Παραλληλία διαγωνίου με τμήμα σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο

dimplak · #1

Δίνεται εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD

για το οποίο ισχύει $\frac{AB}{AD} = \frac{CD}{CB}$ .

Έστω E , F , G , H

τα μέσα των πλευρών του AB , BC , CD , AD

αντίστοιχα.

Οι ευθείες AB , CD

τέμνονται στο

, ενώ οι πλευρές AD , BC

τέμνονται στο

.

H διχοτόμος της γωνίας $A \hat{X}{B}$ τέμνει το τμήμα

στο σημείο

.

H διχοτόμος της γωνίας $A \hat{Y}{D}$ τέμνει το τμήμα

στο σημείο

.

Να αποδειχθεί ότι TS // BD

.

Υ.Γ. Επισυνάπτω το αρχείο Geogebra.

#2

Τα τρίγωνα ABC, ACD

είναι ισεμβαδικά, καθώς έχουν ίσα γινόμενα πλευρών $AB\cdot BC=AD\cdot DC$ και παραπληρωματικές τις περιεχόμενες γωνίες B, D

. Επομένως, η

διχοτομεί τη

, που σημαίνει ότι διχοτομεί και τη

, και έχουμε την παραλληλία $XY\parallel BD$ (viewtopic.php?f=22&t=2165).
Έτσι, αρκεί να δείξουμε την παραλληλία $TS\parallel EH$ .
Από τις ομοιότητες των τριγώνων XAB, XDC

και

, προκύπτει ότι οι XE, XG

είναι ισογώνιες στη γωνία

, όπως και οι YH, YF

στη γωνία

. Έτσι, με εφαρμογή Θ. διχοτόμου στα τρίγωνα XEG, YHF

προκύπτουν οι αναλογίες:
$\displaystyle{\frac{ES}{EG}=\frac{XE}{XG}=\frac{AB}{CD}, \frac{HT}{TF}=\frac{YH}{YF}=\frac{AD}{CB}}$ .
Έτσι τελικά έχουμε ότι $\displaystyle{\frac{ES}{EG}=\frac{HT}{TF}}$ από όπου προκύπτει η παραλληλία $TS\parallel EH$ .

Apostolos Manoloudis · #3

Τα τρίγωνα XAC

και

είναι όμοια από το 1ο κριτήριο ομοιότητας διότι έχουν τη γωνία $\hat{X}$ κοινή και επιπλέον

επειδή το τετράπλευρο ABCD

είναι εγγεγραμμένο ισχύει $X \hat{A} B = \hat{C}$ .

Άρα ισχύει ότι: $\frac{XA}{XC} = \frac{AB}{DC} = \frac{\frac{AB}{2}}{\frac{AD}{2}} = \frac{AE}{GC}$ (1)

.

Τα τρίγωνα XAE

και

είναι όμοια από το 2ο κριτήριο ομοιότητας διότι ισχύει από την (1)

ότι

$\frac{XA}{XC} = \frac{AE}{GC}$ και $X \hat{A} E = \hat{C}$ .

Άρα ισχύει ότι: $\frac{XA}{XC} = \frac{XE}{XG}$ (2)

και $A \hat{X} E = G \hat{X} C$ (3) .

Η

είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{X}$ άρα ισχύει ότι : $A \hat{X} S = S \hat{X} C$ (4) .

Ισχύει ότι: $E \hat{X} S = A \hat{X} S - A \hat{X} E = (3) , (4) = S \hat{X} C - G \hat{X} C = S \hat{X} G$ , οπότε το

είναι διχοτόμος της γωνίας $E \hat{X} G$ .

Από το θεώρημα διχοτόμων στο τρίγωνο EXG

ισχύει ότι: $\frac{ES}{SG} = \frac{XE}{XG}$ και λόγω της (2)

ισχύει $\frac{ES}{SG} = \frac{XA}{XC}$ και τέλος λόγω της (1)

ισχύει ότι $\frac{ES}{SG} = \frac{AB}{DC}$ (5)

.

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι : $\frac{HT}{TF} = \frac{AD}{CB}$ (6)

Από υπόθεση έχουμε ότι: $\frac{AB}{AD} = \frac{CD}{CB} \Leftrightarrow \frac{AB}{DC} = \frac{AD}{CB}$ και λόγω των (5) , (6)

προκύπτει ότι: $\frac{ES}{SG} = \frac{HT}{FT}$ (7)

.

Τα σημεία E , F , G , H

είναι μέσα των πλευρών του ABCD

, άρα το

είναι παραλληλόγραμμο και ισχύει ότι EH // GF

.

Από το αντίστροφο του θεωρήματος Θαλή και λόγω των (7) , (8)

προκύπτει ότι : ST // HE // GF

.

Στο τρίγωνο ABD

, τα σημεία E , H

είναι μέσα των πλευρών AB, AD

αντίστοιχα , άρα ισχύει ότι : $HE // = \frac{BD}{2}$ (10)

.

Από τις (9) , (10)

προκύπτει ότι : ST // BD

.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Παραλληλία διαγωνίου με τμήμα σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Παραλληλία διαγωνίου με τμήμα σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Re: Παραλληλία διαγωνίου με τμήμα σε εγγεγραμμένο τετράπλευρ

Re: Παραλληλία διαγωνίου με τμήμα σε εγγεγραμμένο τετράπλευρ

Μέλη σε σύνδεση