Παρατηρήσεις στὶς Πυθαγόρειες Τριάδες.

michmak · #1

Ὄχι ὅτι τὸ θέμα δὲν ἔχει λυθεῖ, ἀλλὰ θὰ παρουσιάσω ἐδῶ κάποιους συλλογισμοὺς σχετικὰ μὲ τὸ μηχανισμὸ παραγωγῆς Π.Τ. (Πυθαγόρειων Τριάδων)

Οἱ πιὸ πολλὲς προτάσεις - συλλογισμοὶ θὰ εἶναι ἀναπόδεικτοι καὶ ἀφήνονται ὡς ἄσκηση:

1) Ἂν a, b, c

, Π.Τ. Μὲ $\displaystyle{{a^{2}=b^{2}+c^{2}}}$ τότε ἢ ὅλοι θὰ εἶναι ἄρτιοι ἢ μόνο ἕνας ἀπὸ τοὺς

καὶ

.
2) Ἄν, βάσει τοῦ 1) θεωρήσουμε ὅτι ὁ

εἶναι ὁ ἄρτιος τότε ἰσχύει ὅτι ὁ ἕνας ἀπὸ τοὺς $\displaystyle{a-b}$ καὶ $\displaystyle{a+b}$ εἶναι ἰσοδύναμος μὲ $\displaystyle{0mod4}$ ἐνῷ ὁ ἄλλος μὲ $\displaystyle{2mod4}$ .
3) Ἂν ἕνας πρῶτος

διαιρεῖ 2 ἀπὸ τοὺς a, b, c

τότε διαιρεῖ καὶ τὸν τρίτο. Συνεπῶς ἀπὸ ἐδῶ καὶ στὸ ἑξῆς θὰ ἀναφερόμαστε σὲ περιπτώσεις ὅπου $\displaystyle{(a,b)=(a,c)=(b,c)=1}$
4) Ἐφ' ὅσον ἀποδείξαμε τὸ 2) εἶναι προφανὲς ὅτι γιὰ τοὺς $\displaystyle{\frac{a-b}{2}}$ καὶ $\displaystyle{\frac{a+b}{2}}$ ὁ ἕνας εἶναι ἄρτιος καὶ ὁ ἄλλος περιττός. Αὐτὸ σημαίνει ὅτι ὁ $\displaystyle{\frac{c}{2}}$ εἶναι ἄρτιος μὲ ὅ,τι αὐτὸ συνεπάγεται.
5) Ἂν

περιττὸς πρῶτος ποὺ διαιρεῖ τὸν ἕναν ἀπὸ τοὺς $\displaystyle{a-b}$ καὶ $\displaystyle{a+b}$ τότε ΔΕΝ διαιρεῖ τὸν ἄλλον! Ἄρα $\displaystyle{(\frac{a-b}{2},\frac{a+b}{2})=1}$ .
6) Μὲ βάση τὸ μηχανισμὸ παραγωγῆς τῶν a, b, c

, ἀπὸ τοὺς k, m,

ὅπου $\displaystyle{k=\sqrt{\frac{a-b}{2}}}$ καὶ $\displaystyle{m=\sqrt{\frac{a+b}{2}}}$ καὶ ἰσχύει $\displaystyle{a=k^{2}+m^{2}}$ , $\displaystyle{b=k^{2}-m^{2}}$ καὶ $\displaystyle{c=2km}$ οἱ k, m

εἶναι ἀκέραιοι.
7) Τὸ 6) φυσικὰ ἰσχύει ἔχοντας προϋποθέσει τὴν παραδοχὴ τοῦ 3) δηλαδὴ οἱ k, m

παράγουν ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΠΡΩΤΟΓΕΝΕΙΣ Π.Τ.!!! (Πρῶτοι μεταξύ τους ἀνὰ δύο) ἐνῷ ὑπάρχουν καὶ παραδείγματα ΜΗ πρωτογενῶν Π.Τ. ποὺ δὲν ἔχουν ἀκέραιους k, m

ποὺ νὰ τοὺς παράγουν μὲ αὐτὸν τὸν τρόπο.

Θυμᾶμαι στὸ λύκειο ποὺ πήγαινα ὅπου καὶ εἶχα πρωτοπληροφορηθεῖ γιὰ τὴν ὕπαρξη αὐτοῦ τοῦ μηχανισμοῦ παραγωγῆς Π.Τ. ὁ καθηγητής μας μᾶς εἶπε "παράγει Π.Τ. γιὰ ὁποιαδήποτε k, m

ἀλλὰ δὲν ξέρω νὰ σᾶς πῶ ἂν ὅλες οἱ Π. Τ. παράγονται ἀπὸ κάποιους k, m

". Ἦρθε λοιπὸν ἡ ὥρα νὰ (μοῦ) λυθεῖ ἡ ἀπορία σχετικὰ μὲ αὐτό: Παράγονται ὅλες οἱ πρωτογενεῖς....

Παρατηρήσεις στὶς Πυθαγόρειες Τριάδες.

Παρατηρήσεις στὶς Πυθαγόρειες Τριάδες.

Μέλη σε σύνδεση