Μεγιστοποίηση τετραπλεύρου

Al.Koutsouridis · #1

Σε τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένος κύκλος κέντρου

που εφάπτεται των πλευρών

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Έστω

το σημείο τομής των ευθειών

και

,

το σημείο τομής των ευθειών

και

. Ποιό πρέπει να είναι το τρίγωνο ABC

έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου APQC

; Ποιά η τιμή του για AC = 1

;

#2

Al.Koutsouridis έγραψε:Σε τρίγωνο είναι εγγεγραμμένος κύκλος κέντρου που εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής των ευθειών και , το σημείο τομής των ευθειών και . Ποιό πρέπει να είναι το τρίγωνο έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τετραπλεύρου ; Ποιά η τιμή του για ;

$\bullet$ Είναι $\angle QIC\mathop = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle AIC} \dfrac{{\angle A}}{2} + \dfrac{{\angle C}}{2} = {90^0} - \dfrac{{\angle B}}{2}\mathop = \limits^{BE = BD}$ $\angle DEB\mathop \Rightarrow \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\, - \,\,\alpha \pi \varepsilon \nu \alpha \nu \tau \iota \,\,\varepsilon \sigma \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta } IQEC$ εγγράψιμο σε κύκλο, άρα

$\angle IQC = \angle IEC = {90^0}\mathop \Rightarrow \limits^{\vartriangle AQC\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o\,\,\sigma \tau o\,\,Q} \boxed{AQ = AC \cdot \cos \dfrac{A}{2}}:\left( 1 \right)$

και ομοίως από την εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου $IDPA \Rightarrow \ldots \angle APC = {90^0} \Rightarrow \boxed{CQ = AC \cdot \cos \dfrac{C}{2}}:\left( 2 \right)$ .

$\bullet$ Είναι γνωστό ότι το εμβαδό κυρτού τετραπλεύρου ισούται με το ημιγινόμενο των διαγωνίων του επί το ημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν οι διαγώνιες του, δηλαδή

$\left( {ACEP} \right) = \dfrac{1}{2}AQ \cdot CP \cdot \sin \left( {\angle QIC} \right) =$ $\dfrac{1}{2}AQ \cdot CP \cdot \sin \left( {\dfrac{{\angle A}}{2} + \dfrac{{\angle C}}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}AQ \cdot CP \cdot \cos \dfrac{{\angle B}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)}$

$\boxed{\left( {ACEP} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\angle A}}{2} \cdot \cos \dfrac{{\angle B}}{2} \cdot \cos \dfrac{{\angle C}}{2}} \right) \cdot A{C^2}}:\left( 3 \right)$ .
[attachment=0]μεγιστοποίηση τετραπλεύρου.png[/attachment]
$\bullet$ Είναι : $\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin \left( {\dfrac{{A + B}}{2}} \right)$ $\cdot \cos \left( {\dfrac{{A - B}}{2}} \right) + 2\sin \dfrac{C}{2} \cdot \cos \dfrac{C}{2}\mathop = \limits^{\frac{{A + B}}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi }{2}}$

$2\cos \dfrac{C}{2} \cdot \cos \left( {\dfrac{{A - B}}{2}} \right) + 2\cos \left( {\dfrac{{A + B}}{2}} \right) \cdot \cos \dfrac{C}{2}$ $= 2\cos \dfrac{C}{2} \cdot \left[ {\cos \left( {\dfrac{{A - B}}{2}} \right) + \cos \left( {\dfrac{{A + B}}{2}} \right)} \right]$

$= 2\cos \dfrac{C}{2} \cdot 2\cos \dfrac{A}{2} \cdot \cos \dfrac{B}{2} \Rightarrow$ $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \dfrac{A}{2} \cdot \cos \dfrac{B}{2} \cdot \cos \dfrac{C}{2}$

$\Rightarrow \cos \dfrac{A}{2} \cdot \cos \dfrac{B}{2} \cdot \cos \dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{4}\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)}$ $\boxed{\left( {ACEP} \right) = \dfrac{1}{8}\left( {\sin A + \sin B + \sin C} \right) \cdot A{C^2}}:\left( 4 \right)$ .

$\bullet$ Επίσης ισχύει: $\sin A + \sin B + \sin C + \sin \dfrac{\pi }{3} =$ $2\sin \dfrac{{A + B}}{2} \cdot \cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2\sin \left( {\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right) \cdot \cos \left( {\dfrac{C}{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right) \leqslant$

$2\sin \dfrac{{A + B}}{2} + 2\sin \left( {\dfrac{C}{2} + \dfrac{\pi }{6}} \right) =$ $4\sin \left( {\dfrac{{A + B + C}}{4} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right) \cdot \cos \left( {\dfrac{{A + B - C}}{4} - \dfrac{\pi }{{12}}} \right)\mathop = \limits^{A + B + C = \pi }$

$4\sin \dfrac{\pi }{3} \cdot \cos \left( {\dfrac{{A + B - C}}{4} - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) \leqslant 4\sin \dfrac{\pi }{3}$ $\Rightarrow \sin A + \sin B + \sin C \leqslant 3\sin \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow$ $\boxed{\sin A + \sin B + \sin C \leqslant \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}}:\left( 5 \right)$ .

με την ισότητα στην $\left( 4 \right)$ να προκύψει αν έχει λύση το σύστημα: $\left\{ \begin{gathered} \cos \left( {\dfrac{{A - B}}{2}} \right) = 1 \\ \cos \left( {\dfrac{C}{2} - \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1 \\ \cos \left( {\dfrac{{A + B - C}}{4} - \dfrac{\pi }{{12}}} \right) = 1 \\ A,B,C \in \left( {0,\pi } \right) \\ A + B + C = \pi \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \boxed{A = B = C = \dfrac{\pi }{3}}$ .

$\bullet$ Από $\left( 4 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right)} \left( {ACEP} \right) \leqslant \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16}} \cdot A{C^2}$ , με την ισότητα να προκύψει αν $A = B = C = \dfrac{\pi }{3}$ (το τρίγωνο είναι ισόπλευρο), οπότε

$\boxed{\max \left( {ACEP} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16}} \cdot A{C^2}}:\left( 1 \right)$ και για έχουμε: $\boxed{\max \left( {ACEP} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16}}}$ και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί και υπολογιστεί.

Στάθης

Μεγιστοποίηση τετραπλεύρου

Μεγιστοποίηση τετραπλεύρου

Re: Μεγιστοποίηση τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση