Βρείτε την f!

M.S.Vovos · #1

Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left ( -\infty ,1 \right )\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:

$\bullet f'(x)\neq 0$ , για κάθε .

$\displaystyle \bullet \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=1$

$\displaystyle \bullet f\left ( f'(x)-e^{f(x)} \right )=\left ( f''(x)-f'(x)e^{f(x)} \right )\cdot f'\left ( f'(x)-e^{f(x)} \right )$ , για κάθε .

Να βρείτε τη συνάρτηση .

Φιλικά,
Μάριος

lowbaper92 · #2

Αρχικά, η

είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και διάφορη του μηδενός, άρα διατηρεί πρόσημο. Επομένως η

είναι γνησίως μονότονη και 1-1

Έστω $\displaystyle{g\left(x \right)=\frac{f\left(x \right)}{x},\; x\in \left(-\infty,0 \right)\cup\left(0,1 \right)}$ με $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}g\left(x \right)=1}$

$\displaystyle{f\left(x \right)=xg\left(x \right)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0}f\left(x \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(xg\left(x \right) \right)=0\cdot 1\Leftrightarrow f\left(0 \right)=1}$ γιατί η

είναι συνεχής
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f\left(x \right)}{x}=1\Leftrightarrow f'\left(0 \right)=1}$

Έστω $\displaystyle{h\left(x \right)=f'\left(x \right)-e^{f\left(x \right)},\; x<1}$ με
$\displaystyle{h'\left(x \right)=f''\left(x \right)-e^{f\left(x \right)}f'\left(x \right)}$

Η αρχική γράφεται:
$\displaystyle{f\left(h\left(x \right) \right)=h'\left(x \right)f'\left(h\left(x \right) \right)\Leftrightarrow f\left(h\left(x \right) \right)=\left(f\left(h\left(x \right) \right) \right)'\Leftrightarrow f\left(h\left(x \right) \right)=ce^{x}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\mathop \Leftrightarrow \limits^{c=0}f\left(h\left(x \right) \right)=0=f\left(0 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f:"1-1"}h\left(x \right)=0\Leftrightarrow f'\left(x \right)=e^{f\left(x \right)}}$

Εύκολα καταλήγουμε στην $\displaystyle{f\left(x \right)=-ln\left(1-x \right),\; x<1}$

Βρείτε την f!

Βρείτε την f!

Re: Βρείτε την f!

Μέλη σε σύνδεση