ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Ιστοσελίδα · #1

Ας συγκεντρώσουμε 20 περίπου ασκήσεις σε σχολικό επίπεδο, από το κεφάλαιο των πολυωνύμων, να τις λύσουμε αναλυτικά, να τις γράψουμε σε αρχείο word και να τις τοποθετήσουμε στα αρχείο της λέσχης για οποιαδήποτε χρήση. Ξεκινάω προτείνοντας 5 ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ 1η
Αν $\displaystyle{ \alpha ^3 + \beta ^3 + \gamma ^3 = 3\alpha \beta \gamma }$ και $\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma \ne 0 }$ , να δείξετε ότι το πολυώνυμο
$\displaystyle{ P(x) = (\alpha - \beta )x^2 + (\beta - \gamma )x + \gamma - \alpha }$
είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ΑΣΚΗΣΗ 2η
Αν $\displaystyle{ P(x) = x^{15} - 4x^{14} + 2x^{13} + 2010 }$ , να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης
$\displaystyle{ A = \frac{1}{2} \cdot \left[ {P(2 + \sqrt 2 ) + P(2 - \sqrt 2 )} \right] }$

ΑΣΚΗΣΗ 3η
Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{ P(x) = (\lambda ^2 - 4)x^4 + x^3 - 5x^2 + 6x + 4\lambda + 6 }$ .
Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το 1, να βρεθεί ο βαθμός του και οι άλλες του ρίζες.

ΑΣΚΗΣΗ 4η
Δίνεται ένα μη σταθερό πολυώνυμο P(x) και οι πραγματικοί αριθμοί α, β διάφοροι μεταξύ τους.
Αν $\displaystyle{ \pi _1 (x) }$ και $\displaystyle{ \pi _2 (x) }$ τα πηλίκα των διαιρέσεων του πολυωνύμου P(x) με τα x- α και x – β αντίστοιχα, τότε:
i) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{ \pi _1 (\beta ) = \pi _2 (\alpha ) }$
ii) Αν ισχύει: $\displaystyle{ \pi _1 (x) \cdot P(x) = x \cdot \pi _2^3 (x) + \pi _1^2 (x) }$ να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x)

ΑΣΚΗΣΗ 5η
Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \sqrt {x^2 + 8x + 7} - \sqrt {x^2 + 8x} = 1 }$

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Καλημέρα και καλή χρονιά
Από ένα παλιό laptop που χρησιμοποιώ εδώ στην πρωτεύουσα στέλνω για την άσκηση 1 για το καλό του νέου χρόνου ...

ΑΣΚΗΣΗ 1
Από την ταυτότητα του Euler προκύπτει ότι α = β = γ και επομένως το πολυώνυμο είναι το μηδενικό .

papel · #3

Για την 5 θετω u=x^2+8x και εκτελωντας τις απλες πραξεις βρισκω χ=-9 και χ=1.

papel · #4

Για την 3 απο P(1)=0 αρα λ=-2 και degP=3 .Aντικαθιστωντας την τιμη του λ βγαινει
χ^3-5χ^2+6χ-2=0 και επειδη P(1)=0 γραφεται (χ-1)(χ^2-4χ+2)=0.Ας γραψουμε
και τις ριζες χ1=1 , χ2=2-ριζα(2) ,χ3=2+ριζα(2).

Eukleidis · #5

Για την τρίτη μετα απο πράξεις προκύπτει ότι λ=-2
Αρα ο βαθμός του πολ. είναι 3.
Ο χ-1 είναι παραγοντας του πολυωνυμου, παραγοντοποιω και ετσι

P(x)=(x-1)(x^2-4x+2)

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #6

ΑΣΚΗΣΗ 3

Επειδή η χ=1 είναι ρίζα του Πολυωνύμου, έχουμε P(1)=0. Οπότε
$\displaystyle{ \lambda ^2 - 4 + 1 - 5 + 6 + 4\lambda + 6 = 0 \Leftrightarrow \lambda ^2 + 4\lambda + 4 = 0 \Leftrightarrow (\lambda + 2)^2 = 0 \Leftrightarrow \lambda = - 2 }$

Για λ=-2 έχουμε $\displaystyle{ P(x) = x^3 - 5x^2 + 6x - 2 }$ ,οπότε έχουμε πολυώνυμο 3ου βαθμου.

Με σχήμα Horner έχουμε $\displaystyle{ P(x) = (x - 1)(x^2 - 4x + 2) }$

P(x)=0 $\displaystyle{ \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{ x = 1 }$

ή $\displaystyle{ x^2 - 4x + 2 = 0\begin{array}{*{20}c} {} & {(1)} \\ \end{array} }$ Η (1) έχει ρίζες τις $\displaystyle{ x_{1,2} = 2 \pm \sqrt 2 }$

Βλέπω οτι ήρθα τρίτος....

#7

Να συμπληρώσω τις ασκήσεις
ΑΣΚΗΣΗ 6

Να λυθεί η εξίσωση: (x^2-2x+2)^3+(x^2-2x-1)+1 = 0

ΑΣΚΗΣΗ 7
Δίνονται τα πολυώνυµα P(x) = $(x^2-x-1)^2^0^0^4\cdot (x^2+x-1)^2^0^0^3$ και
Q(x) = $(3x^2-5x+1)^2^0^0^5\cdot (3x^2-x-1)^2^0^0^6$ .
Να βρεθούν τα αθροίσµατα των συντελεστών των πολυωνύµων P(x) ,Q(x) , Π(x) = P(x) $\cdot$ Q(x)+2003 και T(x) = (P(x)-Q(x))^1^1-44

Χρήστος

Χρήστος Λαζαρίδης · #8

Άσκηση 6
Η εξίσωση ορίζεται στο R και είναι ισοδύναμη:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2x + 2 = y} \\ {{y^3} + y - 2 = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2x + 2 = y} \\ {\left( {y - 1} \right)({y^2} + y + 2) = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 2x + 2 = y} \\ {y = 1} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow }$

$\displaystyle {{x^2} - 2x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = 1}$

Φιλικά Χρήστος

Χρήστος Λαζαρίδης · #9

Άσκηση 7

Έστω το πολυώνυμο $\displaystyle{R(x) = {a_v}{x^v} + {a_{v - 1}}{x^{v - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}}$ , τότε:
το άθροισμα των συντελεστών του είναι $\displaystyle{R(1) = {a_v} + {a_{v - 1}} + ... + {a_1} + {a_0}}$ .

$\displaystyle{P(1) = {(1 - 1 - 1)^{2004}}{(1 + 1 - 1)^{2003}} = 1}$
$\displaystyle{Q(1) = {(3 - 5 + 1)^{2005}}{(3 - 1 + 1)^{2006}} = - 1}$
$\displaystyle{\Pi (1) = - 1 + 2003 = 2002}$
$\displaystyle{{\rm T}(1) = {2^{11}} - 44}$

Φιλικά Χρήστος

giannisn1990 · #10

Για την Άσκηση 2 μήπως το πολυώνυμο είναι το $P(x)=x^{15}-4x^{14}+2x^{13}+2010$ ?

Ιστοσελίδα · #11

Nαι Γιάννη ήταν τυπογραφικό λάθος και μόλις το διόρθωσα

giannisn1990 · #12

Συνεχίζω με την λύση της λοιπόν ..

Έστω $a=2+\sqrt{2} , b=2-\sqrt{2}$ .Τότε τα a,b

επιλύουν την εξίσωση $x^{2}-4x+2=0 \Rightarrow x^{15}-4x^{14}+2x^{13}=0$ οπότε

$P(a)=a^{15}-4a^{14}+2a^{13}+2010=0+2010=2010$

$P(b)=b^{15}-4b^{14}+2b^{13}+2010=0+2010=2010$

άρα $\displaystyle A=\frac{1}{2}(P(a)+P(b))=2010$

papel · #13

κ.Καρδαμιτση διαμαρτυρομαι εντονως.3 ωρες προσπαθω να την λυσω.Να σας ανασταλει η αδεια αποστολης ασκησεων και να γινει ελεγχος για οινοποση (μερες που ειναι).

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #14

Να δώσω και εγω μερικές...

ΑΣΚΗΣΗ 8

Έστω το πολυώνυμο $\displaystyle{ P(x) = 2x^3 - ax + \beta . }$ . Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{ P(x) }$ με το $\displaystyle{ \chi ^2 - 4 }$ είναι $\displaystyle{ 3\chi - 2 }$
i.Να βρεθούν τα α και β
ii. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσής.
iii. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
iv. Να βρείτε τα διαστήματα του x που η $\displaystyle{ C_P }$ βρίσκεται πάνω απο την ευθεία ψ=3χ-2.

ΑΣΚΗΣΗ 9
Αν για το $\displaystyle{ P(x) }$ ισχύει $\displaystyle{ 2P(x) + P(2 - x) = - x^2 - 1 }$
i. Να βρείτε τα P(0) και P(2)
ii.Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το $\displaystyle{ \chi ^2 - 2x }$

ΑΣΚΗΣΗ 10

Αν για το πολυώνυμο $\displaystyle{ P(x) = 8x^3 \varepsilon \phi \alpha - 15x^2 \varepsilon \phi \beta + 4x - 1 }$ έχει παράγοντες τους $\displaystyle{ x - 1 }$
και $\displaystyle{x - \frac{1}{2} }$
i.Να δείξετε οτι $\displaystyle{ \varepsilon \phi \alpha = \frac{1}{4} }$ και $\displaystyle{ \varepsilon \phi \beta = \frac{1}{3} }$
ii. Να λύσετε την ανίσωση P(x)>0
iii. Να υπολογισετε την $\displaystyle{ \varepsilon \phi (2\alpha - \beta ) }$

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #15

ΑΣΚΗΣΗ 9

ι) Για x = 0 , x = 2 λύνουμε το σύστημα που προκύπτει και βρίσκουμε P(0)=1 , P(2)= - 3
ιι) Έχουμε P(x) = x ( x - 2 ) Q(x) + αx + β
Για x = 0 , έχουμε β = 1
για x = 2 έχουμε 2 α + β = - 3 άρα α = - 2 επομένως το υπόλοιπο είναι - 2 x + 1 .

Χρήστος Λαζαρίδης · #16

Άσκηση 10

α) Ρ(1)= 0 και Ρ(1/2) = 0. Από την επίλυση του συστήματος: εφα = 1/4,εφβ = 1/3.

β) $\displaystyle{P(x) = {(x - 1)^2}(2x - 1)}$

$\displaystyle{{(x - 1)^2}(2x - 1) > 0 \Leftrightarrow x \in (\frac{1}{2},1) \cup (1, + \infty )}$

γ) $\displaystyle{\varepsilon \varphi 2a = \frac{{2\varepsilon \varphi a}}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}a}} = \frac{8}{{15}}}$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi (2a - b) = \frac{{\varepsilon \varphi 2a - \varepsilon \varphi b}}{{1 + \varepsilon \varphi 2a\varepsilon \varphi b}} = \frac{9}{{53}}}$

Χρήστος

Οι πράξεις με επιφύλαξη

#17

Για την 8
ι) ισχύει Ρ(2) = 4 και Ρ(-2) = -8 οπότε α = 5 και β = -2
ιι) π(x) = 2x
ιιι) Ρ(x) = (x^2-4) 2x + 3x - 2
ιv) Αν Q(x) = 3x-2
P(x) - Q(x) = 2x (x^2-4) και είναι θετική για -2 < x < 0 ή x > 2

Χρήστος Τσιφάκης

papel · #18

Ασκηση 11)

Ποσα πολυωνυμα P(x) με βαθμο μεγαλυτερο και ισο του 1 ικανοποιουν την :

$\displaystyle{P\left( {{x^2}} \right) = {\left( {P\left( x \right)} \right)^2} = P\left( {P\left( x \right)} \right)}$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #19

Μιας και κ.Καρδαμίτσης ζήτησε " Ας συγκεντρώσουμε 20 περίπου ασκήσεις σε σχολικό επίπεδο, από το κεφάλαιο των πολυωνύμων, να τις λύσουμε αναλυτικά, να τις γράψουμε σε αρχείο word και να τις τοποθετήσουμε στα αρχείο της λέσχης για οποιαδήποτε χρήση."

Βαζω σε WORD λύση για την 3 , 5 και 9.

#20

ΑΣΚΗΣΗ 12
Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) βαθμού μεγαλυτέρου ή ίσου του 2
με το πολυώνυμο f(x) = (x – 1) (x – 2) δίνεται από τον τύπο : υ(x) = [ Ρ(2) – Ρ(1) ] x + 2 Ρ(1) – Ρ(2)

Χρήστος Τσιφάκης

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Μέλη σε σύνδεση