Εμβαδόν χωρίου

Θεοδωρος Παγωνης · #1

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)={{e}^{x}}\ln x$ τον άξονα {x}'x

και τις ευθείες x=1

και

δεν υπερβαίνει το $\frac{{{e}^{2e}}-{{e}^{2}}+2e-4}{4}$ .

G.Bas · #2

Θεοδωρος Παγωνης έγραψε:Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)={{e}^{x}}\ln x$ τον άξονα και τις ευθείες και δεν υπερβαίνει το $\frac{{{e}^{2e}}-{{e}^{2}}+2e-4}{4}$ .

Ισχύει
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_1^e 2e^x\ln x\,\mathrm{d}x&<\int_1^e e^{2x}+\ln^2x\,\mathrm{d}x\\&=\left[\frac{1}{2}e^{2x}+x\ln^2x-2x\ln x+2x\right]_1^e\\&=\frac{e^{2e}-e^2}{2}+e-2\\&\Leftrightarrow \int_1^e e^x\ln x\,\mathrm{d}x<\frac{e^{2e}-e^2+2e-4}{4}. \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #3

Θεοδωρος Παγωνης έγραψε:Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)={{e}^{x}}\ln x$ τον άξονα και τις ευθείες και δεν υπερβαίνει το $\frac{{{e}^{2e}}-{{e}^{2}}+2e-4}{4}$ .

Έχουμε ότι το εμβαδόν της συνάρτησης δίδεται του τύπου:

$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}(\Omega) &=\int_{1}^{e}\left | f(x) \right | \, {\rm d}x \\ &\!\!\!\!\!\overset{f(x)\geq 0 \; \forall x \in [1, e]}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!=\!=\!} \int_{1}^{e}f(x)\, {\rm d}x \end{aligned}}$

Τότε κάνουμε μία φορά παράγοντες και έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &=\int_{1}^{e}e^x \ln x \, {\rm d}x \\ &=\left [ e^x \ln x \right ]_1^e - \int_{1}^{e}\frac{e^x}{x}\, {\rm d}x \\ &=e^e - \int_{1}^{e}\frac{e^x}{x}\, {\rm d}x \end{aligned}}$

Όμως , η συνάρτηση $g(x)=\frac{e^x}{x}$ είναι γνήσια αύξουσα στο [1, e]

(απλό) συνεπώς για $1 \leq x \leq e \Rightarrow e \leq g(x) \leq \frac{e^e}{e}$ και κατασκευαστικά έχουμε:

$\displaystyle{\begin{matrix} &\displaystyle \int_{1}^{e}e \, {\rm d}x \leq \int_{1}^{e}g(x)\, {\rm d}x \leq \int_{1}^{e}\frac{e^e}{e}\, {\rm d}x&\Rightarrow \\\\ &\displaystyle e\left ( e-1 \right ) \leq \int_{1}^{e}g(x)\, {\rm d}x \leq \frac{e^e}{e}\left ( e-1 \right ) & \Rightarrow \\\\ & \displaystyle -e \left ( e-1 \right )\geq - \int_{1}^{e}g(x)\, {\rm d}x \geq - \frac{e^e}{e}\left ( e-1 \right ) & \Rightarrow \\\\ &\displaystyle e^e - e\left ( e-1 \right )\geq e^e - \int_{1}^{e}g(x)\, {\rm d}x \geq e^e - \frac{e^e}{e}\left ( e-1 \right ) & \end{matrix}}$

Συνεπώς $\displaystyle{{\rm E}\left ( \Omega \right ) \leq e^e -e^2 +e \approx 10.48}$ .

Υ.Σ: Το αποτέλεσμα που δίνεται πάνω είναι περίπου ίσο με $\displaystyle{55.92}$ ενώ η τιμή του ολοκληρώματος είναι περίπου 8.83

.

Χμμ... χρειάζεται βέβαια να δείξουμε ότι ο αριθμός που βρήκα είναι μικρότερος από το δοσμένο κάτι που για την ώρα δεν έχω καταφέρει να βγάλω με το χέρι.

#4

Όπως επισημαίνει και ο Αποστόλης παραπάνω, το φράγμα είναι "απογειωμένο". Η απόδειξη του Γιώργου πετυχαίνει ακριβώς το επιθυμητό φράγμα , αλλά αυτό απέχει πάρα πολύ από την πραγματική τιμή του ολοκληρώματος. Μια καλύτερη εκτίμηση βρίσκουμε απλά ως εξής:

$\displaystyle{\int_{1}^{e}e^x\ln xdx<\int_{1}^{e}e^xdx=e^e-e\simeq 12,44}$

Απομένει να αποδείξουμε ότι ισχύει

$\displaystyle{e^e-e<\frac{e^{2e}-e^2+2e-4}{4}}$

δηλαδή ότι

$\displaystyle{e^{2e}+6e>4e^e+e^2+4.}$

Αυτή είναι συνέπεια των

$\displaystyle{\bullet e^e>4\implies \boxed{e^{2e}>4e^e},}$

$\displaystyle{\bullet 4>e\implies \boxed{4e>e^2},}$

$\displaystyle{\bullet \boxed{2e>4}}$

#5

Αν θεωρείται γνωστή η κατά παράγοντας ολοκλήρωση, οπότε εύκολα βρίσκονται οι παράγουσες (x^2-2x+2)e^x

και

των

και

... μπορούμε να πετύχουμε καλύτερη προσέγγιση προσεγγίζοντας την lnx

ΕΚ ΤΩΝ ΑΝΩ με ανάστροφη παραβολή που διέρχεται, όπως και η lnx

, από τα

και

: αναζητούμε ax^2+bx+c

τέτοια ώστε a+b+c=0

,

, KAI $2a\cdot1+b=1/1$ (ίσες κλίσεις* λογαρίθμου και παραβολής στο

), και η επίλυση του 3 x 3 συστήματος δίνει $a=\displaystyle\frac{e-2}{-e^2+2e-1}$ , $b=\displaystyle\frac{-e^2+3}{-e^2+2e-1}$ , $c=\displaystyle\frac{e^2-e-1}{-e^2+2e-1}$ , οπότε

$\displaystyle\int_{1}^{e}{e^xlnxdx}<\displaystyle\frac{e-2}{-e^2+2e-1}\int_{1}^{e}{x^2e^xdx}+\displaystyle\frac{-e^2+3}{-e^2+2e-1}\int_{1}^{e}{xe^xdx}+\displaystyle\frac{e^2-e-1}{-e^2+2e-1}\int_{1}^{e}{e^xdx}=$

$=\displaystyle\frac{e^e(-2e^2+8e-8)-e^3-e^2+5e}{-e^2+2e-1}\approx9,9984$

*ΠΩΣ όμως εξασφαλίζουμε ότι με ίσες κλίσεις στην αφετηρία η ανάστροφη παραβολή θα είναι πάνω από τον λογάριθμο μέχρι το τέρμα; Πολύ απλά, από $2a\cdot e+b<1/e\leftrightarrow 2e+1<e^2$ γνωρίζουμε ότι η κλίση της παραβολής στο τέρμα είναι μικρότερη της κλίσης του λογαρίθμου στο τέρμα, άρα η παραβολή προσεγγίζει τον λογάριθμο στο τέρμα εκ των άνω, οπότε ... ή η παραβολή αρχίζει κάτω από τον λογάριθμο και τελειώνει πάνω από τον λογάριθμο (τουλάχιστον ένα σημείο καμπής, άτοπο) ή η παραβολή αρχίζει πάνω από τον λογάριθμο, συνεχίζει κάτω του, και τελειώνει πάνω του (τουλάχιστον δύο σημεία καμπής, άτοπο). [Διαλέγουμε ίσες κλίσεις στην αφετηρία, και όχι κλίση παραβολής μεγαλύτερη της κλίσης του λογαρίθμου ... για όσο το δυνατόν μικρότερο άνω φράγμα. (Θα μπορούσαμε επίσης να αρχίσουμε με ίσες κλίσεις στο τέρμα επιδιώκοντας κλίση παραβολής μεγαλύτερη της κλίσης λογαρίθμου στην αφετηρία, αλλά δεν το δοκίμασα.)]

Γιώργος Μπαλόγλου

#6

Tolaso J Kos έγραψε:Χμμ... χρειάζεται βέβαια να δείξουμε ότι ο αριθμός που βρήκα είναι μικρότερος από το δοσμένο κάτι που για την ώρα δεν έχω καταφέρει να βγάλω με το χέρι.

Τόλη το ζητούμενο $e^e-e^2+e<\displaystyle\frac{e^{2e}-e^2+2e-4}{4}$ είναι ισοδύναμο προς την $e^{2e}-4e^e+3e^2-2e-4>0$ , μία αρκετά χαλαρή ανισότητα: από $e^{2e}>2,5^5$ προκύπτει η $e^{2e}>\displaystyle\frac{3125}{32}>97$ *, οπότε, σε συνδυασμό με τις e^e<3^3=27

,

, λαμβάνουμε $e^{2e}-4e^e+3e^2-2e-4>97-108+21-6-4=0$

*στην πραγματικότητα ... $e^{2e}>229$

Γιώργος Μπαλόγλου

Εμβαδόν χωρίου

Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Μέλη σε σύνδεση