {f}''(x)={{\left( 2xf(x) \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow {f}'(x)=2xf(x)+c$

και επειδή f'(0)=0

προκύπτει ότι c=0

και άρα

επομένως και

${f}'(x)-2xf(x)=0\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{-{{x}^{2}}}}f(x) \right)}^{\prime }}=0\Leftrightarrow {{e}^{-{{x}^{2}}}}f(x)=c\Leftrightarrow f(x)=c{{e}^{{{x}^{2}}}}$ και επειδή f(0)=1

οπότε προκύπτει ότι c=1

άρα $f(x)={{e}^{{{x}^{2}}}}$

β) …έγινε προηγούμενη συζήτηση…

γ) Επειδή ${f}'(x)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}}$ και ${f}'(x)=0\Leftrightarrow x=0,\,\,\,{f}'(x)>0\Leftrightarrow x>0,\,\,{f}'(x)<0\Leftrightarrow x<0$ η

έχει ελάχιστη τιμή την f(0)=1

δηλαδή ισχύει ότι $f(x)\ge 1\Leftrightarrow f(x)-1\ge 0,\,\,\,x\in R$ (1) επομένως από

$f(\alpha )+f(\beta )=2\Leftrightarrow \left( f(\alpha )-1 \right)+\left( f(\beta )-1 \right)=0$ και λόγω (1) είναι

$f(\alpha )-1=f(\beta )-1=0\Leftrightarrow \alpha =\beta =0$ αφού $f(x)>f(0)=1,\,\,\,x\ne 0$

δ) Το σημείο τομής της $(\varepsilon ):y=f(t)$ με την $(\varepsilon ):y=f(x)$ είναι όταν $f(t)=f(x)\Leftrightarrow x=t$ με 0<t<1

και επειδή η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0,\,1]$ για $0\le x<t\Rightarrow 1=f(0)\le f(x)<f(t)$ και για $t<x\le 1\Rightarrow f(t)<f(x)\le f(1)=e$

άρα το εμβαδό και E(t)

του χωρίου, που περικλείεται από τη $C_{f}$ , την ευθεία $(\varepsilon )$ και τις ευθείες x=0

και

είναι

$E(t)=\int\limits_{0}^{t}{\left( f(t)-f(x) \right)dx}+\int\limits_{t}^{1}{\left( f(x)-f(t) \right)dx}$ ή

$E(t)=\int\limits_{0}^{t}{f(t)dx}-\int\limits_{0}^{t}{f(x)dx}+\int\limits_{t}^{1}{f(x)dx}-\int\limits_{t}^{1}{f(t)dx}\Leftrightarrow$

$E(t)=2tf(t)-f(t)-\int\limits_{0}^{t}{f(x)dx}-\int\limits_{1}^{t}{f(x)dx},\,\,\,t\in [0,\,\,1]$

…από εδώ και πέρα μόνο παράνομα μπορώ να βρώ πότε γίνεται ελάχιστο, και αυτό συμβαίνει

όταν $t=\frac{1}{2}$ ….(…ο δημιουργός τι θα πεί…)

ε) Είναι $0<x\le t\le \sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le {{t}^{2}}\le {{x}^{2}}+1\Leftrightarrow {{e}^{{{x}^{2}}}}\le {{e}^{{{t}^{2}}}}\le {{e}^{{{x}^{2}}+1}}$

και ολοκληρώνοντας από

έως $\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ προκύπτει ότι

${{e}^{{{x}^{2}}}}\int\limits_{x}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{dt}\le \int\limits_{x}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{e}^{{{t}^{2}}}}dt}\le {{e}^{{{x}^{2}}+1}}\int\limits_{x}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{dt}\Leftrightarrow$

${{e}^{{{x}^{2}}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)\le \int\limits_{x}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{e}^{{{t}^{2}}}}dt}\le {{e}^{{{x}^{2}}+1}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)$ (1)

Τώρα ${{e}^{{{x}^{2}}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)=\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}\overset{x>0}{\mathop{=}}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}}{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+1}$

και επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}}{1}=+\infty$

και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+1}=\frac{1}{2}$ το

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{{{x}^{2}}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)=+\infty$ και λόγω της (1) είναι

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{x}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{f}(t)dt=+\infty$

Τώρα με $u=\sqrt{\ln x}\Leftrightarrow {{u}^{2}}=\ln x\Leftrightarrow {{e}^{{{u}^{2}}}}=x$ προκύπτει ότι

$2u{{e}^{{{u}^{2}}}}du=dx$ και με $x=1\to u=0,\,\,x=e\to u=1$ και τότε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{\sqrt{lnx}}dx=\int\limits_{0}^{1}{u({{e}^{{{u}^{2}}}}{)}'}du=\left[ u{{e}^{{{u}^{2}}}} \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{u}^{2}}}}}du\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{u}^{2}}}}}du+\int\limits_{1}^{e}{\sqrt{lnx}}dx=e\Leftrightarrow I=e}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

M.S.Vovos · #7

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε: …από εδώ και πέρα μόνο παράνομα μπορώ να βρώ πότε γίνεται ελάχιστο, και αυτό συμβαίνει

όταν $t=\frac{1}{2}$ ….(…ο δημιουργός τι θα πεί…)

Σωστά, κ. Βασίλη. Χρειάζεται παραγώγιση της συνάρτησης-ολοκλήρωμα. Την ανέβασα επειδή τη θεωρώ ενδιαφέρουσα και για τα παιδιά (όσοι είναι) που δίνουν ξανά, με το παλιό σύστημα.

Φιλικά,
Μάριος

Λάμπρος Μπαλός · #8

G.Bas έγραψε: Έχουμε το καλύτερο $\displaystyle{\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x\leq e-1.}$

Να δείξουμε κι αυτό;

$\int_{0}^{1} f(x) dx < \frac{17e}{30}$

makisman · #9

M.S.Vovos έγραψε:
KAKABASBASILEIOS έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε: …από εδώ και πέρα μόνο παράνομα μπορώ να βρώ πότε γίνεται ελάχιστο, και αυτό συμβαίνει

όταν $t=\frac{1}{2}$ ….(…ο δημιουργός τι θα πεί…)

Σωστά, κ. Βασίλη. Χρειάζεται παραγώγιση της συνάρτησης-ολοκλήρωμα. Την ανέβασα επειδή τη θεωρώ ενδιαφέρουσα και για τα παιδιά (όσοι είναι) που δίνουν ξανά, με το παλιό σύστημα.

Φιλικά,
Μάριος

Παράνομο δε το λες, ανέντιμο ναι.
Αν θεωρήσουμε

παράγουσα της

τότε $\int_{0}^{x}{f(x)dx}=F(x)-F(0)$ και μπορούμε με παραγώγιση να βρούμετο ακρότατο.

makisman · #10

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: Να δείξουμε κι αυτό;

$\displaystyle{\int_{0}^{1} f(x) dx < \frac{17e}{30}$

Αν και νομίζω κάποια ανίσωση έχεις στο μυαλό σου ,γράφω μια λύση με πολλες πράξεις

με 3 παραγοντικές είναι $\displaystyle{I=\int_{0}^{1}e^{x^2}dx=\frac{9e}{15}-\frac{8}{15}\int_{0}^{1}x^6e^{x^2}dx$

τώρα $\displaystyle{e^{x^2}\geq x^2+1\Rightarrow x^6e^{x^2}\geq x^8+x^6\Rightarrow \int_{0}^{1}x^6e^{x^2}dx\geq \int_{0}^{1}(x^8+x^6)dx=\frac{16}{63}> \frac{1}{4}$

$\displaystyle{\Rightarrow -\frac{8}{15}\int_{0}^{1}x^6e^{x^2}dx< -\frac{2}{15}\Rightarrow \frac{9e}{15}-\frac{8}{15}\int_{0}^{1}x^6e^{x^2}dx< \frac{9e}{15}-\frac{2}{15}$

άρα $\displaystyle{I< \frac{9e}{15}-\frac{2}{15}=\frac{18e}{30}-\frac{4}{30}<\frac{18e}{30}-\frac{e}{30}=\frac{17e}{30}$

Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Re: Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Re: Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Re: Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Re: Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Re: Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Re: Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Re: Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Re: Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Re: Διαφορική-Εμβαδόν-Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση