3 Ανισότητες

panagiotis99 · #1

Ας είναι

και

. Να δειχτεί ότι

$\displaystyle{ \sqrt {a^3 + a} + \sqrt {b^3 + b} + \sqrt {c^3 + c}\geq2\sqrt {a + b + c}. }$

$\displaystyle{a\sqrt {a^2 + 1} + b\sqrt {b^2 + 1} + c\sqrt {c^2 + 1}\geq2 ,}$

$\displaystyle{\sqrt {a^4 + b^2} + \sqrt {b^4 + c^2} + \sqrt {c^4 + a^2}\geq2 .}$

#2

panagiotis99 έγραψε:Ας είναι και . Να δειχτεί ότι

$\displaystyle{\sqrt {a^4 + b^2} + \sqrt {b^4 + c^2} + \sqrt {c^4 + a^2}\geq2 .}$

Ξεκινάω ανάποδα:

Είναι

$\displaystyle{\sqrt {a^4 + b^2} + \sqrt {b^4 + c^2} + \sqrt {c^4 + a^2}\geq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2+(a+b+c)^2}\geq \sqrt{1+3}=2.}$

Στο τελευταίο βήμα έγινε χρήση των

$\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca=1,~~(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=3.}$

#3

panagiotis99 έγραψε:Ας είναι και . Να δειχτεί ότι

$\displaystyle{a\sqrt {a^2 + 1} + b\sqrt {b^2 + 1} + c\sqrt {c^2 + 1}\geq2 ,}$

Είναι

$\displaystyle{a\sqrt {a^2 + 1} + b\sqrt {b^2 + 1} + c\sqrt {c^2 + 1}=\sqrt{a^4+a^2}+\sqrt{b^4+b^2}+\sqrt{c^4+c^2}\geq}$

$\displaystyle{\geq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2+(a+b+c)^2}\geq \sqrt{1+3}=2,}}$ για τον ίδιο λόγω όπως προηγουμένως.

#4

panagiotis99 έγραψε:Ας είναι και . Να δειχτεί ότι

$\displaystyle{ \sqrt {a^3 + a} + \sqrt {b^3 + b} + \sqrt {c^3 + c}\geq2\sqrt {a + b + c}. }$

Αυτή δεν μου φαίνεται τόσο άμεση, όσο ήταν οι άλλες δύο:

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{a^3+a=a(a^2+1)=a(a^2+ab+bc+ca)=a(a+b)(a+c),}$

οπότε η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{\sum \sqrt{a(a+b)(a+c)}\geq 2\sqrt{a+b+c}.}$

Ισοδύναμα αποδεικνύουμε ότι

$\displaystyle{\sum a(a+b)(a+c)+2\sum \sqrt{ab(a+b)^2(a+c)(b+c)}\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca).}$ .

Από Cauchy-Schwarz και μετά ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{\sqrt{ab(a+b)^2(a+c)(b+c)}\geq (a+b)\sqrt{ab}(c+\sqrt{ab})=(a+b)ab+c(a+b)\sqrt{ab}\geq (a+b)ab+2c\sqrt{ab}\sqrt{ab}=}$

$\displaystyle{=ab(a+b)+2abc.}$

Άρα

$\displaystyle{\sum \sqrt{ab(a+b)^2(a+c)(b+c)}\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+6abc.}$

Αρκεί τώρα να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{a(a+b)(a+c)+b(b+c)(b+a)+c(c+a)(c+b)+2\left(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+6abc\right)\geq }$

$\displaystyle{\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca).}$

Αυτή μετά τις πράξεις γίνεται

$\displaystyle{a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a),}$

που είναι η ανισότητα Schur.

panagiotis99 · #5

matha έγραψε:
panagiotis99 έγραψε:Ας είναι και . Να δειχτεί ότι

$\displaystyle{ \sqrt {a^3 + a} + \sqrt {b^3 + b} + \sqrt {c^3 + c}\geq2\sqrt {a + b + c}. }$
Αυτή δεν μου φαίνεται τόσο άμεση, όσο ήταν οι άλλες δύο:

Γεια σας Κύριε Θάνο , ευχαριστώ για τον χρόνο σας, μάλλον έπρεπε να τα προτείνω στους juniors τελικά.
Για την δευτερη και την τρίτη δεν είχα προσέξει ότι ήταν τόσο αμεσες όταν τις έλυνα και είχα βρει κάτι πολύ πιο χρονοβόρο και πολύ πιο δύσκολο για αυτο τις πρότεινα εδώ

#6

panagiotis99 έγραψε:Ας είναι και . Να δειχτεί ότι

$\displaystyle{ \sqrt {a^3 + a} + \sqrt {b^3 + b} + \sqrt {c^3 + c}\geq2\sqrt {a + b + c}. }$

Ας αναφερθεί ακόμα ότι με χρήση του δυϊκού μετασχηματισμού, η παραπάνω ανισότητα λαμβάνει τη μορφή

$\displaystyle{\boxed{\frac{1}{\sin \frac{A}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}}\geq 2\sqrt{\frac{4R+r}{r}}}}$

Μια πιο ισχυρή από αυτήν απεδείχθη παλιότερα εδώ:

$\displaystyle{\frac{1}{\sin \frac{A}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}}\geq 3\sqrt{\frac{2R}{r}}.}$

3 Ανισότητες

3 Ανισότητες

Re: 3 Ανισότητες

Re: 3 Ανισότητες

Re: 3 Ανισότητες

Re: 3 Ανισότητες

Re: 3 Ανισότητες

Μέλη σε σύνδεση