Vojtech Jarnik 1992/2 Category I

#1

Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο πραγματικές κυρτές συναρτήσεις f(x),g(x)

ώστε $f(x)-g(x)=\sin{x}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

panagiotis99 · #2

Καλησπέρα, όντως λίγο εύκολο αφού
$f(x)=x^2+\sin x$ και g(x)=x^2

ικανοποιούν

nickthegreek · #3

Ας περιοριστούμε στο διάστημα [-10,10]

. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αύξουσες συναρτήσεις f , g

που να ικανοποιούν τη δοσμένη.

Δυσκολότερο : Nα βρείτε μια συνεχή συνάρτηση $h : [0,1] \to \mathbb{R}$ που να μη μπορεί να γραφεί ως διαφορά αυξουσών συναρτήσεων.

#4

nickthegreek έγραψε:Ας περιοριστούμε στο διάστημα . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αύξουσες συναρτήσεις που να ικανοποιούν τη δοσμένη.

Μπορούμε να πάρουμε $f(x) = x+\sin{x}$ και g(x) = x

. Ο έλεγχος ότι είναι αύξουσες είναι απλός με χρήση πρώτης παραγώγου.

nickthegreek έγραψε: Δυσκολότερο : Nα βρείτε μια συνεχή συνάρτηση $h : [0,1] \to \mathbb{R}$ που να μη μπορεί να γραφεί ως διαφορά αυξουσών συναρτήσεων.

Θεωρώ την συνάρτηση $h(x) = \begin{cases} 0 & x=0, \\ x\sin{(\pi/2x)} & x \in (0,1].\end{cases}$

Η

είναι συνεχής στο

(από ισοσυγκλίνουσες) αφού $|h(x)| \leqslant x$ .

Ας υποθέσουμε ότι h(x) = f(x) - g(x)

για κάθε $x \in [0,1]$ με τις f,g

να είναι αύξουσες.

Θεωρούμε την ακολουθία x_n = 1/n

. Έχουμε

$\displaystyle{ |h(x_n) - h(x_{n+1})| \leqslant |f(x_n) - f(x_{n+1})| + |g(x_n) - g(x_{n+1})| = f(x_{n})-f(x_{n+1}) + g(x_{n})-g(x_{n+1}).}$

αφού οι f,g

είναι αύξουσες. Άρα

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^N |h(x_n) - h(x_{n+1})| \leqslant f(1) - f(x_{N+1}) + g(1) - g_{x_{N+1}} \leqslant f(1)-f(0) + g(1) - g(0).}$

Οπότε η σειρά

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |h(x_n) - h(x_{n+1})|}$

συγκλίνει. Όμως

$\displaystyle{ |h(x_n) - h(x_{n+1})| \geqslant \frac{1}{n+1}}$

αφού για

περιττό είναι $h(x_n) = \pm 1/n$ και για

άρτιο είναι h(x_n) = 0

. Τότε όμως η

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |h(x_n) - h(x_{n+1})|}$

αποκλίνει. (Σύγκριση με αρμονική σειρά.)

Αυτό είναι άτοπο άρα δεν μπορούμε να γράψουμε την

σαν διαφορά αύξουσων συναρτήσεων.

[Σίγουρα πιο όμορφο αυτό από το αρχικό θέμα.]

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Συναρτήσεις ορισμένες σε κλειστό διάστημα που γράφονται σαν διαφορά
δύο αυξουσών έχουν όνομα.
Λέγονται συναρτήσεις φραγμένης κύμανσης.
(functions of bounded variation)
Βλέπε στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_variation
και σε όλα τα βιβλία προχωρημένης Ανάλυσης.
Ο Δημήτρης έδωσε πολύ ευστοχά ένα παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης
που δεν είναι φραγμένης κύμανσης.

Vojtech Jarnik 1992/2 Category I

Vojtech Jarnik 1992/2 Category I

Re: Vojtech Jarnik 1992/2 Category I

Re: Vojtech Jarnik 1992/2 Category I

Re: Vojtech Jarnik 1992/2 Category I

Re: Vojtech Jarnik 1992/2 Category I

Μέλη σε σύνδεση