Ανισότητες

#1

Να αποδείξετε ότι:

1) $\displaystyle{4{({a^2} + ab + {b^2})^3} \ge 27{a^2}{b^2}{(a + b)^2},a,b \in R}$

2) Αν a,b,c

είναι πλευρές τριγώνου, τότε: $\displaystyle{\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{a + c - b}} \ge \frac{9}{{a + b + c}}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε:Να αποδείξετε ότι:

1) $\displaystyle{4{({a^2} + ab + {b^2})^3} \ge 27{a^2}{b^2}{(a + b)^2},a,b \in R}$

2) Αν είναι πλευρές τριγώνου, τότε: $\displaystyle{\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{a + c - b}} \ge \frac{9}{{a + b + c}}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Αν έχουν προταθεί ξανά, που είναι πολύ πιθανόν, θα παρακαλούσα να μην δοθεί αμέσως παραπομπή, μήπως και θέλει κάποιος να ασχοληθεί.

Ευχαριστώ.

Kαλημέρα Γιώργο

Για την δεύτερη ανισότητα

Θέτουμε $x=a+b-c,y=b+c-a,z=a+c-b,x+y++z=2\tau$

Συνεπώς η αποδεικτέα σχέση γράφεται : $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\geq \dfrac{9}{x+y+z}\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq 8xzy,(*)$

Η (*)

αποδεικνύεται εφαρμόζοντας την βασική ανισότητα ανισότητα $x+y\geq ,2\sqrt{xy},x>0,y>0$ τρείς φορές και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη

Η ισότητα ισχύει σε ισόπλευρο τρίγωνο

Γιάννης

raf616 · #3

george visvikis έγραψε:Να αποδείξετε ότι:

1) $\displaystyle{4{({a^2} + ab + {b^2})^3} \ge 27{a^2}{b^2}{(a + b)^2},a,b \in R}$

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα $(a+b)^2 \geq 4ab$ έχουμε:

$4(a^2 + ab + b^2)^3 = 4((a + b)^2 - ab)^3 \geq 4\left((a+b)^2 - \dfrac{(a+b)^2}{4}\right)^3 = \dfrac{27}{16}(a+b)^6$

Αρκεί επομένως $(a+b)^4 \geq 16a^2b^2$ η οποία όμως προκύπτει από την πρώτη που αναφέραμε με τετραγωνισμό. Η ισότητα πιάνεται όταν a=b

.

G.Bas · #4

george visvikis έγραψε:Να αποδείξετε ότι:

1) $\displaystyle{4{({a^2} + ab + {b^2})^3} \ge 27{a^2}{b^2}{(a + b)^2},a,b \in R}$

2) Αν είναι πλευρές τριγώνου, τότε: $\displaystyle{\frac{1}{{a + b - c}} + \frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{a + c - b}} \ge \frac{9}{{a + b + c}}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Αν έχουν προταθεί ξανά, που είναι πολύ πιθανόν, θα παρακαλούσα να μην δοθεί αμέσως παραπομπή, μήπως και θέλει κάποιος να ασχοληθεί.

Ευχαριστώ.

Για τη 1η ισχύει

$\displaystyle{4(a^2+ab+b^2)\geq 3(a+b)^2,\quad (a^2+ab+b^2)^2\geq 9a^2b^2.}$ Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη έχουμε τη ζητούμενη.

Η 2η είναι άμμεση από Cauchy-Schwarz

.

Ανισότητες

Ανισότητες

Re: Ανισότητες

Re: Ανισότητες

Re: Ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση