Aναλυτική

erxmer · #1

Δινεται η έλλειψη $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ και σημείο της P(acosc,bsinc)

1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της στο

είναι

2) Το

βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και διαφέρει από της κορυφές της έλλειψης και η εφαπτομένη στο

τέμνει τους άξονες στα σημεία M,N

. Το τρίγωνο OMN

περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των

και παράγει κώνο όγκου

.Να βρείτε το sinc

έτσι ώστε το

να είναι ελάχιστο .

Σταμ. Γλάρος · #2

erxmer έγραψε:Δινεται η έλλειψη $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ και σημείο της

1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της στο είναι

2) Το βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο και διαφέρει από της κορυφές της έλλειψης και η εφαπτομένη στο τέμνει τους άξονες στα σημεία . Το τρίγωνο περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των και παράγει κώνο όγκου .Να βρείτε το έτσι ώστε το να είναι ελάχιστο .

Καλησπέρα! Μια προσπάθεια ...

1. Από τον γνωστό τύπο για την εξίσωση της εφαπτομένης έχουμε: $(\varepsilon ):\displaystyle{\frac{x a cosc}{a^2}+\frac{y b sinc}{b^2}=1}$ $\Leftrightarrow$ (b cosc)x + (asinc)y -ab =0

.

2. Αν

το σημείο τομής της $\varepsilon$ με τον άξονα x'x

, θέτοντας όπου y=0

στην εξίσωσή της προκύπτει $M\left( \displaystyle{\frac{a}{cosc},0\right)$ .

Η εφαπτομένη ισοδυνάμως παίρνει την μορφή : $(\varepsilon ):\displaystyle{y=- \frac{b cosc}{a sinc} x+\frac{ b}{sinc}}$ .

Τώρα ο όγκος του στερεού εκ περιστροφής του χωρίου OMN

γύρω από τον άξονα x'x

είναι :

$V= \displaystyle{\pi \int_{0}^{\frac{a}{cosc}}{\left( - \frac{b cosc}{a sinc} x+\frac{ b}{sinc}\right)^2 dx}=...=\frac{\pi a b^2}{3cosc\cdot sin^2c}}$ ... αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις!

Παραγωγίζοντας την συνάρτηση

ως προς

προκύπτει $V'(c)=\displaystyle{\frac{\pi a b^2 \cdot sinc(3sin^2c-2)}{3sin^4c\cdot cos^2c}}$ .

Οπότε έχουμε V'(c)=0

\displaystyle{\Leftrightarrow

sinc(3sin^2c-2)=0 .

Είναι

sinc\neq 0 διαφορετικά

P(a,0)

sinc>0

P

sinc(3sin^2c-2)=0} $\Leftrightarrow$ $\displaystyle{sinc= \sqrt{\frac{2}{3}}$ , αφού sinc>0

.

Επoμένως από το γνωστό ... πινακάκι προκύπτει ότι ο

είναι ελάχιστος για $\displaystyle{sinc= \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Aναλυτική

Aναλυτική

Re: Aναλυτική

Μέλη σε σύνδεση