ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Πρόβλημα 1
Δίνεται η αριθμητική πρόοδος $b_1=(x-4)^2, \ b_2=x^2+16, \ldots,$ όπου

πραγματικός αριθμός.
Να προσδιορίσετε:
(α) Το άθροισμα των

πρώτων όρων της.
(β) Την τιμή του

(

), για την οποία ο μέσος όρος των

πρώτων όρων της προόδου ισούται με το τετράγωνο μιας παράστασης του

, για κάθε πραγματικό αριθμό

.

Πρόβλημα 2
Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση: 10x^4-8x^3-24x^2-32x-16=0

.

Πρόβλημα 3
Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g: A \to\mathbb{R}$ , όπου $A=(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$ και $f(x)\cdot g(x)\neq 0$ για κάθε $x\in A$ . Αν για κάθε $x,y\in A$ ισχύουν οι σχέσεις:
$f\left(\dfrac{g(x)}{g(y)}\right)=\dfrac{f(g(x))}{y} \ \ (1)$ και $g\left(\dfrac{f(x)}{f(y)}\right)=\dfrac{g(f(x))}{y} \ \ (2)$ να αποδείξετε ότι:
(α) Οι συναρτήσεις f,g

είναι ‘1-1’ (ένα προς ένα).
(β) $f(x)\cdot f\left(\dfrac{1}{x}\right)=g(x)\cdot g\left(\dfrac{1}{x}\right)=1$ για κάθε $x\in A$ .

Πρόβλημα 4
Δίνεται τρίγωνο ABC

(με

) και ο περιγεγραμμένος κύκλος του c(O,R)

. Ο κύκλος c_1(C,AB)

(με κέντρο το σημείο

και ακτίνα

) τέμνει τον κύκλο (c)

στα σημεία

και

(το

ανήκει στο τόξο στο οποίο δεν ανήκει το σημείο

). Ο κύκλος c_2(B,BD)

(με κέντρο το σημείο

και ακτίνα

) τέμνει τον κύκλο (c_1)

στο σημείο

. Να αποδείξετε ότι η

περνάει από το μέσο

της

.

#2

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 1
Δίνεται η αριθμητική πρόοδος $b_1=(x-4)^2, \ b_2=x^2+16, \ldots,$ όπου πραγματικός αριθμός.
Να προσδιορίσετε:
(α) Το άθροισμα των πρώτων όρων της.
(β) Την τιμή του (), για την οποία ο μέσος όρος των πρώτων όρων της προόδου ισούται με το τετράγωνο μιας παράστασης του , για κάθε πραγματικό αριθμό .

Η λύση βρίσκεται εδώ

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 2
Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση: .

Η λύση βρίσκεται εδώ, εδώ και εδώ

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 3
Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g: A \to\mathbb{R}$ , όπου $A=(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$ και $f(x)\cdot g(x)\neq 0$ για κάθε $x\in A$ . Αν για κάθε $x,y\in A$ ισχύουν οι σχέσεις:
$f\left(\dfrac{g(x)}{g(y)}\right)=\dfrac{f(g(x))}{y} \ \ (1)$ και $g\left(\dfrac{f(x)}{f(y)}\right)=\dfrac{g(f(x))}{y} \ \ (2)$ να αποδείξετε ότι:
(α) Οι συναρτήσεις είναι ‘1-1’ (ένα προς ένα).
(β) $f(x)\cdot f\left(\dfrac{1}{x}\right)=g(x)\cdot g\left(\dfrac{1}{x}\right)=1$ για κάθε $x\in A$ .

Η λύση βρίσκεται εδώ

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 4
Δίνεται τρίγωνο (με ) και ο περιγεγραμμένος κύκλος του . Ο κύκλος (με κέντρο το σημείο και ακτίνα ) τέμνει τον κύκλο στα σημεία και (το ανήκει στο τόξο στο οποίο δεν ανήκει το σημείο ). Ο κύκλος (με κέντρο το σημείο και ακτίνα ) τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Να αποδείξετε ότι η περνάει από το μέσο της .

Η λύση βρίσκεται εδώ και εδώ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση