Διδακτική

Σταμ. Γλάρος · #1

Καλησπέρα.
Μια διδακτική άσκηση... νομίζω!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R^{*}\rightarrow R$ , για την οποία ισχύουν : (1-e^x)f'(x)=f(x)+1

(1) για κάθε $x\neq 0$ ,
$\displaystyle{f(1)=\frac{e+1}{e-1}$ και f(-1)= -f(1)

.
1) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{e^x +1}{e^x -1}$ , για κάθε $x\neq 0$ .
2) Να εξετάσετε την συνάρτηση

ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
3) Να βρείτε, αν υπάρχει, την αντίστροφη της

.
4) Να μελετήσετε την

ως προς τις συμμετρίες και να αποδείξετε ότι η $C_{f}$ τέμνει την διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων,
ακριβώς σε δύο σημεία.
Ελπίζω να βοηθήσει, ειδικά τους μαθητές μας που δίνουν πανελλήνιες!
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ντεχι · #2

Έχει κάποια αντίστοιχη άσκηση το σχολικό σαν το 4ο ερώτημα;

alexandrosvets · #3

Καλησπέρα σας,
Θα κανω την αρχή με το α) ερώτημα.
Αφαιρούμε και στα δύο μέλη e^xf(x)

και έχουμε:

$(1-e^x)f'(x)-e^xf(x)=f(x)-e^xf(x)+1 \leftrightarrow$

$[(1-e^x)f(x)+1]'=(1-e^x)f(x)+1 \leftrightarrow$

$(1-e^x)f(x)+1=ce^x \leftrightarrow$ για x=1

το

$f(x)=\frac{-e^x-1}{-e^x+1} \leftrightarrow$

$f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1},x\neq 0$

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

Rempeskes · #4

alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σας,
Θα κανω την αρχή με το α) ερώτημα.
Αφαιρούμε και στα δύο μέλη και έχουμε:

$(1-e^x)f'(x)-e^xf(x)=f(x)-e^xf(x)+1 \leftrightarrow$

$[(1-e^x)f(x)+1]'=(1-e^x)f(x)+1 \leftrightarrow$

$(1-e^x)f(x)+1=ce^x \leftrightarrow$ για το

$f(x)=\frac{-e^x-1}{-e^x+1} \leftrightarrow$

$f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1},x\neq 0$

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

Ενώ το αποτέλεσμα είναι σωστό, η λύση μπάζει.

Η συνάρτηση είναι δίκλαδη.

alexandrosvets · #5

Rempeskes έγραψε:
alexandrosvets έγραψε:Καλησπέρα σας,
Θα κανω την αρχή με το α) ερώτημα.
Αφαιρούμε και στα δύο μέλη και έχουμε:

$(1-e^x)f'(x)-e^xf(x)=f(x)-e^xf(x)+1 \leftrightarrow$

$[(1-e^x)f(x)+1]'=(1-e^x)f(x)+1 \leftrightarrow$

$(1-e^x)f(x)+1=ce^x \leftrightarrow$ για το

$f(x)=\frac{-e^x-1}{-e^x+1} \leftrightarrow$

$f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1},x\neq 0$

Φιλικά,
Αλέξανδρος.
Ενώ το αποτέλεσμα είναι σωστό, η λύση μπάζει.

Η συνάρτηση είναι δίκλαδη.

Σωστά.Έχετε δίκιο.Σας ευχαριστω για την επισήμανση.Αν έχετε την όρεξη να την καθαρογράψετε θα το εκτιμούσα.Δεν γράφω απο υπολογιστή και είναι επίπονη η πληκτρολόγηση.

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

#6

Σταμ. Γλάρος έγραψε:Καλησπέρα.
Μια διδακτική άσκηση... νομίζω!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R^{*}\rightarrow R$ , για την οποία ισχύουν : (1) για κάθε $x\neq 0$ ,
$\displaystyle{f(1)=\frac{e+1}{e-1}$ και .
1) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{e^x +1}{e^x -1}$ , για κάθε $x\neq 0$ .
2) Να εξετάσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
3) Να βρείτε, αν υπάρχει, την αντίστροφη της .
4) Να μελετήσετε την ως προς τις συμμετρίες και να αποδείξετε ότι η $C_{f}$ τέμνει την διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων,
ακριβώς σε δύο σημεία.
Ελπίζω να βοηθήσει, ειδικά τους μαθητές μας που δίνουν πανελλήνιες!
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

...αξιοποιώντας την διδακτική άσκηση του φίλου μου του Σταμάτη δίνω την λύση τονίζοντας το σφάλμα του

alexandrosvets....

α) (…όπως ο alexandrosvets....)

Αφαιρούμε και στα δύο μέλη e^xf(x)

και έχουμε:

$(1-{{e}^{x}}){f}'(x)-{{e}^{x}}f(x)=f(x)-{{e}^{x}}f(x)+1\Leftrightarrow$

${{[(1-{{e}^{x}})f(x)+1]}^{\prime }}=(1-{{e}^{x}})f(x)+1,\,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)\cup (0,\,\,+\infty )$ άρα

(...σε αυτό το σημείο πρέπει να δίνουμε προσοχή εφαρμόζωντας την συνέπεια του Θ.Μ.Τ. σε κάθε διάστημα χωριστά...)

$(1-{{e}^{x}})f(x)+1=\left\{ \begin{matrix} & {{c}_{1}}{{e}^{x}},\,\,\,x<0 \\ & {{c}_{2}}{{e}^{x}},\,\,\,x>0 \\ \end{matrix} \right.$

Από $(1-{{e}^{x}})f(x)+1={{c}_{2}}{{e}^{x}}$ για x=1

το $(1-e)f(1)+1={{c}_{2}}e\Rightarrow (1-e)\frac{e+1}{e-1}+1={{c}_{2}}e\Rightarrow {{c}_{2}}=-1$ άρα

$f(x)=\frac{-{{e}^{x}}-1}{-{{e}^{x}}+1}\Leftrightarrow f(x)=\frac{{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}-1},\,\,\,x>0$

Από $(1-{{e}^{x}})f(x)+1={{c}_{1}}{{e}^{x}}$ για x=-1

το $(1-\frac{1}{e})f(-1)+1={{c}_{1}}\frac{1}{e}\Rightarrow -(\frac{e-1}{e})\frac{e+1}{e-1}+1={{c}_{2}}\frac{1}{e}\Rightarrow {{c}_{2}}=-1$ άρα

$f(x)=\frac{-{{e}^{x}}-1}{-{{e}^{x}}+1}\Leftrightarrow f(x)=\frac{{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}-1},\,\,\,x<0$ επομένως $f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1},x\neq 0$ .

β) Είναι $f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1},x\neq 0$ παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=\frac{-2{{e}^{x}}}{{{({{e}^{x}}-1)}^{2}}}<0,\,\,x\in (-\infty ,\,\,0)\cup (0,\,\,+\infty )$ άρα

η

είναι γνήσια φθίνουσα στο ${{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,\,0)$ και στο ${{\Delta }_{2}}=(0,\,\,+\infty )$ και αφού είναι και συνεχής σε κάθε ένα από αυτά

είναι $f({{\Delta }_{1}})=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=(-\infty ,\,\,-1)$ και

$f({{\Delta }_{1}})=(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x))=(1,\,\,+\infty )$ αφού

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}-1}=\frac{0+1}{0-1}=-1$ και

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{e}^{x}}-1}({{e}^{x}}+1) \right)=-\infty$ επειδή

${{e}^{x}}-1<0,\,\,\,x<0$ και $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{e}^{x}}-1}({{e}^{x}}+1) \right)=+\infty$ επειδή ${{e}^{x}}-1>0,\,\,\,x>0$ και

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}}=1$ ,

επομένως το σύνολο τιμών της είναι $f({{R}^{*}})=(-\infty ,\,\,-1)\cup (1,\,\,+\infty )$

3) Θεωρώντας την εξίσωση $f(x)=y\Leftrightarrow \frac{{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}-1}=y\Leftrightarrow {{e}^{x}}+1=y{{e}^{x}}-y\Leftrightarrow$

$1+y=(y-1){{e}^{x}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y\ne 1 \\ & {{e}^{x}}=\frac{y+1}{y-1} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & y\ne 1 \\ & \frac{y+1}{y-1}>0 \\ & x=\ln \left( \frac{y+1}{y-1} \right) \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow$
$\left\{ \begin{matrix} & y<-1,\,\,\,y>1 \\ & x=\ln \left( \frac{y+1}{y-1} \right)={{f}^{-1}}(y) \\ \end{matrix} \right.$

4) Είναι για $x\in {{R}^{*}}\Leftrightarrow -x\in {{R}^{*}}$ και $f(-x)=\frac{{{e}^{-x}}+1}{{{e}^{-x}}-1}=\frac{\frac{1}{{{e}^{x}}}+1}{\frac{1}{{{e}^{x}}}-1}=-\frac{{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}-1}=-f(x)$ άρα η

είναι περιττή .

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Rempeskes · #7

alexandrosvets έγραψε:
Σωστά.Έχετε δίκιο.Σας ευχαριστω για την επισήμανση.Αν έχετε την όρεξη να την καθαρογράψετε θα το εκτιμούσα.Δεν γράφω απο υπολογιστή και είναι επίπονη η πληκτρολόγηση.

Με πρόλαβε ο κ. Βασίλης!

Σταμ. Γλάρος έγραψε: 4) Να μελετήσετε την ως προς τις συμμετρίες και να αποδείξετε ότι η $C_{f}$ τέμνει την διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων,
ακριβώς σε δύο σημεία.

Συμπληρώνω εδώ την παραπάνω λύση.

Θεωρώ συνάρτηση h(x)=f(x)-x

.

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}h(x)=-\infty \Rightarrow \exists k>0$ κοντά στο $+\infty$ : h(k)<0

.

$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}h(x)=+\infty \Rightarrow \exists m<0$ κοντά στο $-\infty$ : h(m)>0

.

$h(1)=\frac{2}{e-1}>0$

$h(-1)=\frac{2}{1-e}<0$

Επίσης, δεδομένου ότι η

είναι παραγωγίσιμη στα $(-\infty,0)$ και $(0,+\infty)$ ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων σε αυτά, έχουμε

$h'(x)=-\frac{{e}^{2x} +1}{{(e^x -1)}^{2}}<0$ δηλαδή η

γνησίως μονότονη στο κάθε διάστημα.

Η

πληροί τις προυποθέσεις του θεωρήματος Bolzano

στα διαστήματα $\left[1,k \right], \left[m,-1 \right]$ και σε συνδυασμό με την μονοτονία εύκολα προκύπτει το ζητούμενο.

Διδακτική

Διδακτική

Re: Διδακτική

Re: Διδακτική

Re: Διδακτική

Re: Διδακτική

Re: Διδακτική

Re: Διδακτική

Μέλη σε σύνδεση