Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

ann79 · #1

Έστω $f:R\rightarrow R$ μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση $f^{3}(x)+f(x)=x$ για κάθε

πραγματικό. Να υπολογιστεί το

$I=\int_{0}^{2}{f(x)dx}$

lowbaper92 · #2

Για

και

προκύπτει $f\left(0 \right)=0$ και $f\left(2\right)=1$ αντίστοιχα.

$\displaystyle{f^{3}\left(x \right)+f\left(x \right)=x\Rightarrow f^{3}\left(x \right)f'\left(x \right)+f\left(x \right)f'\left(x \right)=xf'\left(x \right)}\Rightarrow$

$\displaystyle{\Rightarrow \left[\frac{f^{4}\left(x \right)}{4} \right]_{0}^{2}+\left[\frac{f^{2}\left(x \right)}{2} \right]_{0}^{2}=\left[xf\left(x \right) \right]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}{f\left(x \right)}dx\Leftrightarrow I=...}$

#3

Σωστά μεν, αλλά το ερώτημα είναι πόσο κάνει το f(2)

. Ευτυχώς μπορούμε να λύσουμε την άσκηση χωρίς να επιλύσουμε την τριτοβάθμια. Πιο απλά λοιπόν

Υπόδειξη: Η

είναι αντιστρέψιμη με $f^{-1}(0)=0,\, f^{-1}(2)=10$ και γενικότερα $f^{-1}(x)=x^3+x$ . Τώρα κάνουμε χρήση της

$\displaystyle{ \int_0^2f(x)dx + \int _0^{10} f^{-1}(x)dx = 20}$

lowbaper92 · #4

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου, ευχαριστώ για τη 2η λύση.
Αν ένας μαθητής δε θυμάται horner, μπορεί να το σώσει. Η συνάρτηση $g\left(x \right)=x^{3}+x-2$ έχει θετική παράγωγο, άρα γνησίως αύξουσα και 1-1, με μοναδική ρίζα την προφανή x=1

. Επομένως

$f^{3}\left(2 \right)+f\left(2 \right)-2=0\Leftrightarrow g\left(f\left(2 \right) \right)=g\left(1 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{g:"1-1"} f\left(2 \right)=1$

apotin · #5

Αλλά και με απλή παραγοντοποίηση:

$\displaystyle{{x^3} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

apotin έγραψε:Αλλά και με απλή παραγοντοποίηση:

$\displaystyle{{x^3} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1}$

Σωστά αλλά δεν χρειάζεται τόση φασαρία για να πούμε (κυριολεκτικά!) "ένα και ένα κάνει δύο".

Αυτό που εννοούσα είναι ότι εν γένει έχουμε τριτοβάθμια και άρα η τεχνική μπορεί να κολλήσει στις πράξεις.

BAGGP93 · #7

lowbaper92 έγραψε:Για και προκύπτει $f\left(0 \right)=0$ και $f\left(2\right)=1$ αντίστοιχα.

$\displaystyle{f^{3}\left(x \right)+f\left(x \right)=x\Rightarrow f^{3}\left(x \right)f'\left(x \right)+f\left(x \right)f'\left(x \right)=xf'\left(x \right)}\Rightarrow$

$\displaystyle{\Rightarrow \left[\frac{f^{4}\left(x \right)}{4} \right]_{0}^{2}+\left[\frac{f^{2}\left(x \right)}{2} \right]_{0}^{2}=\left[xf\left(x \right) \right]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}{f\left(x \right)}dx\Leftrightarrow I=...}$

Στην ίδια λογική.

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x&=\left[x\,f(x)\right]_{0}^{2}-\int_{0}^{2}x\,f^\prime(x)\,\mathrm{d}x\\&=2\,f(2)-\int_{0}^{2}(f^3(x)+f(x))\,f^\prime(x)\,\mathrm{d}x\\&=2-\int_{0}^{2}\left[f^3(x)\,f^\prime(x)+f(x)\,f^\prime(x)\right]\,\mathrm{d}x\\&=2-\left[\dfrac{f^4(x)}{4}+\dfrac{f^2(x)}{2}\right]_{0}^{2}\\&=2-\dfrac{f^4(2)}{4}-\dfrac{f^2(2)}{2}+\dfrac{f^4(0)}{4}+\dfrac{f^2(0)}{2}\\&=2-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{5}{4}\end{aligned}}$

Προσθέτω ακόμη ένα ερώτημα :

Να υπολογίσετε, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}}$ .

edit: Άλλαξα το ερώτημα

Tolaso J Kos · #8

BAGGP93 έγραψε:
Προσθέτω ακόμη ένα ερώτημα :

Να υπολογίσετε, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}}$ .

Από στάνταρ άσκηση (την οποία έχουμε δει πολλές φορές στο forum) έχουμε ότι η

είναι συνεχής, 1-1

, γνήσια μονότονη και $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ συνεπώς ισχύει ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=+\infty}$ οπότε για το ζητούμενο όριο έχουμε ότι:

$\displaystyle{f(x)[1+f^2(x)]=x \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{1}{f^2(x)+1} \xrightarrow{x \rightarrow +\infty} 0}$

BAGGP93 · #9

Πιο εύκολα, χωρίς τη συνέχεια.

Για $\displaystyle{x>0}$ έχουμε $\displaystyle{f(x)=\dfrac{x}{1+f^2(x)}>0}$ , άρα

$\displaystyle{x>0\implies x=f^3(x)+f(x)=f(x)\,\left(1+f^2(x)\right)\geq f(x)\,2\,f(x)=2\,f^2(x)\implies f(x)\leq \sqrt{\dfrac{x}{2}}$ .

Συνεπώς,

$\displaystyle{\forall\,x>0: 0<f(x)\leq \sqrt{\dfrac{x}{2}}\iff \forall\,x>0: 0<\dfrac{f(x)}{x}\leq \dfrac{1}{\sqrt{2\,x}}$

και το κριτήριο παρεμβολής δίνει το ζητούμενο.

Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

Re: Συναρτησιακή και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση